1.1 周期变化（5大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（北师大版2019必修第二册）

1.1 周期变化 题型一 周期现象的判断及应用 1.下列现象不是周期现象的是（    ） A．挂在弹簧下方作上下振动的小球 B．游乐场中摩天轮的运行 C．抛一枚骰子，向上的数字是奇数 D．每四年出现一个闰年 【答案】C 【解析】周期现象是指间隔相等而重复出现的现象， 由此可知ABD均为周期现象，C不是周期现象.故选：C. 2.下列现象是周期现象的是（    ） ①日出日落；②潮汐；③海啸；④地震 A．①② B．①②③ C．①②④ D．③④ 【答案】A 【解析】①每天日出日落，周期为一天； ②潮汐是指海水在天体（主要是月球和太阳）引潮力作用下所产生的周期性运动； 而③海啸和④地震是随机现象.故选：A 3．（2024下·高一课时练习）钟表分针的运动是一个周期现象，其周期为60分钟，现在分针恰好指在2点处，则100分钟后分针指在（    ） A．8点处 B．10点处 C．11点处 D．12点处 【答案】B 【分析】利用时钟的周期为60分钟,分析100分是多少个周期,由此即可得到答案. 【详解】一个周期是60分钟,则100分钟是一个周期,故100分钟后分针指在10点处. 故选：B 4．（23-24高一下·河南南阳·月考）（多选）已知三角形是边长为的等边三角形.如图，将三角形的顶点与原点重合.在轴上，然后将三角形沿着轴顺时针滚动，每当顶点再次回落到轴上时，将相邻两个之间的距离称为“一个周期”，给出以下四个结论，其中说法正确的是（    ） A．一个周期是 B．完成一个周期，顶点的轨迹是一个半圆 C．完成一个周期，顶点的轨迹长度是 D．完成一个周期，顶点的轨迹与轴围成的面积是 【答案】ACD 【解析】由已知可得：点一个周期的运动轨迹如图所示， 对于A，当再次回落到轴上时，发生了个单位的位移，则一个周期为，A正确； 对于B，完成一个周期，顶点的轨迹由以为圆心，为半径的圆和 以为圆心，为半径的圆共同组成，不是一个半圆，B错误； 对于C，由B知，顶点的轨迹为，C正确； 对于D，顶点的轨迹与轴围成的区域面积为两个圆的面积与的面积之和， 即所求面积为，D正确.故选：ACD. 题型二 周期函数的判断 1.（2023·高一课时练习）下列函数图像中，不具有周期性的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据周期函数图像的特点，即图像具有重复性，即可判断出答案． 【详解】因为C选项中之间的图像在前后都没有重复出现， 所以C选项的函数图像不具有周期性， 故选：C． 2．（2024·全国·高三专题练习）已知定义在上的函数满足：. 求证：是周期函数，并求出其周期； 【详解】∵， ∴， ∴， ∴是周期函数，周期为6； 3.（2023高三·全国·专题练习）定义在R上的非常数函数满足：为偶函数，且，则一定是(　　) A．是偶函数，也是周期函数 B．是偶函数，但不是周期函数 C．是奇函数，也是周期函数 D．是奇函数，但不是周期函数 【答案】A 【分析】根据对称性可判断周期，结合周期可得奇偶性. 【详解】∵为偶函数，∴， 又故， 因此可得，所以是以10为周期的周期函数， 结合周期可得。是一个偶函数．故选：A. 题型三 利用函数的周期性求函数值 1.（2023上·河北唐山·高三阶段练习）设是定义在R上的周期为3的函数，当时，，则（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】D 【解析】由函数是周期为3的周期函数，得到，结合解析式，即可求解. 【详解】由题意，函数当时， 因为函数是周期为3的周期函数， 所以 故选：D. 2.（21-22高三·贵州六盘水·）函数的定义域为，若且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题首先可根据题意计算出、、、的值，然后根据计算出的值得出规律，并根据得出的规律求出的值. 【详解】因为，，所以， 则，，，由上述函数值可知： 当、、、、、时，函数的值按照、、、循环， 故，故选：D. 3.（22-23高三 安徽·阶段练习）已知是定义在上的函数，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知关系式可推导得到，可知周期为，结合的值可求得，由可得结果. 【详解】， ，是周期为的周期函数， ，，. 故选：B. 4．（24-25高三上·黑龙江·月考）已知是定义在上的函数，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为， 所以当时，，又，所以． 又由，可得， 所以， ， 故函数是以4为周期的函数，所以．故选：C． 