2025年中考数学一轮复习提升训练：二次函数的最值问题

2025年中考数学一轮复习提升训练：二次函数的最值问题 一、单选题 1．点在二次函数（m为常数）的图象上，．当时，二次函数的最大值与最小值的差为（    ） A． B． C．4 D． 2．已知二次函数图象与x轴只有一个交点，且图象过和两点，设，则（   ） A．p的最小值为 B．p的最小值为1 C．p的最大值为 D．p的最大值为1 3．汽车刹车后行驶的距离s（米）关于行驶时间t（秒）的函数关系式是，则该汽车从刹车到停止所用时间为（   ） A．3秒 B．6秒 C．9秒 D．10秒 4．二次函数的图象上部分点的坐标如下表，下列说法错误的是（   ） … 0 1 … … … A．抛物线开口向下 B．当时， C．当时，y随x的增大而减小 D．若，则y的取值范围是 5．当时，二次函数的最小值为，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D．或 6．已知关于的二次函数，当时，随的增大而增大，且当时，有最小值2，则的值为（    ） A． B．1 C． D． 7．若函数；当时，此时该函数的最小值是（    ） A． B． C． D． 8．如图，在平面直角坐标系中，菱形的一个顶点A在x轴正半轴上，另一个顶点C的坐标为，D是抛物线上一点，且在x轴上方，则面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．在“弘扬科学家精神，共筑科技强国梦”为主题的物地学科节中，小洋同学设计制作了“火箭”升空实验装置，已知该“火箭”的升空高度（米）与飞行时间（秒）满足函数表达式．则“火箭”升空的最大高度为 米． 10．已知二次函数（，均是实数），设该函数最小值为，若，，则的取值范围是 ． 11．已知二次函数，当时，的最大值与最小值之和为 ． 12．已知二次函数，的解集为，且当时，函数最大值与最小值的差为2，则的值为 ． 13．已知函数（为常数），当时，函数的最大值与最小值之差为9，则的值为 ． 14．已知点，，在二次函数的图象上，且为抛物线的顶点．若，则m的取值范围是 ． 15．已知关于的二次函数（，为常数）．若时，函数的最大值为，最小值为，且，则的值为 ． 16．如图，P是抛物线在第一象限上的点，过点P分别向x轴和y轴引垂线，垂足分别为A，B，则四边形周长的最大值为 ． 三、解答题 17．已知，一次函数的图象上有一点，反比例函数经过A点． (1)当时， ①若，求反比例函数的解析式； ②求k的最大值． (2)当时，k随着m的增大而减少，求此时a的范围． 18．已知抛物线． (1)若点在抛物线上． ①求抛物线的对称轴； ②当时，的最大值为，求抛物线的函数表达式； (2)当时，（）最大值与最小值的差为，求的值． 19．如图，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于C． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，在直线下方的抛物线取一点M，过点M作平行于y轴的直线交于N，求线段的最大值． 20．如图，抛物线交x轴于点和点，交y轴于点，连接． (1)①抛物线的解析式为______； ②若，则y的取值范围为______． (2)点P是下方抛物线上一点，作轴于点M，交于点Q． ①求的最大值； ②若，求点P的坐标． 学科网（北京）股份有限公司 《2025年中考数学一轮复习提升训练：二次函数的最值问题》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D A A B C D A A 1．D 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是解本题的关键． 由题意可知，点在二次函数（m为常数）的图象上，且，代入解得或（舍去），因为抛物线的对称轴为直线，当时，二次函数有最小值，当时，二次函数有最大值，即二次函数的最大值与最小值的差为． 【详解】解：将代入得： ， ， ， 解得：或（舍去） ， 即， ， ∴， 抛物线的对称轴为直线， 当时，二次函数有最小值， 当时，二次函数有最大值， 即二次函数的最大值与最小值的差为． 故选D． 2．A 【分析】本题考查的是二次函数的性质，先求解，，，再建立二次函数，从而可得答案. 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴只有一个交点， ∴，即，对称轴为直线． ∴， ∵二次函数过和两点， ∴，， ∴， ∴， ∴， 当时，的最小值为， 故选：A 3．A 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，当汽车停下来时，最大，故将二次函数解析式转化成顶点式，则顶点横坐标值即为所求，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴当秒时，取得最大值，即汽车停下来， 故选：A． 4．B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，先求出二次函数的对称轴为直线，结合表格可得当时，随着的增大而增大，当，随着的增大而减小，故抛物线开口向下，由对称性可得，当时，，从而即可得解． 【详解】解：由表格中点，可得对称轴为直线， 当时，随着的增大而增大，当，随着的增大而减小，故抛物线开口向下，故AC正确，不符合题意； 由表格可得，当时，，结合抛物线的对称性可得，当时，，故B错误，符合题意； 若，则y的取值范围是，故D正确，不符合题意； 故选：B． 5．C 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的最值，利用二次函数图象上点的坐标特征找出当时的值是解题的关键． 利用二次函数图象上点的坐标特征找出当时的值，结合当时函数有最小值，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：当时，有， 解得：． ， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，随的增大而减少，当时，随的增大而增大， ∵当时，函数有最小值， 分两种情况讨论： 若时，当时，的最小值是， ； 若时，当时，的最小值是， ， 解得：， 综上，或， 故选：C． 6．D 【分析】本题考查了二次函数的性质和二次函数的最值，解题的关键是掌握二次函数的性质． 根据题意得出，求出二次函数的图象的对称轴为直线，可知当时，有最小值，故，解方程即可得到答案． 【详解】解：由题得二次函数的对称轴为直线， ∵当时，随的增大而增大， ∴， ∵时，有最小值，， ∴当时，有最小值， ∴， 解得或， ∴， 故选： D． 7．A 【分析】本题主要考查了二次函数的性质等知识点，根据函数的取值范围确定函数最小值出现在哪个函数上，然后再根据二次函数的性质即可得解，熟练掌握二次函数的性质是解决此题的关键． 【详解】解：∵函数， ∴当时，函数的最小值在函数上， ∴当时，该函数的最小值是3， 故选：A． 8．A 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，菱形的性质，勾股定理等知识点，通过点C的坐标确定菱形的边长，再利用三角形面积公式，即可求解，熟练掌握二次函数的性质，菱形的性质是解决此题的关键． 【详解】解：∵菱形顶点C的坐标为， ∴， ∴， 设点， ∴的面积， ∵，故面积有最大值为， 故选：A． 9． 【分析】本题考查了二次函数的应用，求出二次函数的最大值即可． 【详解】解：∵， ∵， ∴当时，有最大值，最大值， ∴火箭”升空的最大高度为米， 故答案为：． 10．/ 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，最值的计算，掌握二次函数图象的开口方向，对称轴，最值的计算方法是解题的关键． 根据二次函数（，均是实数），可得二次函数图象开口向上，对称轴直线为，由此可得，则有，设，得到关于的二次函数图象开口向下，对称轴直线为，再根据二次函数图象的性质即可求解． 【详解】解：， ∴二次函数图象开口向上，对称轴为：直线， 当时，二次函数有最小值，最小值为， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， ∴关于的二次函数图象开口向下，对称轴直线为， ∴当时，有最大值，即， 当时，， ∴， 故答案为： ． 11．4 【分析】本题主要考查了二次函数的性质和二次函数的最值，将二次函数解析式利用配方法转化为顶点式，求得对称轴直线和顶点坐标，结合二次函数的最值作答即可． 【详解】解：二次函数，则该函数图象的对称轴是直线，顶点坐标是， 所以当时，y的最大值是4， 因为， 所以当时，， 所以y的最大值与最小值之和为：． 故答案为：4． 12．/ 【分析】本题主要考查二次函数的性质、二次函数的最值等知识点，灵活利用二次函数的性质是解答本题的关键． 根据题意可以根据a的正负得到关于a的方程，从而可以求得a的值即可． 【详解】 解：∵，的解集为， ∴，方程的解集为，， ∴该函数的对称轴是直线，即， ∵， ∴当时，有最大值， ∵， ∴当时，有最小值， ∵函数最大值与最小值的差为2， ∴，解得：． 故答案为：． 13．或． 【分析】本题考查了二次函数的性质、二次函数的最值，根据题意，利用二次函数的性质和分类讨论的方法可以求得的值，即可求解，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和分类讨论的方法解答． 【详解】解：∵函数 ∴该函数的对称轴为直线，函数图象开口向上， 当时，当时，随的增大而增大， ∴当时，该函数取得最小值是，当时，该函数取得最大值是， ∵当时，函数的最大值与最小值之差为， ∴ 解得：（不合题意，舍去）， 当时，当时，函数的最小值是，最大值是， ∵当时，函数的最大值与最小值之差为9， 解得：或(不合题意，舍去)； 当时，当时，函数的最小值是，最大值是， ∵当时，函数的最大值与最小值之差为， 解得：或 (不合题意，舍去)； 当时，当时，随的增大而减小， ∴当时，该函数取得最大值是，当时，该函数取得最小值是， ∵当时，函数的最大值与最小值之差为， 解得：（不合题意，舍去）； 由上可得，的值是或， 故答案为：或． 14． 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，掌握二次函数图象与系数的关系．由二次函数解析式可得抛物线的对称轴，由，可得抛物线开口向下，根据点到对称轴的距离大小关系求解． 【详解】解：， 抛物线的对称轴为直线． 点为抛物线顶点，且， 抛物线开口向下， ，，， 的中点位于对称轴的左侧， 解得， 故答案为：． 15．3或 【分析】此题是二次函数的综合题，考查二次函数图象，二次函数的最值问题，正确掌握二次函数的知识是解题的关键． 确定抛物线的对称轴为直线，开口向下，最大值为，再分两种情况：当时，当时，求出的值． 【详解】解：二次函数（为常数）， 抛物线开口向下，对称轴为直线， 把代入， 得， 抛物线的顶点坐标为， 当时，函数的最大值为， 若，则时函数有最小值， 且函数最小值， ， 解得， 若，则时函数有最小值， 且函数最小值， ， 解得，（舍去）或， 综上所述，或． 故答案为：3或． 16．8 【分析】本题考查了二次函数的最值及二次函数的图像上点的坐标特征，最后根据二次函数的性质求最值是解题的关键． 设点P的坐标为，，根据四边形的周长得到：，再由二次函数的性质即可求得最大值． 【详解】解：当，则， 解得：， 设点P的坐标为，， 由题意可知：四边形的周长， ∴， ∵， 当时，C有最大值8． 故答案为：8． 17．(1)①；② (2) 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，二次函数的最值问题，二次函数图象的性质： （1）①利用一次函数解析式求出点A的坐标，再利用待定系数法求解即可；②利用一次函数解析式求出点A的坐标，再利用待定系数法用m表示出k，进而利用二次函数的性质求解即可； （2）仿照（1）②用含a、m的式子表示出k，再利用二次函数的性质讨论求解即可． 【详解】（1）解：①当时，一次函数解析式为， 当时，点A的坐标为， 在中，当时，， ∴点A的坐标为， 把代入到中得，解得， ∴反比例函数解析式为； ②当时，一次函数解析式为， ∴， ∴ 把代入到中得， ∴， ∵， ∴当，即时，k有最大值，最大值为； （2）解：∵一次函数的图象上有一点， ∴， ∴ 把代入到中得， ∴， 当时，则当时，k随着m的增大而减少， ∵当时，k随着m的增大而减少， ∴， ∴，此时不符合题意； 当时，则当时，k随着m的增大而减少， ∵当时，k随着m的增大而减少， ∴， ∴； 综上所述，． 18．(1)①直线；② (2)或 【分析】本题考查二次函数的图象与性质、解一元二次方程，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键． （1）①将点代入函数表达式得到，再利用二次函数的性质求解即可；②根据二次函数的开口方向和对称轴方程可得函数的最大值为，进而求得c值即可； （2）先得到抛物线的开口向上，对称轴为直线，则当时，该函数的最小值为，然后分当时和当时两种情况，分别利用二次函数的性质得到最大值，再根据已知列方程求解即可． 【详解】（1）解：①∵点在抛物线上， ∴，解得， ∴， ∴该抛物线的对称轴为直线； ②∵该抛物线的开口向上，对称轴为直线， 又∵时， ∴当时，y有最大值，最大值为， ∵当时，的最大值为， ∴， 解得， ∴该抛物线的函数表达式为； （2）解：由得抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∵，， ∴当时，该函数的最小值为， 当时，当时，该函数取得最大值， ∵最大值与最小值的差为， ∴，即， 解得或（不合题意，舍去）； 当时，当时，该函数取得最大值c， ∵最大值与最小值的差为， ∴，即， 解得或（不合题意，舍去）， 综上，符合题意的b值为或． 19．(1) (2) 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式和一次函数解析式，二次函数的最值，理解和掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）利用待定系数法将A点的坐标代入抛物线的解析式中即可求解． （2）先求得直线的解析式，然后根据与y轴的平行可设点，，则，依据二次函数的性质即可求得的最大值． 【详解】（1）解：将代入抛物线中，得， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：令得，， ∴点B的坐标为， 当时，， ∴点C的坐标为， 设直线的解析式为：， 将点，代入得 ， ∴． 直线的解析式为：． 因平行于y轴，且点N在直线上，点M在抛物线上， 故设点，， ， 当时，的值最大， 最大值为：． 20．(1)①；② (2)①当时，取得最大值，最大值为；②点P的坐标为 【分析】（1）①待定系数法求出抛物线的解析式即可； ②根据二次函数的性质求出y的取值范围即可； （2）①先求出直线的解析式为，设点P的坐标为，，则，求出，，得出，根据二次函数的最值，求出结果即可； ②先证明，得出，即可得出，列出方程，求出结果即可． 【详解】（1）解：①将，，，代入， 得， 解得：， ∴抛物线的解析式为． ②∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， ∵， ∴当时，y取得最大值3， ∴y的取值范围为． （2）解：①设直线BC的解析式为， 将，代入， 得， 解得， ∴直线的解析式为． 设点P的坐标为，， 则， ∴，， ∴， ∴当时，取得最大值，最大值为； ②∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， 解得，（舍去）， ∴点P的坐标为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，二次函数的最值，求一次函数解析，解题的关键是熟练掌握待定系数法，数形结合． 学科网（北京）股份有限公司 $$