6.4.3余弦、正弦定理课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

6.4.3 余弦定理、正弦定理（6） 高中数学 学习目标 1. 综合运用正弦定理、余弦定理等知识和 方法解决一些与测量距离有关的实际 教重点 问题; 了解常用的测量相关术语和测量工具； 经历建立数学模型解决实际问题的过 教难点 程，体会数学的应用价值. 高中数学 学习重点、难点 重点： 运用正弦定理、余弦定理等知识和方 教重法点解决一些与测量距离有关的实际问题; 难点: 建立数学模型解决实际问题的过程. 教难点 高中数学 知识回顾 余弦定理 三角形中任何一边的平 方，等于其他两边平方的和减去这两边与 它们夹角的余弦的积的两倍. 即 2 2 2 a b c  2bccosA b2  c2 a2  2ca cosB c2  a2 b2  2abcosC 余弦定理的推论 b2 c2 a2 2bc cos A , c2 a2 b2 2ca cosB  , a2 b2 c2 2ab cosC  . 高中数学 知识回顾 正弦定理 在一个三角形中，各边和 它所对角的正弦的比相等，即 a b c . sin A sin B sinC 综合应用余弦定理、正弦定理可解决： 已知三角形的两边和其中一边所对的 角时, 应用正弦定理求出另一边所对的角. 应用三角形内角和定理求第三个角，再用 正弦定理求出第三条边; 已知三角形的两个角和其中一个角所 对的边时，可应用三角形内角和定理求出 三角形的第三个角，再应用正弦定理，求 出另两边； 高中数学 知识回顾 高中数学 知识回顾 已知两边和它们的夹角时，可以应用 余弦定理求出第三条边.并把问题转化到 前面的类型. 已知三角形的三条边时,应用余弦定理 的推论求出一个角，并把问题转化到前面 的类型. 高中数学 距离问题 高度问题 角度问题 余弦定理、正弦定理应用举例 余弦定理、正弦定理在实际测量中 有许多应用： 高中数学 距离的测量是实际问题，具体测量 时，我们常常遇到“不能到达”的困难， 这就需要设计恰当的测量方案. 需要注意的是,题目中给出的已知 条件往往隐含着相应测量问题在某种 特定条件限制下的测量方案,而且是这 种情景与条件限制下的恰当方案. 高中数学 两点均可到达 一点可到达, 另一点不可到达 两点均不可 到达 A B 直接测量 B A 任务一 任务二 在测量问题中，对于可到达的两点 之间的距离，一般直接测量，对于不可 到达的两点间的距离，该如何测量呢? 高中数学 测量工具 教测重量点距离的工具:卷尺等； 测量角度的工具: 经纬仪等. 教难点 高中数学 例 1 如图，设 A，B 两点在河的两 岸，要测量两点之间的距离，测量者在 A 的同侧，在所在的河岸边选定一点 C，测 出 AC 的距离是 55m，BAC=51，ACB= 75.求 A，B 两点的距离(精确到 0.1m) 现在，请你按下暂停键，用 2 分钟思 考一下. C A B 高中数学 解：根据正弦定理，得 AB AC  sinACB sinABC ACsinACB AB  sinABC  55sinACB sinABC 55sin75  sin(180 51  75)  55sin75 sin54 ≈ 65.7(m) 答: A，B 两点间的距离为 65.7 米. C A B 高中数学 在测量过程中，我们把根据测量的 需要确定的线段叫基线，如例 1 中的AC. 一般来说,基线越长,测量的精确度越高. 测量距离的工具: 卷尺等； 测量角度的工具: 经纬仪等. C A B 高中数学 思考: 若改变点 C 的位置，哪些相关 数据可能会发生变化？对计算 A，B 两点 的距离是否有影响？ 高中数学 例 2 如图，设 A，B 两点在河的两 岸(A 为可到达点，B 为不可到达点)，设计 一种测量 A，B 两点间距离的方法，并求 出 A，B 间的距离. 选定一个可到达点C； →测量AC的距离及∠BAC，∠ACB的大小; →先求出∠ABC再利用正弦定理求 AB的距离. C A B 高中数学 C A B 在点 A 所在的岸边选定一个可到达点 C, 测得 AC= d，∠ ACB=，∠ BAC=. 则在ABC中，根据正弦定理，得 AB AC  sinACB sinABC AB  ACsinACB sinABC d sin  sin[ ()] d sin sin() d sin AB  sin() 高中数学 建立数学模型(构造ABC) 数学问题的解(解ABC) 实际问题的解 (检验所求的解是否符合实际意义) A B C A 实际问题 (测量点 A，B 间的距离) B 高中数学 例 3 如图，A，B 两点都在河的对岸 （不可到达），设计一种测量 A，B 两点间 距离的方法,并求出 A，B 间的距离. 现在，请你按下暂停键，用 5 分钟的 时间完成. 高中数学 C 高中数学 解：如图，在 A，B 两点的对岸选定两点 C，D，测得 CD=a，并且在 C，D 两点分 别测得BCA=，ACD=，CDB=， BDA =. 高中数学 在ADC 中，由正弦定理，得 AC DC  sinADC sinDAC sinDAC AC  DCsinADC asin()  sin()  sin[ ()] asin() . 在BDC 中，由正弦定理，得 BC DC sinBDC sinDBC  BC  DCsin BDC sin DBC asin  sin[()] asin  sin() . 高中数学 于是，在ABC 中，由余弦定理可得 A，B 两点间的距离 AB  AC 2  BC 2  2AC  BC cos a2 sin2 () a2 sin2  2a 2 sin() sincos    sin2 () sin 2( ) sin() sin( ) 高中数学 思考 在上述测量方案下,还有其他 计算 A，B 两点间的距离的方法吗? 高中数学 高中数学 随着科学技术的发展，人们会不断发 现更加先进的测量距离的方法. 高中数学 课堂小结 1. 综合运用正弦定理、余弦定理解决了一 些与测量距离有关的实际问题; 两点均可到达 一点可到达, 另一点不可到达 两点均不可 到达 A B 直接测量 B A 任务一 任务二 高中数学 课堂小结 2.了解到了一些常用的测量相关术语和测 量工具.如基线、经纬仪等； 高中数学 实际问题 (测量点 A，B 间的距离) 建立数学模型(构造三角形) 数学问题的解(综合应用余弦定理、正弦定理解三角形) 实际问题的解 (检验所求的解是否符合实际意义) 高中数学 课后作业 自主学习检测. $$