6.4.1 平面几何中的向量方法 课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

6.4.1平面几何中的向量方法 高中数学 学习目标与任务 会将几何元素用向量元素表示； 能将几何关系用向量运算来表示； 会用向量方法解决简单的平面几何问题, 体会向量在解决数学问题中的作用. 高中数学 重点难点 用向量运算表示几何关系； 几何问题转化为向量问题. 高中数学 学习过 平面向量的概念和运算 平面向量基本定理 向量坐标化 即将学 向量方法解决平面几何问题 向量方法解决物理中的问题 探索三角形边长与角度的关系 感受向量在解决数学和实际问题中的作用 本节讲述向量方法解决平面几何问题 高中数学 有了运算，向量的力量无限；没有运算，向量就只是一个路标． 平面几何图形的性质 （全等、相似、长度、夹角等） 向量的运算 向量表示 高中数学 2 例 1 如图6.4-1，DE是ABC的中位线，用向量方 法证明: DE // BC，DE  1 BC. 2               1   分析：我们在初中证明过这个结论，证明中要加辅助 线，有一定难度. 如果用向量方法证明这个结论，可以取 BC即 AB, AC为基底，用AB, AC表示DE, BC, 证明DE  可. 高中数学 2 2 2 2 2 2 AD  AB, AE  AC. AC  AB   AC  AB . DE  BC.       1   1   1             1   证明：如图6.4-2，因为DE是ABC的中位线，所以   1     1   从而 DE  AE  AD  又 BC  AC  AB. 所以 于是 DE // BC, DE  1 BC. 2 无公共点 高中数学 平面几何经常涉及距离（线段长度）和角度问题，而平面向 量的运算，特别是数量积主要涉及向量的模以及向量之间的夹 角，因此我们可以用向量方法解决某些几何问题.用向量方法解 决几何问题时，通常先用向量表示相应的点、线段、夹角等几 何元素，然后通过向量的运算来研究点、线段等元素之间的关 系，最后再把运算结果“翻译”成几何关系，便得到几何问题 的结论. 高中数学 2     2   2   2   2   2 跟踪练习： 已知O为ABC所在平面内一点， B C 且满足 OA  BC  OB  CA  OC  AB . A 求证：点O是ABC的垂心. O 高中数学 BC  OA  0.     分析： 本题考查用向量数量积概念及其性质解答三角形中的问题. 要证点O是ABC的垂心,需证AB  OC, BC  OA,只需证明      0， AB OC 高中数学 2 CA  OC  AB , BC  c  b, CA  a  c, AB  b  a.  a  c 2  c2  b  a 2               2   2   2   2   2 证明： 设  OA  a, OB  b, OC  c，则 因为 OA  BC  OB 所以，a2  c  b2  b2 c  b  a  c  b  a A B C O b c a 高中数学 BC  OA  c  b  a  c  a  b  a  0.     故    AB  OC  b  a   c  b  c  a  c  0， 所以，        AB  OC，BC  OA. 所以，O是ABC的垂心. A B C O b c a 高中数学 几何要素用向 量表示 向量运算研究 几何关系 向量运算结果 “翻译”成几 何关系 高中数学 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”： 建立平面几何与向量的关系，用向量表示问题中涉及的 几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； 通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹 角等问题； 把运算结果“翻译”成几何关系. 高中数学 例 2 如图6.4-3，已知平行四边形ABCD, 你能发现对 角线AC和BD的长度与两条邻边AB和AD的长度之间的关系 吗？ 分析：平行四边形中与两条对角线对应的向量恰是与两条 邻边对应的两个向量的和与差，我们可以通过向量运算来探索 它们的模之间的关系. 高中数学     解：第一步，建立平面几何与向量的联系，用向量表示问 题中的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题： 如图6.4-4，取     AB, AD为基底，设AB  a，AD  b, 则     AC  a  b，DB  a  b. 高中数学 2 2 2 2 2 2 2 2 2  2  2    2 第二步，通过向量运算，研究几何元素之间的关系： AC  a  b  a  2a  b  b , DB  a  b  a  2a  b  b . 上面两式相加，得AC  DB  2 a  b . 第三步，把运算结果“翻译”成几何关系： AC 2  BD2  2 AB2  AD2 . 你能用自然语言叙述这 个关系式的意义吗？ 高中数学 小结 用向量方法解决平面几何问题以及它的“三步曲”： 建立平面几何与向量的关系，用向量表示问题中涉及的 几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； 通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹 角等问题； 把运算结果“翻译”成几何关系. 高中数学 作业 课本P39练习 高中数学 祝同学们健康快乐！ $$