精品解析：云南省昭通市巧家县第一中学2024-2025学年高一上学期第三次月考数学试题

巧家县第一中学2024年秋季学期高一第三次月考 数学试题 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 半径为，圆心角为210°的扇形的弧长为（ ） A. B. C. D. 3. 函数的零点所在的区间是 A. B. C. D. 4. 已知是第二象限角, A. B. C. D. 5. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 0 6. 已知函数，则的值是（ ） A. －2022 B. 0 C. 1 D. 2022 7. 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数在区间上有且只有一个零点，则正实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 小于的角是锐角 B. 与终边相同的角可表达为， C. 是第二象限角 D. 函数且的图象恒过定点. 10. 已知为锐角，且，则下列选项中正确的有（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. 函数为偶函数 B. 当时， C. 函数的值域为 D. 若，则实数的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知角的终边过点，则的值为 ． 13. 写出一个最小值为1的偶函数的函数解析式______. 14. 函数（a，b均为正数）的最小值为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. （1）化简，并求时该式的值； （2）设的三个内角为A，B，C，且，判断的符号并说明理由. 16. 已知， （1）已知与互为反函数，求y=的解析式并求出它的单调区间； （2）证明：. 17. （1）已知，求下列各式的值. （Ⅰ）； （Ⅱ）. （2）已知α为第四象限角，若，求的值. 18. 已知函数． （1）求函数的定义域； （2）设，若函数在区间上的最大值为-1，求实数m的取值范围． 19. 已知函数. （1）求的零点. （2）对任意的， 恒成立，求a的取值范围. （3）若直线与函数的图象有且仅有4个交点，求实数的取值范围； （4）求函数在区间上的值域. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 巧家县第一中学2024年秋季学期高一第三次月考 数学试题 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解一元二次不等式后由交集运算得解. 【详解】因为， 所以. 故选：B 2. 半径为，圆心角为210°的扇形的弧长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先将角度化为弧度，然后利用弧长公式求解即可. 【详解】圆心角化为弧度为，则弧长为. 故选：D 3. 函数的零点所在的区间是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由零点存在定理，依次判断选项中区间端点函数值的正负，从而得到零点所在的区间. 【详解】因为，， ，， 所以在上存在零点． 故选C. 【点睛】本题考查零点存在定理的运用，考查基本运算求解能力，求解时只要算出区间端点函数值的正负，即可得到答案. 4. 已知是第二象限角, A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】cosα＝±＝±，又∵α是第二象限角，∴cosα＝－. 5. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】结合三角函数与指数函数，根据分段函数分段求解函数值即可. 【详解】因为，所以， 则. 故选：A. 6. 已知函数，则的值是（ ） A. －2022 B. 0 C. 1 D. 2022 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数为奇函数可求的值. 【详解】的定义域为，定义域关于原点对称. ，故为奇函数， 则． 故选：B. 7. 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数与对数函数的性质判断． 【详解】由已知，，， ∴， 故选：A． 8. 已知函数在区间上有且只有一个零点，则正实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将零点个数问题转化为两个函数图象的交点个数问题，通过对参数讨论作图可解. 【详解】在区间上有且只有一个零点在区间上有且只有一个解，即在区间上有且只有一个解 令，， 当，即时，因为在上单调递减，在上单调递增 且，， 由图1知，此时函数与在上只有一个交点； 当，即时，因为，所以要使函数与在上有且只有一个交点，由图2知，即，解得或（舍去）. 综上，的取值范围为. 故选：D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 小于的角是锐角 B. 与终边相同的角可表达为， C. 是第二象限角 D. 函数且的图象恒过定点. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据角的定义判断ABC，根据指数函数的性质判断D． 【详解】的角小于但不是锐角，A错； ，与终边相同的角可表达为即可表示为，，B正确； 是终边在轴非负半轴上的角，C错； 在中，令得，，即图象过点，D正确， 故选：BD． 10. 已知为锐角，且，则下列选项中正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】运用同角的三角函数关系式进行运算逐一判断即可. 【详解】因为， 所以，而为锐角， 所以，选项A正确； ， 所以选项C正确； 因为为锐角， 所以， 因此选项D正确， 由， 所以选项B不正确， 故选：ACD 11. 已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. 函数为偶函数 B. 当时， C. 函数的值域为 D. 若，则实数的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用奇偶性定义可判断A选项；直接计算可判断B选项；由，根据可得函数的值域可判断C选项；判断出的单调性，根据单调性可得，两边平方解不等式可判断D选项. 【详解】对于A，，由， 可得函数为偶函数，故A选项正确； 对于B，由， 可得，故B选项正确； 对于C，由，又由，有， 有，可得函数的值域为，故C选项错误； 对于D，当时，由，可得函数在上单调递增， 又由函数为偶函数，可得函数的减区间为，增区间为， 若，有，不等式两边平方后可解得或，故D选项正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知角的终边过点，则的值为 ． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：由题角的终边过点： 因为：，则； 考点：三角函数的定义. 13. 写出一个最小值为1的偶函数的函数解析式______. 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】利用偶函数和最小值为1即可写出相应函数. 【详解】设，定义域为， 则由，所以是偶函数， 又由，且，所以的最小值为1， 故答案为：（答案不唯一）. 14. 函数（a，b均为正数）的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用基本不等式求最小值． 【详解】由题意，又， ∴ ，当且仅当，即时等号成立， 所以所求最小值为． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. （1）化简，并求时该式的值； （2）设的三个内角为A，B，C，且，判断的符号并说明理由. 【答案】（1）化简后结果为，时原式； （2），理由如下： 因为A，B，C为的三个内角，， ∴或，从而中有一个是钝角， 因此为锐角，从而． 【解析】 【分析】（1）由诱导公式化简，然后代入计算； （2）由三角形内角和判断出中有一个钝角，从而只能为锐角，从而得其余弦符号． 【详解】（1）， 时，原式； （2），理由略. 16. 已知， （1）已知与互为反函数，求y=的解析式并求出它的单调区间； （2）证明：. 【答案】（1），减区间是，增区间是； （2） 证明：时，，∴， 时，，∴， 综上，时，． 【解析】 【分析】（1）求出反函数，然后由复合函数的单调性得结论； （2）按和分类讨论可证． 【小问1详解】 的反函数是，∴， ，则得， 在上递增，在上递减， 所以的减区间是，增区间是； 【小问2详解】 略 17. （1）已知，求下列各式的值. （Ⅰ）； （Ⅱ）. （2）已知α为第四象限角，若，求的值. 【答案】（1）（Ⅰ）10；（Ⅱ）；（2）或． 【解析】 【分析】（1）利用切化弦即齐次式法计算； （2）化为齐次式求解． 【详解】（1）因为， 所以（Ⅰ）； （Ⅱ）. （2）由得， 即， ，解得或． 是第四象限角，，均符合题意， 所以或． 18. 已知函数． （1）求函数的定义域； （2）设，若函数在区间上的最大值为-1，求实数m的取值范围． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）先求函数，根据解析式，求函数的定义域；（2）首先化简函数，利用换元，利用双钩函数求的取值范围. 【详解】（1）由题意，， ，即该函数的定义域为； （2）由题意，，， 设， 则，结合双钩函数， 当时，，； 因为函数在区间上的最大值为-1，所以只需， 即实数m的取值范围是． 【点睛】关键点点睛：本题的第二问求得函数，再利用复合函数的单调性，可知函数在定义域包含函数的最小值点. 19. 已知函数. （1）求的零点. （2）对任意的， 恒成立，求a的取值范围. （3）若直线与函数的图象有且仅有4个交点，求实数的取值范围； （4）求函数在区间上的值域. 【答案】（1）; （2）; （3）; （4） ①当时，函数在区间上的值域为； ②当时，函数在区间上的值域为； ③当时，函数在区间上的值域为. 【解析】 【分析】（1）利用零点定义转化为方程求解即可； （2）利用不等式变形为一元二次不等式，即可用判别式来求取值范围； （3）利用偶函数，及求导来研究函数单调性，即可作出函数图象，然后数形结合可得参数的取值范围； （4）利用分段讨论思想，再数形结合观察，即可得各段值域. 【小问1详解】 由函数.解得或, 所以函数的零点是; 【小问2详解】 当时，原不等式，等价于，显然恒成立； 当时，原不等式，等价于， 令，上式又等价于对任意恒成立， 即满足，解得； 综上可得：对任意，恒成立的的取值范围是； 【小问3详解】 由，可得函数为偶函数， 由已知得：， 当时，由，求导得：， 当时，，当时，， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 又由结合偶函数可知：函数的减区间为，，增区间为，， 可得函数的图象的趋势大致如下： 由，，若直线与函数的图象有且仅有4个交点， 只需，解得或， 故若直线与函数的图象有且仅有4个交点，实数的取值范围为； 【小问4详解】 由，有，可得， 又由函数为偶函数，故函数在区间上的值域等于在区间上的值域， 令，可得或， 可得函数的图象与轴的交点分别为，，， 则①当时，，， 函数在区间上的值域为； ②当时，，， 函数在区间上的值域为； ③当时，，， 函数在区间上的值域为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $