9.3.4 正方形的性质与判定同步练习 2024-2025学年苏科版数学八年级下册

9.3.4 正方形的性质与判定 同步练习 一、单选题 1．下列说法中不正确的是（    ） A．对角线互相垂直的菱形是正方形 B．有一个角是直角的菱形是正方形 C．有一组邻边相等的矩形是正方形 D．对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形 2．一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若，则（　　） A． B． C． D． 3．在平行四边形中，对角线与相交于点，要使四边形是正方形，还需添加一组条件．下面给出了四组条件，其中正确的是（    ） ①，且； ②，且； ③，且； ④，且 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．在平面直角坐标系中放置了一个正方形，如图所示，点在轴上，且坐标是，点在轴上，且坐标是，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 5．如图，将正方形绕点A顺时针旋转，得到正方形，的延长线交于点H，则的大小为（    ） A． B． C． D． 6．如图，正方形ABCD的边长为4cm，则图中阴影部分的面积为(     )cm2． A．6 B．8 C．16 D．不能确定 7．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O作ON⊥OM交CD于点N．若S四边形MOND＝2，则BD的长为（　　） A．2 B． C．4 D．2 8．如图，点C的坐标是，A为坐标原点，轴于B，轴于D，点E是线段的中点，过点A的直线交线段于点F，连接EF，若平分，则k的值为（    ） A．1 B．3或2 C．1或3 D．1或 二、填空题 9．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，正方形的顶点A的坐标为，点B为第二象限的点，则点B 的坐标为 ． 10．如图，在正方形的外侧作等边三角形，则的度数为 ． 11．已知，P是正方形内一点，，，则的面积为 ． 12．如图，正方形的边长为5，点，分别在，上，且，与交于点，若四边形的面积为4，则 ． 13．如图，是边长为的正方形的对角线上一点，且为上任一点，，则的值是 ． 14．如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点 B 的坐标为，直线恰好把正方形的面积分成相等的两部分，则 ． 15．如图，正方形的边长为，为的中点，是对角线上一动点，连接、，由正方形对称性可知，与关于直线对称，则的最小值是 ． 16．已知，如图，点为x轴上一点，它的坐标为，过点作x轴的垂线与直线交于点，以线段为边作正方形；延长交直线于点，再以线段为边作正方形；延长交直线OM于点，再以线段为边作正方形…．依此类推，的坐标为 ． 三、解答题 17．如图，在和中，，，，为边上一点． (1)求证： (2)若点是的中点，求证：四边形是正方形． 18．已知平行四边形ABCD，对角线AC、BD相交于点O，且CA=CB，延长BC至点E，使CE=BC，连接DE． （1）当AC⊥BD时，求证：BE=2CD； （2）当∠ACB=90°时，求证：四边形ACED是正方形．    19．如图，在中，过边上的点作，交于点，交于，连接． (1)若平分，则四边形是什么四边形？并说明理由． (2)若，则四边形是什么四边形？并说明理由． (3)在（2）的条件下，给添加一个条件___________使四边形是正方形，并说明理由． 20．如图，在中，，过点C的直线，D为边上一点，过点D作，交直线于E，垂足为F，连接． (1)与的数量关系是 ； (2)当D在的中点，四边形是什么特殊的四边形？请说明理由； (3)若D为中点，则当的大小满足什么条件时，四边形是正方形？请说明你的理由． 参考答案 1．A 【分析】本题考查命题与定理，正方形的判定等知识，根据正方形判定方法，一一判断即可． 【详解】解：A、对角线互相垂直的菱形是正方形，是假命题，推不出正方形，本选项符合题意． B、有一个角是直角的菱形是正方形是真命题，本选项不符合题意． C、有一组邻边相等的矩形是正方形是真命题，本选项不符合题意． D、对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形，是真命题，本选项不符合题意． 故选：A． 2．A 【分析】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，三角形的外角和定理．由平行线的性质求得，根据三角形的外角和为得，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵的外角和为， ∴， ∴， 故选：A． 3．C 【分析】本题考查了矩形、菱形、正方形的判定，熟记特殊四边形的判定是解答的关键．由矩形、菱形、正方形的判定方法对各个选项进行判断即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形， 又∵， ∴四边形是正方形，①正确； ∵四边形是平行四边形，，， ∴平行四边形不可能是正方形，②错误； ∵四边形是平行四边形，， ∴， ∴四边形是矩形， 又，即对角线互相垂直， ∴平行四边形是正方形，③正确； ∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴平行四边形是正方形，④正确； 故选：C． 4．A 【分析】本题主要考查了坐标与图形，正方形的性质，全等三角形的性质与判定，过点作轴于点，证明，得到，，则，由此可得点的坐标为． 【详解】解：如图，过点作轴于点；    四边形为正方形， ， ∵， ， ； 在与中， ， ， ，； ∵， ∴，， ∴， 点的坐标为． 故选：A． 5．B 【分析】根据旋转的性质，求得∠BAE=38°，根据正方形的性质，求得∠DBA=45°，∠ABH=135°，利用四边形的内角和定理计算即可． 【详解】根据旋转的性质，得∠BAE=38°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠DBA=45°，∠ABH=135°， ∵四边形AEFG是正方形， ∴∠E=90°， ∴∠DHE=360°-90°-38°-135°=97°， 故选B． 【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，四边形的内角和定理，熟练掌握正方形的性质，旋转的性质是解题的关键． 6．B 【详解】试题解析：阴影部分的面积=S△ADC=S正方形ABCD=×42=8（cm2）． 故选B． 7．C 【分析】利用正方形的性质得到OD＝OB＝OC，∠COD＝90°，∠OCD＝∠ODA＝45°，利用等角的余角相等可证得∠CON＝∠DOM，则可判断△OCN≌△ODM，所以S△OCN＝S△ODM，从而得到S△ODC＝S四边形MOND＝2，然后利用等腰三角形的面积计算出OD即可． 【详解】解：∵四边形ABCD为正方形， ∴OD＝OB＝OC，∠COD＝90°，∠OCD＝∠ODA＝45°， ∵ON⊥OM， ∴∠MON＝90°， ∵∠CON＋∠DON＝90°，∠DOM＋∠DON＝90°， ∴∠CON＝∠DOM， 在△OCN和△ODM中， ， ∴△OCN≌△ODM（ASA）， ∴S△OCN＝S△ODM， ∴S△OCN＋S△DON=S△ODM＋S△DON， 即S△ODC＝S四边形MOND＝2， ∵OD•OC＝2， 而OD＝OC， ∴OD＝2， ∴BD＝2OD＝4． 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形．证明△OCN≌△ODM是解决问题的关键． 8．C 【分析】本题综合考查了正方形的判定与性质、一次函数的解析式求解、全等三角形的综合问题、勾股定理等知识点，根据题意可得四边形是正方形．分类讨论当点与点重合和当点不与点重合的情况即可． 【详解】解：由题意得：，， ∴四边形是正方形， ∴， 如图所示：作， 则， ∵， ∴， ∴，， ∵点E是线段的中点， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴， 将代入得：， ∴； 当点与点重合时，满足平分， 此时， 将代入得：， ∴； 故选：C． 9． 【分析】先作轴，作轴，于点F，点B作，根据正方形的性质证明，可得，即可得出答案． 【详解】过点A作轴，于点H，过点C作轴，于点F，过点B作，交的延长线于点E． ∴． ∵点A， ∴． ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点B的横坐标为，纵坐标为， ∴点B的坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，平面直角坐标系内点的坐标，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 10．/15度 【分析】根据正方形，等边三角形的性质可知，是等腰三角形，且，，根据三角形的内角和定理即可求解．本题主要考查正方形，等边三角形，等腰三角形，三角形内角和定理的综合，掌握正方形，等边三角形，三角形内角和定理等知识是解题的关键． 【详解】解：∵正方形的外侧作等边三角形 ∴，， 是等腰三角形，且， 在中，， ， 故答案为： 11．32 【分析】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质，过B作于E，证明得到，进而利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：过B作于E，则， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，又， 在和中， ， ∴， ∴， 又， ∴， 故答案为：32． 12．3 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质．根据正方形的性质得到，，再根据全等三角形的判定与性质得到，，最后利用直角三角形的性质及勾股定理即可解答． 【详解】解：正方形的边长为5， ，， ， ， ，， ， ， 四边形的面积为4 ， ． ． 在中，， ． ． ，， ， 故答案为：3． 13． 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，三角形面积的计算，根据，得出是解题的关键．连接，，交于，根据，从而，进一步得出结论． 【详解】解：连接，，交于，如图所示： ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 14．/ 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，正方形的性质，根据题意可知正方形的中心的坐标为，再由正方形的性质可得直线一定经过点，据此可得答案． 【详解】解：∵四边形是正方形，点 B 的坐标为， ∴正方形的中心的坐标为， ∵直线恰好把正方形的面积分成相等的两部分， ∴直线一定经过点， ∴， ∴， 故答案为：． 15． 【详解】解：如图，连接交于点， ∵正方形的边长为，为的中点， ∴ ∵点和关于对称， 当与重合时，的最小值即为的长， 在中，根据勾股定理，得 ． 的最小值为 故答案为． 16． 【分析】本题考查一次函数的应用，正方形的性质，点的坐标规律，理解题意，结合图象和正方形的性质，探索点的坐标规律是解答的关键；先求出，得出规律后即可求解． 【详解】解：∵过点作x轴的垂线与直线交于点， ∴， ∵线段为边作正方形， ∴， 同理可得，……， 由此得到， ∴的坐标为． 故答案为： 17．(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，正方形的判定，等腰三角形的性质，直角三角形的性质： （1）只需要证明，即可证明； （2）根据直角三角形的性质得到，再由三线合一定理得到，再证明，即可证明四边形是正方形． 【详解】（1）证明：， ， 在和中， ， ； （2）证明：中，D是中点的，， ， 又， ， 四边形是菱形． 又， 四边形是正方形． 18．（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）根据已知条件得到四边形ABCD是菱形．求得BC=CD．得到BE=2BC，于是得到结论； （2）根据平行四边形的性质得到AD=BC，AD∥BE，求得AD=CE，AD∥CE，推出平行四边形ACED是矩形，根据正方形的判定定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， 又∵AC⊥BD， ∴四边形ABCD是菱形． ∴BC=CD． 又∵CE=BC， ∴BE=2BC， ∴BE=2CD； （2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC，AD∥BE， 又∵CE=BC， ∴AD=CE，AD∥CE， ∴四边形ACED是平行四边形． ∵∠ACB=90°， ∴平行四边形ACED是矩形， 又∵CA=CB， ∴CA=CE， ∴矩形ACED是正方形． 【点睛】本题考查了正方形的判定，平行四边形的性质，菱形的判定和性质，熟练掌握各定理是解题的关键． 19．(1)四边形是菱形，理由见解析； (2)四边形是矩形，理由见解析； (3)平分，理由见解析； 【分析】此题是四边形综合题，考查平行四边形的判定、菱形的判定、矩形的判定和正方形的判定，关键是根据平行四边形的判定、菱形的判定、矩形的判定和正方形的判定的方法解答． （1）根据两组对边平行的四边形是平行四边形，再根据证明与全等，进而得出，利用邻边相等的平行四边形是菱形解答即可； （2）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形解答即可； （3）根据有一个角是直角的菱形是正方形解答即可． 【详解】（1）解：四边形是菱形，理由如下： ∵， ∴四边形是平行四边形； ∵平分， ∴， 又四边形是平行四边形， ∴， 在与中， ， ， ， 是菱形； （2）四边形是矩形，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∵， ∴是矩形； （3）添加平分，使得四边形是正方形，理由如下： 由（2）可知，是矩形， 又平分， 由（1）可知是菱形 ∴四边形是正方形， 故答案为：平分． 20．(1)相等 (2)四边形是菱形，理由见解析 (3)当时，四边形是正方形，理由见解析 【分析】本题考查了平行四边形、菱形以及正方形的判定，熟记相关判定定理的内容即可． （1）证四边形是平行四边形即可求解； （2）先证四边形是平行四边形，结合，D为中点，可得，即可求证； （3）根据题意得，结合D为中点，可得；结合（2）中的结论即可求解； 【详解】（1）解：由题意得：， ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形 ∴ 故答案为：相等 （2）解：四边形是菱形， 理由：∵D为中点， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴四边形是平行四边形， ∵，D为中点， ∴， ∴四边形是菱形． （3）解：当时，四边形是正方形， 理由：∵， ∴， ∴， ∵D为中点， ∴， ∴°， ∵四边形是菱形， ∴菱形是正方形， 学科网（北京）股份有限公司 $$