精品解析：广东省清远市清新区第一中学2024-2025学年高二上学期12月月考数学试题

清新区第一中学2024-2025学年高二上学期月考数学试题 （时间：120分钟 分值：150分） 命题：邹俊杰 审核：王志坤 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 第I卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的焦点到准线的距离为（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 3. 已知两条直线，且，则m的值为（ ） A. B. 1 C. 或1 D. 2或 4. 圆关于直线对称后的方程为（ ） A. B. C. D. 5. 若，则“”是“方程表示椭圆”的（ ） A. 充要条件 B. 既不充分也不必要条件 C. 充分不必要条件 D. 必要不充分条件 6. 平行六面体中，，则（ ） A. 1 B. C. D. 7. 若动点P在直线上，动点Q在曲线上，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知两个等差数列2，6，10，，202及2，8，14，，200，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的各项之和为（ ） A. 1678 B. 1666 C. 1472 D. 1460 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分） 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 10. △ABC的三个顶点坐标为A(4，0)，B(0，3)，C(6，7)，下列说法中正确的是（ ） A. 边BC与直线平行 B. 边BC上的高所在的直线的方程为 C. 过点C且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为 D. 过点A且平分△ABC面积的直线与边BC相交于点D(3，5) 11. 若双曲线的实轴长为6，焦距为10，右焦点为F，则下列结论正确的是（ ） A. 过点F的最短的弦长为 B. 双曲线C的离心率为 C. 双曲线C上的点到点F距离的最小值为2 D. 双曲线C的渐近线为 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知等比数列满足，，则______． 13. 长方体中，，，点F是底面的中心，则直线与直线所成角的余弦值为______． 14. 已知椭圆的右焦点为F，过F点作圆的一条切线，切点为T，延长FT交椭圆C于点A，若T为线段AF的中点，则椭圆C的离心率为_________． 四、解答题本大题共5个大题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知直线与垂直,且经过点. （1）求的方程; （2）若与圆相交于两点,求. 16. 记是公差不为0的等差数列的前n项和，若． （1）求数列的通项公式； （2）求使成立的n的最小值． 17. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，E是的中点，作交于点F． （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的大小． 18. 记数列的前n项和为，已知，. （1）证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 19. 已知椭圆的左、右焦点分别为，且．过右焦点的直线与交于两点，的周长为． （1）求椭圆的标准方程； （2）过原点作一条垂直于l的直线交于两点，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 清新区第一中学2024-2025学年高二上学期月考数学试题 （时间：120分钟 分值：150分） 命题：邹俊杰 审核：王志坤 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 第I卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】化直线方程为斜截式，再求出斜率. 【详解】直线，即，所以该直线的斜率为：． 故选：D 2. 抛物线的焦点到准线的距离为（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】 根据抛物线，焦点到准线距离为，直接可得答案. 【详解】由抛物线方程， 得，故抛物线焦点到准线距离为， 故选：B. 【点睛】抛物线方程中，字母的几何意义是抛物线的焦点到准线的距离，等于焦点到抛物线顶点的距离．牢记它对解题非常有益． 3. 已知两条直线，且，则m的值为（ ） A. B. 1 C. 或1 D. 2或 【答案】B 【解析】 【分析】由条件，先说明两直线斜率都存在，根据斜率相等列方程求，检验排除两直线重合的情况. 【详解】斜率不可能同时不存在， 和斜率相等， 则或， 时，，和重合， 当时，，和不重合， 故． 另解：，故． 故选：B． 4. 