2024-2025学年人教版数学九年级上册期中复习（二）讲义

期中复习（二） 【例1】已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A（﹣1，0），B两点，与y轴相交于点C（0，﹣3）． （1）求b，c的值； （2）P为第一象限抛物线上一点，△APC的面积与△ABC的面积相等，求直线AP的解析式； （3）在（2）的条件下，设E是直线BC上一点，点P关于AE的对称点为点P′，试探究，是否存在满足条件的点E，使得点P'恰好落在直线BC上，如果存在，求出点P′的坐标；如果不存在，请说明理由． 【练1】如图①，抛物线y＝ax2+x+c，与x轴交于A，B两点（A在B的左边），与y轴交于C点，顶点为E，其中，点A坐标为（﹣1，0），对称轴为直线x＝2． （1）求此抛物线解析式； （2）在第四象限的抛物线上找一点F，使S△FBC＝S△ACB，求点F的坐标； （3）如图②，点P是x轴上一点，点E与点H关于点P成中心对称，点B与点Q关于点P成中心对称，当以点Q，H，E为顶点三角形是直角三角形时，求P的坐标． 【例2.1】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝3，线段BC绕点B旋转到BD，连AD，E为AD的中点，连CE，设CE的最大值为m，最小值为n，则m+n＝（　　） A．3.6 B．4.8 C．5 D．6 【例2.2】如图，正方形ABCD和Rt△AEF，AB＝5，AE＝AF＝4，连接BF，DE．若△AEF绕点A旋转，当∠ABF最大时，S△ADE＝　 　． 【练2.1】如图，已知A（3，0），B（0，4），点P是第一象限内一动点，AP＝3，点M是点P绕点B顺时针旋转90°的对应点，则AM的最小值是　 　． 【练2.2】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D为AB边上一点（不与点B重合），连接CD，将线段CD绕点D逆时针旋转90°，点C的对应点为E，连接BE．若AB＝2，则△BDE面积的最大值为　 　． 【例3】（1）如图1，已知，正方形ABCD和正方形CEFG，点G在CD边上，点E在BC边上，则BE与DG的数量关系为 　 　； （2）将（1）中的正方形CEFG绕点C旋转至图2时，（1）中的结论是否成立？若成立，请给以证明；若不成立，请说明理由； （3）若AB＝5，，将（1）中正方形CEFG绕点C旋转α度（0＜α＜90），如图3，当B，E，G三点在一条直线上时，求DG的长． 【练3】△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，且CA＝CB，CE＝CD． （1）如图①，若△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上，求证：AD2+AE2＝2AC2； （2）将△ABC绕点C旋转到如图②所示位置，点B在线段AE上，连AD，则（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请给出正确结论并说明理由； （3）在△ACB绕点C旋转过程中，当A、E、B三点在同一条直线上时，若AC＝3，CD＝，请直接写出AE的长． 【例4】两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角顶点，把它们的底角顶点连接起来形成一组可证得全等的三角形，我们把连接的那两条线段叫做“友好”线段．例如：如图1，△ABC中，AB＝AC，△ADE中，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE，连接DB，EC，则可证得△ADB≌△AEC，此时线段DB和线段EC就是一对“友好”线段． （1）如图2，△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，且∠ACB＝∠DCE＝90°． ①图中线段AE的“友好”线段是 　 　； ②连接AD，若AC＝4，AD＝2，∠DAC＝45°，求AE的长： （2）如图3，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，P是△ACB外一点，∠APC＝75°，PC＝3，AP＝6，求线段BP的长． 【练4】△ABC和△DEC是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝BC，CD＝CE． 【观察猜想】当△ABC和△DEC按如图1所示的位置摆放，连接BD、AE，延长BD交AE于点F，猜想线段BD和AE有怎样的数量关系和位置关系． 【探究证明】如图2，将△DCE绕着点C顺时针旋转一定角度α（0°＜α＜90°），线段BD和线段AE的数量关系和位置关系是否仍然成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由． 【拓展应用】如图3，在△ACD中，∠ADC＝45°，CD＝，AD＝4，将AC绕着点C逆时针旋转90°至BC，连接BD，求BD的长． 【例5】如图，以△ABC的边AB为直径作⊙O交AC于D且OD∥BC，⊙O交BC于点E． （1）求证：CD＝DE； （2）若AB＝12，AD＝4，求CE的长度． 【练5.1】如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，AC为⊙O的直径，且∠ACD与∠BCD互余． （1）求证：； （2）若，BC＝4，求AB的长． 【练5.2】如图，以BC为直径的⊙O经过△ABC的顶点A，弦BD平分∠ABC，E是弦BD上一点，且∠ACE＝∠BCE． （1）求证：CD＝DE； （2）若AC＝8，，求⊙O的半径． 【课后作业】 1. 如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝，D是AB上的一个动点，连接CD，将△BCD绕点C顺时针旋转90°得到△ACE，连接DE，则△ADE面积的最大值等于 　 　． 2. 如图，AB是⊙O的直径，C、D为⊙O上的点，且BC∥OD，过点D作DE⊥AB于点E． （1）求证：BD平分∠ABC； （2）若BC＝3，DE＝2，求⊙O的半径长． 3. 如图1，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝+1，点D，E分别在边AB，AC上，且AD＝AE＝1，连接DE．现将△ADE绕点A顺时针方向旋转，旋转角为α（0°＜α＜360°），如图2，连接CE，BD，CD． （1）当0°＜α＜180°时，求证：CE＝BD； （2）如图3，当α＝90°时，延长CE交BD于点F，求证：CF垂直平分BD； （3）在旋转过程中，求△BCD的面积的最大值，并写出此时旋转角α的度数． 学科网（北京）股份有限公司 $$