9.3.2 矩形的性质与判定同步练习 2024-2025学年苏科版数学八年级下册

9.3.2 矩形的性质与判定 同步练习 一、单选题 1．四边形的对角线，相交于点，从以下四个条件①，；②，；③；④中选两个，能推出四边形是矩形的是（     ） A．①② B．②③ C．①④ D．①③ 2．如图， 矩形中， 直线垂直平分， 与，分别交于点M， N． 若 ，，则矩形的对角线的长为（  ） A． B． C． D．4 3．如图，矩形面积为40，点在边上，，，垂足分别为．若，则（    ）． A．4 B．2.5 C．5 D．10 4．如图，在菱形中，，点E是上一点，过点E作于点H，点O是上一点，过点O作，分别交于点F、G，，．则图中正方形有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于，，连接，．若，，则图中阴影部分的面积为（  ） A． B． C． D． 6．如图，一块长方形场地 的长 与宽 的比是 ： ， ， ，垂足分别是 、 两点．现计划在四边形 区域种植花草，则四边形与长方形的面积比等于（    ）    A．1：3 B．2：3 C．1：2 D．1：4 7．如图，矩形中，点E为边的中点，连接，过E作交于点F，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 8．如图，矩形的顶点B，D坐标分别为，，若直线与矩形的边有交点，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．如图，在矩形中，点E是的中点，若，则的度数为 ． 10．如图，在矩形中，对角线与相交于点O，已知，则的大小是 ． 11．如图，在矩形中，点M在边上，,若，则的度数是 ．      12．如图，在矩形中，对角线，相交于点，平分交于点，若，则的度数为 ． 13．如图，在矩形中，过对角线交点作交于点，交于点，，，则的面积为 ． 14．如图所示，在矩形中，对角线相交于点O，过点O的直线分别交于点．若图中阴影部分的面积为6，则矩形的面积为 ． 15．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，过点A分别作轴于点B，轴于点C，已知经过点的直线（）分别与线段，相交，并将矩形分成面积比为的两部分，则k的值为 ．    16．如图，在直角三角形中，，，，点是边上一点（不与点，重合），作于点，于点，若点是的中点，则长度的最小值是 ． 三、解答题 17．如图，四边形的对角线互相平分相交于点O，且．    (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求的度数． 18．如图，把矩形绕点按逆时针方向旋转得到矩形，使点落在对角线上，连接，． (1)若，则 °； (2)求证：． 19．如图，在中，，D为中点，四边形是平行四边形． (1)求证：四边形是矩形； (2)过点E作于点H，若，求的度数． 20．如图，在中，，P为边上一动点， 于点G，于点 H． (1)求证：四边形 是矩形； (2)在点P的运动过程中，的长是否存在最小值?若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由． (3)如图2，建立平面直角坐标系，和x轴重合，点C和坐标原点重合，若四边形是平行四边形，直接写出点D的坐标． 参考答案 1．C 【分析】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定、菱形的判定等知识；由平行四边形的判定、矩形的判定、菱形的判定分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A、①∵，， ∴四边形是平行四边形， 再由，无法判断四边形是矩形，故选项A不符合题意； B、由②由，；③无法判断四边形是矩形，故选项B不符合题意； C、∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形，故选项C符合题意； D、∵，， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴平行四边形是菱形，故选项D不符合题意； 故选：C． 2．A 【分析】本题考查矩形的性质、勾股定理、垂直平分线的性质，连接，根据矩形的性质可得，再根据垂直平分线的性质可得，利用勾股定理求得，再由，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵直线垂直平分， ∴， 再中，， ∵， ∴在中，， 故选：A． 3．A 【分析】本题考查了矩形的性质、三角形面积公式，令与相交于点，连接，由矩形的性质得出，，结合，计算即可得出答案，熟练掌握矩形的性质是解此题的关键． 【详解】解：如图，令与相交于点，连接， ， ∵四边形是矩形， ∴， ∵矩形面积为40， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 4．C 【分析】本题考查了正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握各种判定及性质定理是解题的关键． 由题意可知从有一个角是直角三角形菱形为正方形证明四边形是正方形，再从有三个角是直角的四边形为矩形证明四边形为矩形，再证明其邻边相等，即可证明为正方形． 【详解】解：在菱形中，， ∴， ∴四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形，四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， 而，即 又∵ ∴， 同理可证， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， 故有3个正方形， 故选：C． 5．C 【分析】本题考查矩形的性质、三角形的面积等知识，由矩形的性质可证明，即可求解． 【详解】解：作于，交于． 则有四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形， ，，，，， ， ， 故选：C． 6．A 【分析】先证明≌△CBF（AAS），再证明四边形DEBF是平行四边形，设，则，利用勾股定理求出AC，根据表示出DE，在中，利用勾股定理求出AE，进而可得CF、EF，则可求，再根据，即可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴，，， ∴． ∵，， ∴，． 在和中， ， ∴≌△CBF（AAS）， ∴，， 又∵， ∴四边形DEBF是平行四边形， 设，则， ∴ ， ∵于点， ∴ ， ∴， ∴ ， 在中，，， ∴， ∴ ， ∵， ∴四边形DEBF与矩形ABCD的面积之比为1：3． 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理定理等知识，证明≌△CBF（AAS）是解答本题的关键． 7．C 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，延长，交于点G，先根据矩形的性质证明，得到，再根据线段垂直平分线的性质证明，所以，继而证明，即可得到答案． 【详解】解：如图，延长，交于点G， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∵点E为边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 8．A 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及矩形的性质，利用极限值法，求出的最大及最小是解题的关键．利用矩形的性质，可求出点，的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出当点及点在直线上时的值，结合图形，即可得出的取值范围． 【详解】解：解：∵矩形的顶点，坐标分别为，且轴，轴， ∴点的坐标为，点的坐标为． 当点在直线上时，， 解得：； 当点在直线上时，， 解得：． ∴当直线与矩形的边有交点时，的取值范围为． 故选：A． 9．/30度 【分析】本题考查矩形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的性质． 根据矩形的性质与直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得，从而，根据三角形外角的性质即可求得，进而根据角的和差即可解答． 【详解】解：∵在矩形中，，且点E是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵在矩形中，， ∴． 故答案为： 10． 【分析】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，根据矩形的性质，可得的度数，与的关系，根据等边三角形的判定，可得答案，利用矩形的性质得出的度数，与的关系是解题关键． 【详解】解：由矩形中，对角线，相交于点O，，得， ∴． 由，得是等腰三角形， ∴， 故答案为：． 11．/16度 【分析】本题主要考查了矩形的性质、等腰三角形的性质等知识点，灵活运用矩形的性质成为解题的关键． 根据等腰三角形的性质可得，再根据矩形的性质可得，然后根据角的和差即可解答． 【详解】解： 在中，， ∴， ∵在矩形中，， ∴． 故答案为：． 12． 【分析】此题考查了矩形的性质，三角形外角性质，根据矩形的性质得到，根据角平分线求出，由此得到，再根据三角形外角性质求出答案． 【详解】解：在矩形中，， ∵平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为． 13．5 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，连接，勾股定理求得，根据垂直平分线的性质可得，进而根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵矩形中，，， ∴，， ∴ 又∵， ∴ ∴ 故答案为：． 14．24 【分析】本题考查矩形性质，全等三角形判定及性质等．根据题意利用矩形性质证明，继而得到面积为6，再根据矩形性质即可得到本题答案 【详解】解：∵矩形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∵阴影部分的面积为6， ∴面积为6， ∵过点O的直线分别交于点，矩形，为中点， ∴， ∴， ∴矩形的面积：， 故答案为：24． 15． 【分析】根据题意得到直线解析式为。设直线与相交于点F，与相交于点E，则点，，结合直线将矩形分成面积比为的两部分，分两种情况①当时，②当时，分析讨论建立等式求解（注意直线要与线段相交），即可解题． 【详解】解：将点代入直线，得， ， 直线， 如答图，设直线与相交于点F，与相交于点E，    则点，， ， ， 直线将矩形分成面积比为的两部分，分两种情况讨论： ①当时，， 即， 解得， 令，解得； ②当时，， 即， 解得。 令，解得， 直线与边无交点，舍去． 综上所述，k的值为. 【点睛】本题考查一次函数综合应用，矩形的性质、待定系数法、坐标与图形、一次函数与坐标轴交点情况，梯形面积等知识，解题的关键是分类讨论． 16． 【分析】本题考查了矩形的性质与判定，勾股定理，垂线段最短，将转化为是解题的关键． 连接，根据矩形的性质可得，则，当时，取得最小值，根据等面积法求解即可，进而可得的最小值． 【详解】如图，连接，   ∵，，， 四边形是矩形， ， ∵点P是的中点， ∴点P是和的交点， ∵，，， ， ∵， 当时，取得最小值， ， ． ． 即的最小值是． 故答案为：． 17．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，三角形的内角和． （1）根据平行四边形的判定定理得到四边形是平行四边形，根据三角形的外角的性质求得，推出，于是得到四边形是矩形； （2）设，，则，根据三角形内角和定理得，即可得，再由矩形的性质可求出结论． 【详解】（1）证明：∵四边形的对角线互相平分 ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵，是的外角， ∴． ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴四边形是矩形． （2）解：设，，则， ∵， ∴， 在中， ∴， 解得， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴． 18．(1)50 (2)见解析 【分析】（1）根据矩形的性质，得到，进而得到，即可求出的度数； （2）根据旋转和矩形的性质，易证四边形是平行四边形，即可证明结论． 【详解】（1）解：矩形和矩形， ， ， ， ， ， 故答案为：50； （2）证明：连接， 由旋转的性质可知，，，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ； 【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，平行四边形的判定和性质，平行线的判定，等边对等角，熟练掌握旋转和矩形的性质是解题关键． 19．(1)见解析 (2) 【分析】（1）由等腰三角形的三线合一得到，，然后利用平行四边形证明四边形是平行四边形，即可证明矩形； （2）由矩形得到，而，则，那么得到，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， 即， ∵，D为中点 ∴，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ∵， ∴， ∴， 即． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，平行四边形的性质，矩形的判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 20．(1)见解析 (2)存在最小值，的最小值为 (3)D的坐标为或或 【分析】本题考查四边形综合应用，坐标与图形，勾股定理逆定理，矩形的判定与性质，平行四边形的性质及应用等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度． （1）用勾股定理的逆定理证明，根据三个角是直角的四边形是矩形可证四边形是矩形； （2）连接，可得，故当最小时，最小，此时，用面积法可得答案； （3）过A作于K，求出点A的坐标，设，而，分三种情况：①若为对角线；②若为对角线；若为对角线，分别解方程组可得D的坐标为即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， ∴四边形是矩形； （2）解：在点P的运动过程中，的长存在最小值，理由如下： 连接，如图： 由（1）知，四边形是矩形， ， ∴当最小时，最小，此时， ∴， ， ∴的最小值为； （3）过A作于K，如图： 同（2）可知， ， ， 设，而， ①若为对角线，则的中点重合， ，解得：， ； ②若为对角线，则的中点重合， ，解得：， ； ③若为对角线，则的中点重合， ，解得：， ； 综上所述，D的坐标为或或． 学科网（北京）股份有限公司 $$