圆关于直线对称后的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依题意求得圆的圆心关于直线的对称点坐标，即可得出结果. 【详解】易知圆的圆心为， 设关于直线对称点为， 所以，解得， 因此对称后圆的圆心为，半径为， 即可得方程为. 故选：A 5. 若，则“”是“方程表示椭圆”的（ ） A. 充要条件 B. 既不充分也不必要条件 C. 充分不必要条件 D. 必要不充分条件 【答案】D 【解析】 【分析】根据方程表示椭圆求出实数的取值范围，再利用集合的包含关系判断可得出结论. 【详解】若方程表示椭圆，则，解得或， 因为或， 因此，“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件. 故选：D. 6. 平行六面体中，，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量线性运算法则利用表示，结合空间向量基本定理求可得结论. 【详解】由平行六面体可得， 又，所以， 则． 故选：B． 7. 若动点P在直线上，动点Q在曲线上，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】当直线与曲线相切，且点Q为切点时，两点间的距离最小，进而求出Q的坐标，即可求的结果. 【详解】设与直线平行的直线l的方程为， ∴当直线l与曲线相切，且点Q为切点时，两点间的距离最小， 设切点，所以， ， 点直线l的方程为， 两点间距离的最小值为平行线和间的距离， 两点间距离的最小值为． 故选：B 8. 已知两个等差数列2，6，10，，202及2，8，14，，200，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的各项之和为（ ） A. 1678 B. 1666 C. 1472 D. 1460 【答案】B 【解析】 【分析】求出新数列的公差，确定新数列的项数，利用前项和公式求解即可. 【详解】第一个数列的公差为4，第二个数列的公差为6， 故新数列的公差是4和6的最小公倍数12， 则新数列的公差为12，首项为2， 其通项公式为， 令，得， 故， 则， 故选：B. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分） 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，根据向量加法坐标运算公式求，再由模的坐标公式求，判断A； 对于B，根据向量加法坐标运算公式求，再根据数量积运算求，判断B， 对于C，向量加法坐标运算公式求，再根据数量积运算求，结合向量垂直的坐标表示判断C； 对于D，结合向量平行的坐标表示判断D. 【详解】对于A：，所以，A正确； 对于B：，所以，B错误； 对于C：，所以，C正确； 对于D：，假设， 则存在实数，使得， 所以， 满足条件的不存在， 故与不平行，D错误． 故选：AC． 10. △ABC的三个顶点坐标为A(4，0)，B(0，3)，C(6，7)，下列说法中正确的是（ ） A. 边BC与直线平行 B. 边BC上的高所在的直线的方程为 C. 过点C且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为 D. 过点A且平分△ABC面积的直线与边BC相交于点D(3，5) 【答案】BD 【解析】 【分析】由直线斜率判断A，求出相应的直线方程判断BC，求出边中点坐标判断D． 【详解】直线的斜率为，而直线的斜率为，两直线不平行，A错； 边上高所在直线斜率为，直线方程为，即，B正确； 过且在两坐标轴上的截距相等的直线不过原点时方程为，过原点时方程为，C错； 过点A且平分△ABC面积的直线过边BC中点，坐标为，D正确 ． 故选：BD． 11. 若双曲线的实轴长为6，焦距为10，右焦点为F，则下列结论正确的是（ ） A. 过点F的最短的弦长为 B. 双曲线C的离心率为 C. 双曲线C上的点到点F距离的最小值为2 D. 双曲线C的渐近线为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题中条件求得双曲线方程，再根据性质逐项分析即可. 【详解】依题知，，则， 所以双曲线的方程为，且 对于A，当直线的斜率为零时，该直线截双曲线的弦长为， 故A错误； 对于B，双曲线的离心率，故B正确； 对于C，设双曲线上任意一点， 则， 则， 又的对称轴为， 故当时，，故C正确； 对于D，双曲线方程知，渐近线方程为， 故D正确； 故选：BCD. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知等比数列满足，，则______． 【答案】12 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等比数列性质计算即可. 【详解】等比数列满足，，由，得. 故答案为：12 13. 长方体中，，，点F是底面的中心，则直线与直线所成角的余弦值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用坐标进行计算即可. 【详解】如图所示，建立如下空间直角坐标系， 依题可得，, 则, 所以, 故直线与直线所成角的余弦值为, 故答案为：. 14. 