题型四 利用函数的周期性求解析式 1．已知是定义在上周期为的函数，当时，，那么当时， . 【答案】 【解析】因为当时，,是定义在上周期为的函数 所以，. 2.（2023上·湖南株洲·高一校考阶段练习）已知函数是定义在上的周期为的周期函数，当时，，求当时，的解析式． 【解析】当，则， 所以， 所以，. 3.（2023·全国·高一随堂练习）周期函数的图象如图．    (1)求函数的最小正周期； (2)写出函数的解析式． 【答案】(1) (2)，，. 【分析】（1）由图象可得出函数的最小正周期； （2）求出函数在上的解析式，再结合函数周期性的定义可求得函数的解析式. 【详解】（1）解：由图可知，函数的最小正周期为. （2）解：当时，设，则，即； 当时，设，则，可得，即. 故当时，， 因为函数是以为最小正周期的周期函数，故对任意的，， 对任意的，当时，， 则. 因此，函数的解析式为，，. 题型五 周期性与奇偶性、对称性、单调性的综合应用 1.（24-25高一上·吉林长春·期中）已知定义在上的奇函数，其图象关于轴对称，当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由函数的图象关于轴对称，得， 由函数是上的奇函数，得，因此， 又当时，，所以.故选：B 2.（2023·陕西·统考二模）已知是定义在上的奇函数，若为偶函数且，则（    ） A．3 B． C． D．6 【答案】A 【分析】利用函数的奇偶性得出函数的周期，从而求值. 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，，所以有， 由为偶函数可得：， 故有 即，，故， 所以周期， 故 故选：A 3．（2024上·湖南衡阳·高一统考期末）定义在R上的奇函数满足，且在上单调递减，若方程在上有实根，则方程在区间上的所有实根之和为（    ） A．30 B．14 C．12 D．6 【答案】A 【分析】先根据题干求出函数的最小正周期，在画出函数的大致图像即可求解. 【详解】因为函数是奇函数，所以，且又因为， 所以即且函数关于对称， 令得，所以，即函数的最小正周期， 再由函数在上单调递减，方程在有实根可知方程在有且仅有一个实根，函数的大致图像如图所示：    由图可知函数与在区间有个交点，且两两对称 所以. 故选：A 4．（24-25高三上·河北·月考）已知定义在上的函数，满足，为偶函数，满足，则 ． 【答案】 【解析】因为为偶函数，则， 所以函数的图象关于直线对称， 因为，所以函数的图象关于点中心对称， 所以函数的周期， 令，则，得，则， 又，令，则，得， 则，所以， 则. 故答案为：. 1.（22-23高三·重庆沙坪坝·模拟）函数的定义域为，且，.若对任意实数，都有，则（    ） A． B．-1 C．0 D．1 【答案】D 【解析】将用替换，用替换，可得，从而可得，进而可得，可求出函数的周期，再令，可求出，由即可求解. 【详解】将用替换，用替换， 由对任意实数，都有， 可得，由， 所以，即， 所以，所以函数的周期， 令，则，因为，所以， 所以，故选：D 2.．（2023·全国·高三专题练习）已知为R上的奇函数，为R上的偶函数，且当时，，若，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用奇偶函数定义探求出函数的周期性，及在上的单调性即可判断作答. 【详解】由为奇函数，得，即， 又由为偶函数，得，即， 于是，即，因此的周期为8， 又当时，，则在上单调递增， 由，得的图象关于点成中心对称，则函数在上单调递增， 因此函数在上单调递增，由，得的图象关于直线对称， ，，， ，显然，即有，即， 所以a，b，c的大小关系为.故选：D 3．（2024上·贵州黔西·高一统考期末）定义在上的函数，满足，，且为偶函数，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用已知条件，确定，，且是周期为4的周期函数，利用赋值法即可求解. 【详解】因为为偶函数，所以关于对称， 所以，又因为， 所以，故， 从而，又， 所以，从而， 所以， 故函数是周期为4的周期函数； 由， 得，，， 故， 因为，所以， 即，又因为， 所以，令，得， 则，从而， 因为函数是周期为4的周期函数； 所以, 所以. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题求解的关键有两个：一是利用函数的对称性得出的周期；二是利用条件求出一个周期内函数值的和. 4．（2024上·内蒙古呼和浩特·高三统考期末）定义在上的奇函数满足，且当时，，则函数在上所有零点的和为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】推导出函数是周期为的周期函数，且函数的图象关于点对称，作出函数在上的图象以及函数的图象，数形结合可得出结果. 【详解】因为定义在上的奇函数满足， 则，所以，函数是周期为的周期函数， 则，故函数的图象关于点对称， 当时，， 作出函数在上的图象以及函数的图象如下图所示： 由图可知，函数在上的图象与函数的图象共有个交点， 且这个交点有三对点关于点对称， 因此，函数在上所有零点的和为. 故选：B. 【点睛】关键点睛：本题的关键是通过其对称性和奇偶性得到其周期性，再作出两函数图象则得到交点个数. 6 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.1 周期变化 题型一 周期现象的判断及应用 1.下列现象不是周期现象的是（    ） A．挂在弹簧下方作上下振动的小球 B．游乐场中摩天轮的运行 C．抛一枚骰子，向上的数字是奇数 D．每四年出现一个闰年 2.下列现象是周期现象的是（    ） ①日出日落；②潮汐；③海啸；④地震 A．①② B．①②③ C．①②④ D．③④ 3．（2024下·高一课时练习）钟表分针的运动是一个周期现象，其周期为60分钟，现在分针恰好指在2点处，则100分钟后分针指在（    ） A．8点处 B．10点处 C．11点处 D．12点处 4．（23-24高一下·河南南阳·月考）（多选）已知三角形是边长为的等边三角形.如图，将三角形的顶点与原点重合.在轴上，然后将三角形沿着轴顺时针滚动，每当顶点再次回落到轴上时，将相邻两个之间的距离称为“一个周期”，给出以下四个结论，其中说法正确的是（    ） A．一个周期是 B．完成一个周期，顶点的轨迹是一个半圆 C．完成一个周期，顶点的轨迹长度是 D．完成一个周期，顶点的轨迹与轴围成的面积是 题型二 周期函数的判断 1.（2023·高一课时练习）下列函数图像中，不具有周期性的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·全国·高三专题练习）已知定义在上的函数满足：. 求证：是周期函数，并求出其周期； 3.（2023高三·全国·专题练习）定义在R上的非常数函数满足：为偶函数，且，则一定是(　　) A．是偶函数，也是周期函数 B．是偶函数，但不是周期函数 C．是奇函数，也是周期函数 D．是奇函数，但不是周期函数 题型三 利用函数的周期性求函数值 1.（2023上·河北唐山·高三阶段练习）设是定义在R上的周期为3的函数，当时，，则（    ） A．0 B．1 C． D． 2.（21-22高三·贵州六盘水·）函数的定义域为，若且，则（   ） A． B． C． D． 3.（22-23高三 安徽·阶段练习）已知是定义在上的函数，，且，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·黑龙江·月考）已知是定义在上的函数，且，，则（   ） A． B． C． D． 题型四 利用函数的周期性求解析式 1．已知是定义在上周期为的函数，当时，，那么当时， . 2.（2023上·湖南株洲·高一校考阶段练习）已知函数是定义在上的周期为的周期函数，当时，，求当时，的解析式． 3.（2023·全国·高一随堂练习）周期函数的图象如图．    (1)求函数的最小正周期； (2)写出函数的解析式． 题型五 周期性与奇偶性、对称性、单调性的综合应用 1.（24-25高一上·吉林长春·期中）已知定义在上的奇函数，其图象关于轴对称，当时，，则（    ） A． B． C． D． 2.（2023·陕西·统考二模）已知是定义在上的奇函数，若为偶函数且，则（    ） A．3 B． C． D．6 3．（2024上·湖南衡阳·高一统考期末）定义在R上的奇函数满足，且在上单调递减，若方程在上有实根，则方程在区间上的所有实根之和为（    ） A．30 B．14 C．12 D．6 4．（24-25高三上·河北·月考）已知定义在上的函数，满足，为偶函数，满足，则 ． 1.（22-23高三·重庆沙坪坝·模拟）函数的定义域为，且，.若对任意实数，都有，则（    ） A． B．-1 C．0 D．1 2.．（2023·全国·高三专题练习）已知为R上的奇函数，为R上的偶函数，且当时，，若，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 3．（2024上·贵州黔西·高一统考期末）定义在上的函数，满足，，且为偶函数，，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．（2024上·内蒙古呼和浩特·高三统考期末）定义在上的奇函数满足，且当时，，则函数在上所有零点的和为（   ） A． B． C． D． 3 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$