2025年九年级中考数学高频考点专题复习训练-拱桥问题（实际问题与二次函数）

2025年九年级中考数学高频考点专题复习训练 拱桥问题（实际问题与二次函数） 1．如图，河上有一座抛物线形的拱桥，水面宽时，水面离桥拱顶部，因降暴雨水位上升，此时水面宽为多少米？（结果保留根号） 2．许多数学问题源于生活．雨伞是生活中的常用物品，我们用数学的眼光观察撑开后的雨伞（如图1），可以发现数学研究的对象——抛物线．在如图2所示的直角坐标系中，伞柄在y轴上，坐标原点O为伞骨的交点．点C为抛物线的顶点，点A，B在抛物线上，关于y轴对称．分米，点A到x轴的距离是分米，A，B两点之间的距离是4分米． (1)设抛物线的解析式为，求a和k的值； (2)分别延长，交抛物线于点F，E，求点F的坐标； 3．某河上有一座抛物线形拱桥，A、B为抛物线与水面的交点，现水面离拱顶，水面宽． (1)以拱顶O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，求此抛物线的函数解析式； (2)受台风降雨影响，预计水面上升至离拱顶处，问：水面宽度缩小了多少？ (3)一艘宽、高的木船，载货后露出水面的部分为，当水面上升至离拱顶时，木船能否通过这座拱桥？ 4．如图1，某桥拱截面可视为抛物线的一部分，以O为坐标原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系．在某一时刻，桥拱内的水面宽米，桥拱顶点B到水面的距离是4米． (1)求抛物线对应的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； (2)要保证高2.26米的小船能够通过此桥（船顶与桥拱的距离不小于0.3米），求小船的最大宽度是多少？ (3)如图2，桥拱所在的抛物线在x轴下方部分与桥拱在平静水面中的倒影组成一个新函数图象，将新函数图象向右平移个单位长度，平移后的函数图象在时，y的值随x值的增大而减小，结合函数图象，直接写出n的取值范围． 5．问题提出 学校准备开展外语小教室创意装饰比赛活动，李俊同学对本班小教室进行了装饰．如图1所示，他在小教室的两墙，之间悬挂一条近似抛物线的彩带，如图2所示，已知墙与等高，均为3米，，之间的水平距离为8米，彩带最低点离地面1.4米． （1）建立模型如图2，求抛物线彩带的解析式（不要求写自变量的取值范围）； 解决问题 （2）为了使彩带的造型美观，李俊把彩带从点M处用一根细线吊在天花板上，如图3所示，使得点M到墙距离为3米，使抛物线的最低点距墙的距离为2米，离地面2米，求点M到地面的距离； （3）为了尽量避免人的头部接触到彩带，李俊通过适当调整M的位置，使点M的坐标为，且抛物线对应的二次函数的二次项系数始终为，抛物线的最低点到地面的距离为n米，则________（用含m的式子表示），当时，m的取值范围是________． 6．一块土地上有一个蔬菜大棚（如图1），其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在墙体上，另一端固定在墙体上（墙体足够高），其横截面有2根支架，，相关数据如图2所示，其中，．    (1)在图2中以点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，则点坐标为 ， 点坐标为 ，抛物线的函数表达式为 ； (2)已知大棚有300根长为的支架和300根长为的支架，为增加棚内空间，拟将图2中棚顶向上调整，支架总数不变，对应支架的长度变化如图3所示，调整后与上升相同的高度，增加的支架单价为20元/米（接口忽略不计），现有改造经费30000元． ①当米，只考虑经费情况下，请通过计算说明能否完成改造； ②只考虑经费情况下，直接写出的最大值 ． 7．拱桥具有稳固美观的特点，被广泛应用到桥梁建筑中．如图是某拱桥的截面图，目前水面宽度的长为． (1)若将拱桥的截面近似看作半径为的圆弧，求弧的长． (2)若将拱桥的截面近似看作二次函数图象，以水面所在直线为x轴，A为坐标原点．桥拱顶面离水面的最大高度为，求出二次函数的解析式，并求出水上涨后的水面宽度． 8．河上有一座抛物线形的石拱桥，水面宽时，水面离桥拱顶部，因暴雨水位上升， (1)求抛物线的解析式． (2)一艘装满货物的小船，露出水面部分的高为，宽为，暴雨后，这艘小船能从这座石拱桥下通过吗？请说明理由． 9．如图，有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位时宽，水位上升就到达警戒线，这时水面宽度为． (1)建立适当的平面直角坐标系，求这条抛物线的函数解析式； (2)若洪水到来时水位以的速度上升，从正常水位开始，再过几小时就能到达桥面？ 10．某公园里的座彩虹桥由三条形状相同的抛物线型桥拱组成，中间的桥拱跨度，此桥拱顶点到的距离为． (1)如图1，建立平面直角坐标系，求中间的桥拱部分抛物线的函数表达式； (2)在（1）的条件下，一艘宽为的游船沿桥拱正下方驶来，有一名身高的演员站立在甲板上表演，他的头顶是否有触碰到桥拱的危险？请说明理由．（假设船甲板与齐平） (3)如图2，右侧桥拱跨度，且点在同一水平线上，建立如图所示的平面直角坐标系，若中间的桥拱所在抛物线与右侧桥拱所在抛物线交于轴上的某一点，则的值为多少？ 11．有一个抛物线形的桥洞，桥洞离水面的最大高度为，跨度为，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求这条抛物线所对应的函数解析式； (2)当水面上涨1米时，求水面的宽度是多少米？ 12．如图，这是一座抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米． (1)作图：以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为轴建立平面直角坐标系； (2)在（1）的条件下进行下列探究； ①求抛物线的解析式； ②当水面下降多少米时，水面宽为8米？ 13．施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6米，宽度为12米．现以O点为原点，所在直线为x轴建立直角坐标系（如图1所示）． (1)求出这条抛物线的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； (2)施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”，使A、D点在抛物线上．B、C点在地面线上（如图2所示）．为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆、、的长度之和的最大值是多少，请你帮施工队计算一下． 14．如图．有一座抛物线形拱桥．在正常水位时桥下水面的宽度为．这时拱高(点到的距离)为．    (1)你能求出在图()的坐标系中．抛物线的函数表达式吗？ (2)如果将直角坐标系建成如图()所示，抛物线的形状、表达式有变化吗？请求出()中的解析式． 15．如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，    (1)当水面下降多少米时，水面宽为8米？ (2)若水面下降1米，求水面宽度会增加多少米？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2025年九年级中考数学高频考点专题复习训练- 拱桥问题（实际问题与二次函数）》参考答案 1．此时水面宽为． 2．(1) (2)点F坐标为． 3．(1) (2)3.2米 (3)不能 4．(1) (2)4.8米 (3) 5．（1）；（2）点M到地面的距离为米；（3）； ； 6．(1)，， (2)①能完成改造；②3米 7．(1) (2)， 8．(1)； (2)雨后这艘船能从这座拱桥下通过， 9．(1)； (2)． 10．(1) (2)没有触碰危险 (3) 11．(1)； (2)． 12．)①；②当水面下降米时，水面宽为8米 13．(1) (2)当点A在，点B在，点，点时“脚手架”三根木杆、、的长度之和最大，最大值是15 14．(1) (2)形状不变、表达式有变化， 15．(1)当水面下降米时，水面宽为8米； (2)比原来水面宽度增加了米； 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$