17.4 一元二次方程的根与系数的关系-【木牍中考●名师教案】2024-2025学年八年级下册数学（沪科版）

*17.4　一元二次方程的根与系数的关系 ◇教学目标◇ 1.了解一元二次方程的根与系数的关系,通过由特殊到一般,锻炼学生分析、观察、归纳的能力及推理论证的能力. 2.向学生展示认识事物的一般规律,提倡积极思维,勇于探索的精神. ◇教学重难点◇ 教学重点 掌握一元二次方程的根与系数的关系式,能运用它由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知系数及利用根与系数的关系求代数式的值. 教学难点 根与系数的关系与根的判别式、一元二次方程的概念等综合应用. ◇教学过程◇ 一、活动导入 解方程,填表格,总结规律. 方程 x1 x2 x1+x2 x1x2 x2-5x+6=0 x2+3x-4=0 x2-2x=0 二、合作探究 探究点1　一元二次方程的根系关系 典例1　已知α,β是一元二次方程x2+x-2=0的两个实数根,则α+β-αβ的值是 (　　) A.3 B.1 C.-1 D.-3 [解析]　由根系关系得α+β=-1,αβ=-2,则α+β-αβ=(α+β)-αβ=-1-(-2)=1. [答案]　B 探究点2　利用根系关系求方程的根及字母系数的值 典例2　关于x的方程3x2+mx-8=0有一个根是,求另一个根及m的值. [解析]　设方程的另一个根为t,根据根与系数的关系得解得 故另一个根是-4,m的值是10. 解决与方程的根有关的问题,常见的思路和方法:①代根(把根代入原方程中);②求根(通过解方程得到方程的根);③设根(设出方程的根,利用根系关系列出等式);④判根(利用根的判别式). 探究点3　利用根系关系求代数式的值 典例3　已知x1,x2是一元二次方程x2-2x-1=0的两实数根,则的值是　　　　.  [解析]　对于方程x2-2x-1=0,有x1+x2=-=-=2,x1·x2==-1,∴=6. [答案]　6 变式训练　若α,β是方程3x2+2x-9=0的两根,则的值是 (　　) A. B.- C.- D. [答案]　C 技巧点拨利用根系关系求关于两根的代数式值时,关键是把代数式转化为只含有两根和或两根积的形式,应熟练掌握以下几种由x1+x2,x1x2组成的对称的代数式值:;(x1+2)(x2+2)等. 探究点4　综合应用根系关系与根的判别式 典例4　已知关于x的一元二次方程x2-(2m-2)x+(m2-2m)=0, (1)求证:方程有两个不相等的实数根. (2)如果方程的两实数根为x1,x2,且=10,求m的值. [解析]　(1)根据题意,得Δ=[-(2m-2)]2-4(m2-2m)=4>0, ∴方程有两个不相等的实数根. (2)由一元二次方程根与系数的关系,得x1+x2=2m-2,x1x2=m2-2m. ∵=10,∴(x1+x2)2-2x1x2=10, 即(2m-2)2-2(m2-2m)=10, 化简得m2-2m-3=0, 解得m1=3,m2=-1, ∴m的值为3或-1. 变式训练　已知关于x的一元二次方程x2+(2k-1)x+k2+k-1=0有实数根. (1)求k的取值范围; (2)若此方程的两实数根x1,x2满足=11,求k的值. [解析]　(1)∵关于x的一元二次方程x2+(2k-1)x+k2+k-1=0有实数根, ∴Δ=(2k-1)2-4×1×(k2+k-1)=-8k+5≥0,解得k≤. (2)由根与系数的关系得x1+x2=1-2k,x1x2=k2+k-1, ∴=(x1+x2)2-2x1x2=(1-2k)2-2(k2+k-1)=2k2-6k+3. ∵=11, ∴2k2-6k+3=11,解得k=-1或k=4. 又∵k≤,∴k=-1. 易错警示在利用一元二次方程根与系数的关系时,不要忽视方程有实数根的前提条件. 三、板书设计 一元二次方程的根与系数的关系 根与系数的关系:x1+x2=-,x1·x2=. 应用:1.利用根系关系求代数式的值; 2.综合应用根系关系与根的判别式. ◇教学反思◇ 在课堂上,做练习题有利于激发学生的积极性,使数学课堂变得生动、活泼.还可以从多方面培养学生的观察、归纳、类比、论证的能力.因此,在学习了韦达定理后,设计一些习题,通过练习,熟练掌握一元二次方程根与系数的关系,培养学生的动手能力,并且,在练习中体会解题过程中的一些问题. 1 立足安徽 精准备考 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$