已知椭圆的右焦点为F，过F点作圆的一条切线，切点为T，延长FT交椭圆C于点A，若T为线段AF的中点，则椭圆C的离心率为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用图中的几何关系及椭圆的定义即可求解. 【详解】设椭圆的左焦点为,连接，, 由几何关系可知，则， 即， 由椭圆的定义可知，即且， 整理得，解得， . 故答案为：. 四、解答题本大题共5个大题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知直线与垂直,且经过点. （1）求的方程; （2）若与圆相交于两点,求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，求得直线的斜率为，结合直线的点斜式方程，即可求解； （2）根据题意，利用直线与圆的弦长公式，即可求解. 【小问1详解】 解：由直线，可得斜率， 因为，所以直线的斜率为， 又因为直线过点，所以直线的方程为，即. 【小问2详解】 解：由圆，可得圆心，半径， 则圆心到直线的距离为， 又由圆的弦长公式，可得弦长. 16. 记是公差不为0的等差数列的前n项和，若． （1）求数列的通项公式； （2）求使成立的n的最小值． 【答案】(1)；(2)7. 【解析】 【分析】(1)由题意首先求得的值，然后结合题意求得数列的公差即可确定数列的通项公式； (2)首先求得前n项和的表达式，然后求解二次不等式即可确定n的最小值. 【详解】(1)由等差数列的性质可得：，则：， 设等差数列的公差为，从而有：， ， 从而：，由于公差不为零，故：， 数列的通项公式为：. (2)由数列的通项公式可得：，则：， 则不等式即：，整理可得：， 解得：或，又为正整数，故的最小值为. 【点睛】等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用. 17. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，E是的中点，作交于点F． （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的大小． 【答案】（1）解法一：因为底面是正方形，侧棱底面， 以D为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 依意得，，，， 所以，， 因为，所以， 由已知，且，平面，平面， 所以平面． 解法二：底面是正方形，， 底面，且平面，， ，平面，平面， 平面，平面，， ，E为中点，， ，平面，平面， 平面，平面，， 由已知，且，平面，平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）解法一：建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明即可；解法二：首先证明平面，得到，再由，得到平面，从而得到，再由，即可得证； （2）解法一：利用空间向量法计算可得；解法二：由（1）可得为平面与平面所成角，利用锐角三角函数计算可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解法一：依题意得，且，， 设平面的一个法向量为， 则，即取， 因为，，设平面的一个法向量为， 则即取， 设平面与平面的夹角为，则， 又，所以，所以平面与平面的夹角为． 解法二：由（1）知平面，， 又，平面，平面， 为平面与平面所成角， ，E为中点，，， 平面，平面，， 直角三角形中，，所以， 所以平面与平面的夹角为 18. 记数列的前n项和为，已知，. （1）证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 【答案】（1） 因为， 当时，，又， 故； 当，时，由，得， 两式相减得，即， 则，即， 又，故，所以， 所以是以为首项，2为公比的等比数列， 所以，即， 所以． （2） 【解析】 【分析】（1）利用推得，从而利用等比数列的定义即可证明，进而求得； （2）由（1），利用错位相减法求其前项和. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得， 所以, 所以， 则， 两式相减，得 ， 所以． 19. 已知椭圆的左、右焦点分别为，且．过右焦点的直线与交于两点，的周长为． （1）求椭圆的标准方程； （2）过原点作一条垂直于l的直线交于两点，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合焦距及椭圆的定义由条件列的方程，解方程求，代入椭圆方程可得结论； （2）在的斜率为时，求结论，再在的斜率不为时，利用设而不求法，结合弦长公式求，由此可得的解析式，利用换元法，二次函数性质求其范围即可. 【小问1详解】 设椭圆的半焦距为， 由，得， 又的周长为， 即 所以， ， 椭圆的标准方程为． 【小问2详解】 设， 直线的斜率为时，得， 此时的方程为， 代入方程可得，， 所以； 当直线的斜率不为时， 设直线，直线， 联立直线和椭圆的方程，并消去整理得 ， ． 由根与系数的关系得， 所以 联立直线和椭圆的方程，并消去整理得， 由根与系数的关系得， ， 所以． 令，则， 不妨设 ， ， ， ， 综上可得，的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $