精品解析：广西柳州市鹿寨县鹿寨中学2024－2025学年九年级上学期开学检测数学试题3

2024秋学期九年级数学学科开学检测3 一、单选题（每题3分，共36分） 1. 若二次根式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组数据，是勾股数的是（ ） A. 1，2，3 B. 6，8，10 C. 0.3，0.4，0.5 D. 3，4， 3. 如图，在平行四边形中，若，则的度数是（　　） A. B. C. D. 4. 正比例函数的图象经过（ ） A. 第一、三象限 B. 第二、四象限 C. 第二、三、四象限 D. 第一、二、四象限 5. 下列统计量中，能够反映运动员射击成绩稳定性的是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 6. 将抛物线向左平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 7. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知点，都在一次函数的图象上，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 9. 若关于的一元二次方程有一个根是，则的值是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，为中点，且交于点E，，则的长为（ ） A. B. C. 6 D. 11. 华表柱是一种中国传统建筑形式，天安门前耸立着高大的汉白玉华表，每根华表重约20000公斤，如图，在底面周长约为3米带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底向柱顶（从点到点）均匀地盘绕3圈，每根华表刻有雕龙部分的柱身高约12米，则雕刻在石柱上的巨龙至少（ ）米． A. B. 20 C. 15 D. 12. 如图，四边形中，对角线，且，各边中点分别为，顺次连接得到四边形，再取各边中点，顺次连接得到四边形，…，依此类推，这样得到四边形，则四边形的面积为（　　 ） A. B. C. D. 不确定 二、填空题（每题3分，共18分） 13. 化简：_______． 14. 二次函数 的顶点坐标为________． 15. 若关于的方程有两个相等的实数根，则的值为________． 16. 乐乐参加了学校广播站招聘小记者的三项素质测试，成绩(百分制)如下：采访写作60分，计算机操作70分，创意设计80分．若采访写作、计算机操作和创意设计的成绩分别按、、计算最终成绩，则他的最终成绩为______分． 17. 如图，已知函数与函数的图象交于点P，则不等式的解集是______． 18. 如图，在正方形中，，点，分别是，的中点，，相交于点，为上一动点，为的中点，下列结论：①；②；③线段MN的最大值是；④线段MN的最小值是．其中正确的是______．（只填写序号） 三、解答题 19. 解方程：． 20. 计算： 21. 如图，在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H，（A，H，B在一条直线上），并修一条路CH．测得千米，千米，千米． （1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明． （2）求原来的路线AC的长． 22. 如图，在中，，交于点，点，分别是，的中点，连接，，，． （1）求证：； （2）当时，求证：四边形为菱形． 23. 已知二次函数的部分图象如图所示． （1）该函数图象与x轴的另一个交点坐标为 　 　； （2）求这个二次函数的解析式； （3）直接写出满足时x的取值范围． 24. 某校开展了“安全伴我行”宣传教育活动．为了解活动效果，该校随机抽取名学生进行了一次测试，满分为100分，按成绩划分为A，B，C，D四个等级．将收集的数据整理绘制成如下不完整的统计图表． 成绩频数分布表 等级 成绩x 频数 A 46 B n C 32 D 8 成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出，的值； （2）抽取的这名学生中，其成绩的中位数落在 等级； （3）该校有1500名学生参加这次测试，请估计有多少名学生的成绩达到A等级． 25. 某快递公司准备投入资金（万元）购买A、B两型自动分拣机器共10台，其中购进型机器台．下表是两种型号机器的相关信息： 型号 分拣速度 单价 A 1500件/小时 8万元/台 B 1200件/小时 6万元/台 （1）求关于的函数关系式； （2）若要使10台自动分拣机器每小时分拣快递件数达到13000件，该公司需要至少投入资金多少万元？ 26. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过点、点，M是抛物线上第一象限内的点，过点M作直线轴于点N. （1）求抛物线的表达式； （2）当直线是抛物线的对称轴时，求四边形的面积 （3）求的最大值，并求此时点M的坐标； （4）在（3）的条件下，若P是抛物线的对称轴上的一动点，Q是抛物线上的一动点，是否存点点P、Q，使以点A、M、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请求点Q的坐标，若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024秋学期九年级数学学科开学检测3 一、单选题（每题3分，共36分） 1. 若二次根式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式有意义的条件，直接利用二次根式被开方数非负，即可得出答案． 【详解】∵二次根式有意义， ∴， 解得， 故选：B． 2. 下列各组数据，是勾股数的是（ ） A. 1，2，3 B. 6，8，10 C. 0.3，0.4，0.5 D. 3，4， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股数的定义，勾股数是满足勾股定理的一组正整数，据此逐项分析即可作答． 【详解】解：A、，故不符合题意； B、，故该选项是正确的； C、，，不是正整数，故不符合题意； D、不是正整数，故不符合题意； 故选：B 3. 如图，在平行四边形中，若，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，注意掌握平行四边形的对角相等的性质．根据平行四边形的对角相等的性质即可求解． 【详解】解：四边形为平行四边形， ， ， ． 故选：A． 4. 正比例函数的图象经过（ ） A. 第一、三象限 B. 第二、四象限 C. 第二、三、四象限 D. 第一、二、四象限 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查正比例函数的性质，根据比例系数，得到图象过一，三象限，正确理解正比例函数的比例系数与图象的关系是解题的关键 【详解】解：∵, ∴正比例函数的图象过第一，三象限， 故选：A 5. 下列统计量中，能够反映运动员射击成绩稳定性的是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查用方差判断稳定性，理解各个统计量的特点是解答的关键．根据方差是反映数据的稳定性求解即可． 【详解】解：能够反映运动员射击成绩稳定性的是方差， 故选：D． 6. 将抛物线向左平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，掌握二次函数图象的平移规律“上加下减，左加右减”是解题关键．根据二次函数图象的平移规律求解即可． 【详解】解：将抛物线向左平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是． 故选C． 7. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的四则运算，熟知相关计算法则是解题的关键． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，不符合题意； B、与不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算正确，符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：C． 8. 已知点，都在一次函数的图象上，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数值大小的比较，一次函数的性质；利用一次函数的增减性即可求解． 【详解】解：，且， ， 故选：C． 9. 若关于的一元二次方程有一个根是，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，把代入一元一次方程得，然后解一次方程即可．解题的关键是理解和掌握：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了解一元一次方程． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有一个根是， ∴， 解得：． 故选：D． 10. 如图，在中，为中点，且交于点E，，则的长为（ ） A. B. C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，勾股定理等，熟记线段垂直平分线的性质是解题的关键． 连接，根据三角形内角和定理求出，根据线段垂直平分线的判定与性质求出，根据等腰三角形的性质及三角形外角性质求出，根据三角形内角和定理求出，解直角三角形求出，，再根据线段的和差求解即可． 【详解】解：如图，连接， ，， ， 为中点，且交于点， 垂直平分， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 11. 华表柱是一种中国传统建筑形式，天安门前耸立着高大的汉白玉华表，每根华表重约20000公斤，如图，在底面周长约为3米带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底向柱顶（从点到点）均匀地盘绕3圈，每根华表刻有雕龙部分的柱身高约12米，则雕刻在石柱上的巨龙至少（ ）米． A. B. 20 C. 15 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理在圆柱中的应用，在圆柱的展开图中，每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成了直角三角形，根据勾股定理求出每圈龙的长度，最后乘3便是答案． 【详解】解：展开图： （米， （米， （米， 故选：C． 12. 如图，四边形中，对角线，且，各边中点分别为，顺次连接得到四边形，再取各边中点，顺次连接得到四边形，…，依此类推，这样得到四边形，则四边形的面积为（　　 ） A. B. C. D. 不确定 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形的面积公式，可以求得四边形的面积是16；根据三角形的中位线定理，得，，则，得和的面积比是相似比的平方，即，因此四边形的面积是四边形的面积的，依此类推可得四边形的面积． 【详解】解：∵四边形的四个顶点分别为的中点， ∴，， ∴， ∴和的面积比是相似比的平方，即， 又∵四边形的对角线，， ∴四边形的面积是16， ∴， 同理，， ， ， ∴四边形的面积． 【点睛】本题是一道找规律问题.熟练应用三角形中位线定理、相似的性质，中点四边形的性质探究是解题的关键. 二、填空题（每题3分，共18分） 13. 化简：_______． 【答案】3 【解析】 【详解】解：． 14. 二次函数 的顶点坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数顶点式，二次函数的顶点坐标为，由此可解． 【详解】解：二次函数 的顶点坐标为， 故答案为：． 15. 若关于的方程有两个相等的实数根，则的值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键． 根据方程的系数结合根的判别式，即可得出，解之即可得出结论． 【详解】解：∵关于的方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：． 故答案为：． 16. 乐乐参加了学校广播站招聘小记者的三项素质测试，成绩(百分制)如下：采访写作60分，计算机操作70分，创意设计80分．若采访写作、计算机操作和创意设计的成绩分别按、、计算最终成绩，则他的最终成绩为______分． 【答案】68 【解析】 【分析】根据加权平均数的计算方法计算即可． 本题主要考查了加权平均数，熟练掌握加权平均数的定义及计算方法是解题的关键． 【详解】(分)， 故答案为：68 17. 如图，已知函数与函数的图象交于点P，则不等式的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系，观察图象可得当时，函数的图象位于函数的图象的上方，即可求解．利用数形结合思想解答是解题的关键． 【详解】解：观察图象得：当时，函数的图象位于函数的图象的上方， ∴不等式的解集是． 故答案为：． 18. 如图，在正方形中，，点，分别是，的中点，，相交于点，为上一动点，为的中点，下列结论：①；②；③线段MN的最大值是；④线段MN的最小值是．其中正确的是______．（只填写序号） 【答案】②③##③② 【解析】 【分析】由矩形的性质推出，，，判定四边形是矩形，推出，，，得到，，而，得到，又，得到，由三角形中位线定理推出，当与重合时，的值最小，当与重合时，的值最大，求出的最小值是4，的最大值是，即可求出的最小值和最大值． 【详解】解：四边形是正方形， ，，， 点，分别是、的中点， ，， ， ， 四边形是矩形， ，，， ， ，， ， ， ， 故①不符合题意； ， ， 故②符合题意； 连接， 是中点，是中点， 是的中位线， 当与重合时，的值最小，当与重合时最大， 正方形的边长是4，是等腰直角三角形， ， 的最小值是4，的最大值是， 的最小值是，的最大值是， 故④不符合题意，③符合题意， 其中正确的是②③． 故答案为：②③． 【点睛】本题考查矩形的判定，三角形中位线定理，正方形的性质，关键是由正方形的性质推出四边形是矩形，由三角形中位线定理推出，明白当与重合时，的值最小，当与重合时最大． 三、解答题 19. 解方程：． 【答案】 ， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题关键． 可灵活选用配方法、公式法或因式分解法解方程即可． 【详解】解：因式分解，得， 于是，得或， ∴，． 20. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算．根据题意，先算算术平方根，再算除法，最后算减法即可． 【详解】解：原式= ． 21. 如图，在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H，（A，H，B在一条直线上），并修一条路CH．测得千米，千米，千米． （1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明． （2）求原来的路线AC的长． 【答案】（1）是，见解析；（2）千米 【解析】 【分析】（1）先根据勾股定理逆定理证得是直角三角形，然后根据点到直线的距离中，垂线段最短即可解答； （2）设，则，在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）是； 理由是：在中， ∵， ∴， ∴， ∴CH是从村庄C到河边的最近路； （2）设，则， 在中， ， ∴， 解得：， 答：原来的路线AC的长为千米 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，点到直线的最短距离，灵活应用勾股定理的逆定理和定理是解题的关键． 22. 如图，在中，，交于点，点，分别是，的中点，连接，，，． （1）求证：； （2）当时，求证：四边形为菱形． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点E，F分别是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴； （2） 证明：∵，四边形为平行四边形， ∴四边形为菱形， ∴， 即， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形为菱形． 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，熟练掌握菱形和平行四边形的判定方法，是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质可得，从而得到，可得到四边形是平行四边形，即可求证； （2）先证明四边形为菱形，得出，再根据四边形是平行四边形，即可证明结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 已知二次函数的部分图象如图所示． （1）该函数图象与x轴的另一个交点坐标为 　 　； （2）求这个二次函数的解析式； （3）直接写出满足时x的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由图象可知抛物线的顶点，与x轴交于，可得抛物线的对称轴为直线，利用抛物线的对称性可求解； （2）由图象可知二次函数的顶点坐标和与x轴的应该解得坐标，即可利用顶点式求出二次函数解析式； （3）根据图象即可得出的x的取值范围． 【小问1详解】 解：由图象可知抛物线的顶点， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线与x轴交于一点为， ∴抛物线与x轴交于另一点为； 【小问2详解】 解：由图象可知抛物线的顶点，与x轴交于， ∴设抛物线的解析式为， 把代入得，， 解得， 所以二次函数解析式为． 【小问3详解】 解：由图象可知：满足的x的取值范围是． 【点睛】此题主要考查了顶点式求二次函数解析式以及二次函数与x轴交点坐标求法和利用二次函数图象求自变量取值范围等知识，此题是基础题． 24. 某校开展了“安全伴我行”宣传教育活动．为了解活动效果，该校随机抽取名学生进行了一次测试，满分为100分，按成绩划分为A，B，C，D四个等级．将收集的数据整理绘制成如下不完整的统计图表． 成绩频数分布表 等级 成绩x 频数 A 46 B n C 32 D 8 成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出，的值； （2）抽取的这名学生中，其成绩的中位数落在 等级； （3）该校有1500名学生参加这次测试，请估计有多少名学生的成绩达到A等级． 【答案】（1）200；57 （2）B （3）345名 【解析】 【分析】此题考查了扇形统计图、频数分布表、中位数，样本估计总体，读懂统计图表，理清它们之间的数据关系是解题的关键． （）用等级的人数除以其百分比可求出，再求出等级的人数，由即可求出； （）根据中位数的定义即可求解； （）用乘以A等级人数的占比即可求解． 【小问1详解】 解：由统计图表可得，抽取的学生人数为： ， ∴等级的人数， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：把名学生的成绩按照从低到高的顺序排列，中位数为第名和第名学生成绩的平均数， ∴中位数落在等级； 【小问3详解】 解：， 答：估计该校有345名学生的成绩达到A等级． 25. 某快递公司准备投入资金（万元）购买A、B两型自动分拣机器共10台，其中购进型机器台．下表是两种型号机器的相关信息： 型号 分拣速度 单价 A 1500件/小时 8万元/台 B 1200件/小时 6万元/台 （1）求关于的函数关系式； （2）若要使10台自动分拣机器每小时分拣快递件数达到13000件，该公司需要至少投入资金多少万元？ 【答案】（1） （2）68万元 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，一元一次不等式的应用： （1）根据投入资金等于购买A、B两型自动分拣机器的资金的总和，即可求解； （2）根据题意可得，从而得到x的最小值为4，再根据一次函数的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意得，y关于x的函数关系式为； 【小问2详解】 解：由题得：， 解得， ∵x为整数， ∴x的最小值为4， ∵在中，， ∴y随x的增大而增大， ∴当时，y取得最小值，最小值为， ∴该公司至少需要投入资金68万元． 26. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过点、点，M是抛物线上第一象限内的点，过点M作直线轴于点N. （1）求抛物线的表达式； （2）当直线是抛物线的对称轴时，求四边形的面积 （3）求的最大值，并求此时点M的坐标； （4）在（3）的条件下，若P是抛物线的对称轴上的一动点，Q是抛物线上的一动点，是否存点点P、Q，使以点A、M、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请求点Q的坐标，若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）5 （3）最大值为，. （4）存在，或或 【解析】 【分析】本题考查二次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法和平行四边形的性质是解题的关键． （1）运用待定系数法求函数解析式即可； （2）先求出点M、N的坐标，然后利用求出面积即可； （3）设点M的坐标是，则点，表示，然后利用二次函数的配方法求最值即可； （4）分是对角线、是对角线和是对角线三种情况，利用中点坐标公式计算解题． 【小问1详解】 由题意得：.解得： ∴抛物线的函数解析式是：. 【小问2详解】 ∵. ∴当MN是抛物线的对称轴时，抛物线的顶点是，点. 连接BN. 则； 【小问3详解】 设点M的坐标是，则点. ∴，. ∴. ∴当时，有最大值， 这时点. 【小问4详解】 存在，理由如下： 由（1）（3）抛物线的对称轴是直线，点. 设点，. 分三种情况讨论： ①当是对角线时，，解得：，这时点. ②当是对角线时，，解得：，这时点. ③当是对角线时，，解得：，这时点. 综上所述，存或或，使以点A、M、P、Q为顶点的四边形是平行四边形. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $