1.3 弧度制（3知识点+5题型+巩固训练）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（北师大版2019必修第二册）

1.3 弧度制 课程标准 学习目标 （1）理解弧度制的定义； （2）熟练地在角度制和弧度制之间进行换算； （3）掌握弧度制在弧长公式和扇形面积公式中的应用，体会弧度制在数学中的简洁性和实用性； （4）通过弧度制的学习，培养学生数学抽象和数学运算的核心素养，帮助学生从不同角度理解数学概念． （1）了解弧度制下，角的集合与实数集之间的意义对应关系； （2）明确圆周角度数和弧度数，掌握角度与弧度的相互转化； （3）掌握弧度制下的扇形的弧长和面积公式，熟悉特殊角的弧度数． 知识点01 角度制与弧度制的概念 1、角度制：规定周角的为1度的角，这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制． 2、弧度制的有关概念 （1）弧度：在单位圆（半径为单位长度1的圆）中，把长度等于1的弧所对的圆心角称为1弧度的角．其中单位用符号表示，读作弧度（通常“弧度”或“”省略不写）． （2）弧度制：在单位圆中，每一段弧的长度就是它所对圆心角的弧度数．这种以弧度作为单位来度量角的方法，称作弧度制． （3）角的集合与实数集的关系 角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系， 如图，每个角都是唯一的实数（等于这个角的弧度数）与它对应； 反之，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与之对应． 3、弧度制与角度制的区别与联系 区别 （1）单位不同，弧度制以“弧度”为度量单位，角度制以“度”为度量单位；（2）定义不同． 联系 不管以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与圆的半径大小无关的定值． 【注意】用弧度制表示角时，“弧度”二字可以省略不写；用角度制表示角时单位“°”不能丢． 【即学即练1】（23-24高一下·河南南阳·月考）时钟的分针长，从到，分针转过的角的弧度数为 ． 【答案】 【解析】分针是顺时针旋转，所以转过的角． 【即学即练2】下列说法正确的是（    ） A．1弧度的角与1°的角一样大 B．若圆的一条弦长等于半径，则这条弦所对的圆心角是 C．经过5分钟分针转了30° D．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度 【答案】B 【解析】对于A，根据弧度制定义可知A错误； 对于B，若圆的一条弦长等于半径，则这条弦所对的圆心角为，即，故B正确； 对于C，经过5分钟分针转了，故C错误； 对于D，由弧度制的定义可知，长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小是1弧度， 则长度等于半径的弦所对的圆心角的大小不是1弧度，故D错误.故选：B． 知识点02 角度制与弧度制的互化 1、角度制与弧度制的换算 角度化弧度 弧度化角度 360°＝2π rad 2π rad＝360° 180°＝π rad π rad＝180° 1°＝ rad≈0.017 45 rad 1 rad＝°≈57.30° 度数×＝弧度数 弧度数×°＝度数 2、特殊角的度数与弧度数的对应表 度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 弧度 0 【注意】角度制与弧度制是两种不同的度量制度，在表示角时不能混用． 【即学即练3】（23-24高一上·湖南株洲·月考）把化成角度是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】.故选：B 【即学即练4】（23-24高一下·陕西渭南·期中）（多选）下列与的终边相同的角的表达式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【解析】对A,B在同一个表达式中，角度制与弧度制不能混用，所以A，B错误． 对C，，则与终边相同，而与终边相同， 且化为角度制即为，则与的终边相同， 则是与的终边相同的角的表达式，故C正确； 对D，由C得与终边相同， 则与终边相同的角可以写成的形式，则D正确．故选：CD． 知识点03 弧长与扇形面积公式 1、弧长与扇形面积公式的两种表示 类别/度量单位 角度制 弧度制 扇形的弧长 扇形的面积 【注】扇形的半径为，弧长为，或°为其圆心角． 2、弧长公式与扇形面积公式的注意事项 （1）在应用公式时，要注意的单位是“弧度”； （2）在弧度制下的扇形面积公式，与三角形面积公式的形式相似，可类比记忆． 【即学即练5】（24-25高一上·吉林·期末）已知扇形的周长是8cm，半径为2cm，则该扇形所对圆心角的弧度是（    ） A．1rad B．4rad C．3rad D．2rad 【答案】D 【解析】设扇形所对圆心角为，依题意可得，解得， 即该扇形所对圆心角的弧度是rad.故选：D 【即学即练6】（24-25高一上·贵州六盘水·期末）已知一个扇形的圆心角为，所对的弧长为，则该扇形的面积为 . 【答案】 【解析】由题意，圆心角，弧长， 由弧长公式，得扇形的半径， 则扇形面积. 难点：扇形面积、周长的最值问题 扇形的面积为，周长为，弧长为，半径为，圆心角为，则 （1）为定值有最大值； （2）为定值有最小值； 通常转化为某个函数的最值问题或用基本不等式求解． 【示例1】（24-25高一上·江苏镇江·期末）在周长为定值的扇形中，面积最大时扇形的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设扇形的半径为，则扇形的弧长为， 故扇形面积为， 故当时，扇形面积取得最大值.故选：C 【示例2】（24-25高三上·河南·月考）若扇形AOB的面积为S，则当扇形AOB的周长取得最小值时，该扇形的圆心角的弧度数为 ． 【答案】2 【解析】设扇形AOB的半径、弧长分别为r，l， 则，即， 所以周长，当且仅当时取等号， 所以当扇形AOB的周长最小时，圆心角的弧度数为. 【题型1：对弧度制概念的理解】 例1．（23-24高一下·陕西·月考）已知相互啮合的两个齿轮，大轮50齿，小轮20齿，当小轮转动一周时大轮转动的弧度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】小齿轮转动一周时，大齿轮转动周， 故其转动的弧度数是.故选：A. 变式1-1．（24-25高一上·广东佛山·期中）小明出国旅游，当地时间比北京时间晩一个小时，他需要将表的时针旋转，则转过的角的弧度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，小明需要把表调慢一个小时，即将表的时针逆时针旋转弧度.故选：B. 变式1-2．（23-24高一下·安徽淮北·月考）时间经过五个小时，时针转过的角为 . 【答案】 【解析】时针旋转是顺时针转，根据规定得到的是负角，每个小时时针转过的角的弧度大小为， 故时间经过五个小时，时针转过的角为. 变式1-3．关于弧度制，下列说法正确的是（    ） A．正角或者负角的弧度数都是正数 B．四分之一圆所对的圆心角是 C．角的顶点在原点，始边与轴非负半轴重合，角的终边旋转一周得到的角的大小等于 D．用角度制和弧度制度量角，角的大小都与圆的半径有关 【答案】B 【解析】正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，A错误； 整圆的圆心角是，故四分之一圆所对的圆心角是，B正确； 角的终边顺时针旋转一周得到的角是，角的终边逆时针旋转一周得到的角是，C错误； 无论是角度制还是弧度制，角的大小都与圆的半径无关，D错误．故选：B 【方法技巧与总结】 辨析弧度制与角度制 （1）以弧度、度为单位的角，都是一个与半径无关的量； （2）1弧度是弧长等于半径长的弧所对的圆心角的大小，而1度是圆周的所对的圆心角的大小，所以1弧度≠1度； （3）同一个式子中，角度、弧度不可以混用． 【题型2：角度制与弧度制的互化】 例2．（24-25高一上·广东揭阳·月考）化为弧度等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】.故选：D. 变式2-1．（24-25高一上·江苏无锡·月考）化成弧度制为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因，则.故选：D 变式2-2．（24-25高一上·陕西西安·月考）（多选）将下列角度与弧度进行互化正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】对于A，因，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确.故选：BCD. 变式2-3．（23-24高一下·山东潍坊·月考）（多选）下列转化结果正确的是是（    ） A．化成弧度是 B．化成角度是 C．化成弧度是 D．化成角度是 【答案】AB 【解析】对于A，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C ，，故C错误； 对于D，，故D错误.故选：. 【方法技巧与总结】 在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式π rad＝180°是关键， 由它可以得到：度数×＝弧度数，弧度数×＝度数．一般情况下，省略弧度单位rad． 【题型3：弧长公式的有关计算】 例3．（24-25高一上·天津南开·期末）已知扇形的圆心角为，半径为4，则扇形的弧长为（    ） A． B．2 C．4 D．8 【答案】D 【解析】因为扇形的圆心角为，半径为4，所以扇形的弧长为，故选：D 变式3-1．（24-25高一上·黑龙江·期末）已知扇形的半径为，它的周长为，那么该扇形的圆心角为（    ） A． B．4 C． D．2 【答案】B 【解析】设扇形的圆心角为，半径为， 由题意可得，故，故选：B 变式3-2．（24-25高一上·湖南长沙·期末）中国历代书画家喜欢在纸扇的扇面上题字绘画，某扇面为如图所示的扇环，记的长为，的长为，若，则扇环的圆心角的弧度数为（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】A 【解析】如图，设扇环所在圆的圆心为，圆心角为，则， 所以，得， 又，所以. 故选：A 变式3-3．（24-25高一上·吉林长春·期末）某机器上有相互啮合的大小两个齿轮，大轮有个齿，小轮有个齿，大轮每分钟转圈，若小轮的半径为，则小轮每秒转过的弧长是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由大轮有个齿，小轮有个齿，大轮每分钟转圈， 得小轮每分钟转的圈数为圈， 因此小轮每秒钟转的弧度数的绝对值为， 所以小轮每秒转过的弧长是（）.故选：B. 【方法技巧与总结】 在计算扇形弧长时要注意圆心角表示的形式，即圆心角需要使用弧度制表示． 【题型4：扇形面积的有关计算】 例4．（24-25高一上·江苏徐州·月考）若一扇形的圆心角为，半径为，则扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】扇形的圆心角为，半径为， 则扇形的面积为.故选：A. 变式4-1．（24-25高一上·陕西西安·期末）若一扇形的面积和半径均为，则其圆心角的弧度数为（    ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】A 【解析】设圆心角的弧度数为，依题意可得，解得， 即其圆心角的弧度数为.故选：A 变式4-2．（24-25高一上·福建龙岩·月考）砖雕是我国古建筑雕刻中的重要艺术形式，传统砖雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气.如图，一扇环形砖雕，可视为将扇形截去同心扇形所得图形，已知，，则该扇环形砖雕的面积为（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意知，，，，可得， 可得扇形的面积为，扇形的面积为， 所以该扇环形砖雕的面积为.故选：C. 变式4-3．（24-25高一上·甘肃白银·期末）敦煌莫高窟飞天壁画折扇的展开图如图1所示，其平面简化图如图2所示，该扇子的扇面（扇环形）可视为扇形截去扇形所剩余的部分．已知，，，则该扇子的扇面面积为 ． 【答案】 【解析】由题意得该扇子的扇面面积为. 【方法技巧与总结】 在计算中要确保单位的一致性，特别是当涉及不同单位的数值时（如弧度与度）． 【题型5：弧长与扇形面积的实际应用】 例5．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期末）《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章涉及到了弧田面积的计算问题，如图所示，弧田是由弧AB和弦AB所围成的图中阴影部分.若弧田所在扇形的圆心角为，扇形的弧长为，则此弧田的面积为 . 【答案】 【解析】设扇形的半径为，则扇形的弧长为，解得，扇形面积为， 取的中点，连接，如下图所示： 因为，则， 又因为，则， 所以，，，则， 所以，， 因此，弧田的面积为. 变式5-1．（23-24高一下·江西·月考）扇形拼盘是一种可以在宴会或聚会中展示美食的独特器具，它不仅可以为食物增添美观的视觉效果，还可以使每个人轻松地享用到不同的食物．已知某不锈钢扇形拼盘如图所示，其示意图可以看成是由中间的一个直径为24cm的圆，四周是8个相同的扇环形组成的，寓意“八方进宝”．若每个扇环形的周长为32+10πcm，则每个扇环形的面积为 ． 【答案】 【解析】设扇环形所在圆的半径为，依题意，扇环形所在扇形的圆心角为， 于是，解得， 所以每个扇环形的面积为（）. 变式5-2．（23-24高一上·山西运城·期末）《九章算术》是一部中国古代的数学专著．第一章《方田》主要讲各种形状的田地面积的计算方法，其中将圆环或不足一匝的圆环形田地称为“环田”（注：匝，意为周，环绕一周叫一匝）书中提到如图所示的一块“环田”：中周九十五步，外周一百二十五步，所在扇形的圆心角大小为5（单位：弧度），则“该环田”的面积为（    ） A．600平方步 B．640平方步 C．660平方步 D．700平方步 【答案】C 【解析】设中周的半径是，外周的半径是，圆心角为， ,解得：， 则“该环田”的面积为平方步.故选：C 变式5-3．（23-24高一上·内蒙古·期末）折扇是我国传统文化的延续，它常为字画的载体，深受人们的喜爱，如图1所示.图2是某折扇的结构简化图，若厘米，弧和弧的长度之和为40厘米，则该扇形环面（由扇形挖去扇形后构成）的面积是（    ） A．300平方厘米 B．320平方厘米 C．400平方厘米 D．480平方厘米 【答案】C 【解析】设厘米， 则弧的长度，弧的长度， 从而，即， 故该扇形环面的面积（平方厘米）.故选：C. 【方法技巧与总结】 涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题，关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形的面积公式直接求解或列方程(组)求解． 1．（23-24高一下·江苏南通·月考）若，则角的终边在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解析】，故角的终边在第四象限.故选：D 2．（23-24高一上·四川凉山·期末）已知扇形的周长为15，圆心角为3弧度，则扇形的半径是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解析】因为扇形的周长为15，所以， 又因为，，所以， 所以，解得，故选：B. 3．（24-25高一上·黑龙江·月考）已知圆心角为72°的扇形的弧长为，则该扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】圆心角，由弧长，得， 所以该扇形的面积为.故选：B. 4．（23-24高一上·天津·月考）若角的终边落在如图所示的阴影部分内，则角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意，在内阴影部分的边界射线对应的角分别为， 在内阴影部分对应角的范围是， 所以角的取值范围是.故选：D 5．（23-24高一下·山东烟台·月考）《掷铁饼者》取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为米，肩宽约为米，“弓”所在圆的半径约为米，则掷铁饼者双手之间的距离约为（    ） A．1.01米 B．1.76米 C．2.04米 D．2.94米 【答案】B 【解析】由题意可知，“弓”所在圆的弧长为， 由弧度数公式得， 即为等腰直角三角形，所以， 则掷铁饼者双手之间的距离.故选：B. 6．（24-25高一上·北京·月考）下列各组角中，终边相同的角是（    ） A．与 B． C．与 D．与 【答案】D 【解析】对于A，当时，表示终边在轴上的角，表示终边在坐标轴上的角，故A错误； 对于B，当时，因为表示终边在所在直线上的角； 表示终边在所在直线上的角以及轴上的角，故B错误； 对于C，当时，表示终边在这条直线上的角， 表示终边在所在直线上的角，故C错误； 对于D，当时，表示终边在轴负半轴上的角， 表示终边在轴负半轴上的角，故D正确.故选：D. 7．（23-24高一上·四川绵阳·开学考试）如图，将含角的直角三角板绕顶点顺时针旋转后得到，点经过的路径为弧，若，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，扇形的圆心角为，且 所以，所以， 且, 所以阴影部分的面积为.故选：C. 8．（23-24高一下·辽宁辽阳·月考）古代文人墨客与丹青手都善于在纸扇上题字题画，题字题画的部分多为扇环．已知某纸扇的扇环如图所示，其中外弧线长与内弧线长之和为，连接外弧与内弧的两端的线段长均为，且该扇形的中心角的弧度数为，则该扇环的外弧线长为（    ） A．70cm B．75cm C．68cm D．72cm 【答案】A 【解析】如图，设弧长为，弧长为, 因为该扇形的中心角的弧度数为， 所以，即， 又因为，所以， 又因为，解得， 所以该扇环的外弧线长为．故选：A. 9．（24-25高一上·吉林长春·期末）把一张半径为2的圆形纸片按如图所示的方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则劣弧的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】过点作于， 由折叠性质可得，， 所以，所以，所以， 所以劣弧的长是.故选：. 10．（24-25高一上·吉林·期中）莱洛三角形是定宽曲线所能构成的面积最小的图形，它是由德国机械学家莱洛首先发现的，故而得名．如图所示：它是分别以正三角形的顶点为圆心，以正三角形边长为半径作三段圆弧组成的一条封闭曲线，若，求： (1)莱洛三角形的周长； (2)莱洛三角形的面积． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为，由于三角形为正三角形， 所以以为圆心的扇形的弧长是， 莱洛三角形的周长为； （2）因为，由于三角形为正三角形， 所以以为圆心的扇形的面积是， 又的面积是， 所以勒洛三角形的面积为3个扇形面积减去2个正三角形面积，即． 11．（24-25高一上·河北邯郸·期末）如图所示，某城市中心有一圆形广场，政府计划在广场上用栅栏围一块扇形环面区域（由扇形去掉扇形构成）种植花卉，已知米，米，扇形环面区域面积为100平方米，圆心角为弧度． (1)求关于的函数解析式； (2)记花卉周围栅栏的长度为米，试问取何值时，的值最小?并求出最小值． 【答案】(1)，；(2)，栅栏长度的最小值为40米 【解析】（1）利用扇形的面积公式可得 所以， （2）依题意可得弧长，弧长，所以栅栏的长度 将代入上式，整理可得， 当且仅当时取等号，所以栅栏长度的最小值为40米． 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.3 弧度制 课程标准 学习目标 （1）理解弧度制的定义； （2）熟练地在角度制和弧度制之间进行换算； （3）掌握弧度制在弧长公式和扇形面积公式中的应用，体会弧度制在数学中的简洁性和实用性； （4）通过弧度制的学习，培养学生数学抽象和数学运算的核心素养，帮助学生从不同角度理解数学概念． （1）了解弧度制下，角的集合与实数集之间的意义对应关系； （2）明确圆周角度数和弧度数，掌握角度与弧度的相互转化； （3）掌握弧度制下的扇形的弧长和面积公式，熟悉特殊角的弧度数． 知识点01 角度制与弧度制的概念 1、角度制：规定周角的为1度的角，这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制． 2、弧度制的有关概念 （1）弧度：在单位圆（半径为单位长度1的圆）中，把长度等于1的弧所对的圆心角称为1弧度的角．其中单位用符号表示，读作弧度（通常“弧度”或“”省略不写）． （2）弧度制：在单位圆中，每一段弧的长度就是它所对圆心角的弧度数．这种以弧度作为单位来度量角的方法，称作弧度制． （3）角的集合与实数集的关系 角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系， 如图，每个角都是唯一的实数（等于这个角的弧度数）与它对应； 反之，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与之对应． 3、弧度制与角度制的区别与联系 区别 （1）单位不同，弧度制以“弧度”为度量单位，角度制以“度”为度量单位；（2）定义不同． 联系 不管以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与圆的半径大小无关的定值． 【注意】用弧度制表示角时，“弧度”二字可以省略不写；用角度制表示角时单位“°”不能丢． 【即学即练1】（23-24高一下·河南南阳·月考）时钟的分针长，从到，分针转过的角的弧度数为 ． 【即学即练2】下列说法正确的是（    ） A．1弧度的角与1°的角一样大 B．若圆的一条弦长等于半径，则这条弦所对的圆心角是 C．经过5分钟分针转了30° D．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度 知识点02 角度制与弧度制的互化 1、角度制与弧度制的换算 角度化弧度 弧度化角度 360°＝2π rad 2π rad＝360° 180°＝π rad π rad＝180° 1°＝ rad≈0.017 45 rad 1 rad＝°≈57.30° 度数×＝弧度数 弧度数×°＝度数 2、特殊角的度数与弧度数的对应表 度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 弧度 0 【注意】角度制与弧度制是两种不同的度量制度，在表示角时不能混用． 【即学即练3】（23-24高一上·湖南株洲·月考）把化成角度是（    ） A． B． C． D． 【即学即练4】（23-24高一下·陕西渭南·期中）（多选）下列与的终边相同的角的表达式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 知识点03 弧长与扇形面积公式 1、弧长与扇形面积公式的两种表示 类别/度量单位 角度制 弧度制 扇形的弧长 扇形的面积 【注】扇形的半径为，弧长为，或°为其圆心角． 2、弧长公式与扇形面积公式的注意事项 （1）在应用公式时，要注意的单位是“弧度”； （2）在弧度制下的扇形面积公式，与三角形面积公式的形式相似，可类比记忆． 【即学即练5】（24-25高一上·吉林·期末）已知扇形的周长是8cm，半径为2cm，则该扇形所对圆心角的弧度是（    ） A．1rad B．4rad C．3rad D．2rad 【即学即练6】（24-25高一上·贵州六盘水·期末）已知一个扇形的圆心角为，所对的弧长为，则该扇形的面积为 . 难点：扇形面积、周长的最值问题 扇形的面积为，周长为，弧长为，半径为，圆心角为，则 （1）为定值有最大值； （2）为定值有最小值； 通常转化为某个函数的最值问题或用基本不等式求解． 【示例1】（24-25高一上·江苏镇江·期末）在周长为定值的扇形中，面积最大时扇形的半径为（    ） A． B． C． D． 【示例2】（24-25高三上·河南·月考）若扇形AOB的面积为S，则当扇形AOB的周长取得最小值时，该扇形的圆心角的弧度数为 ． 【题型1：对弧度制概念的理解】 例1．（23-24高一下·陕西·月考）已知相互啮合的两个齿轮，大轮50齿，小轮20齿，当小轮转动一周时大轮转动的弧度数是（    ） A． B． C． D． 变式1-1．（24-25高一上·广东佛山·期中）小明出国旅游，当地时间比北京时间晩一个小时，他需要将表的时针旋转，则转过的角的弧度数是（    ） A． B． C． D． 变式1-2．（23-24高一下·安徽淮北·月考）时间经过五个小时，时针转过的角为 . 变式1-3．关于弧度制，下列说法正确的是（    ） A．正角或者负角的弧度数都是正数 B．四分之一圆所对的圆心角是 C．角的顶点在原点，始边与轴非负半轴重合，角的终边旋转一周得到的角的大小等于 D．用角度制和弧度制度量角，角的大小都与圆的半径有关 【方法技巧与总结】 辨析弧度制与角度制 （1）以弧度、度为单位的角，都是一个与半径无关的量； （2）1弧度是弧长等于半径长的弧所对的圆心角的大小，而1度是圆周的所对的圆心角的大小，所以1弧度≠1度； （3）同一个式子中，角度、弧度不可以混用． 【题型2：角度制与弧度制的互化】 例2．（24-25高一上·广东揭阳·月考）化为弧度等于（    ） A． B． C． D． 变式2-1．（24-25高一上·江苏无锡·月考）化成弧度制为（    ） A． B． C． D． 变式2-2．（24-25高一上·陕西西安·月考）（多选）将下列角度与弧度进行互化正确的是（    ） A． B． C． D． 变式2-3．（23-24高一下·山东潍坊·月考）（多选）下列转化结果正确的是是（    ） A．化成弧度是 B．化成角度是 C．化成弧度是 D．化成角度是 【方法技巧与总结】 在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式π rad＝180°是关键， 由它可以得到：度数×＝弧度数，弧度数×＝度数．一般情况下，省略弧度单位rad． 【题型3：弧长公式的有关计算】 例3．（24-25高一上·天津南开·期末）已知扇形的圆心角为，半径为4，则扇形的弧长为（    ） A． B．2 C．4 D．8 变式3-1．（24-25高一上·黑龙江·期末）已知扇形的半径为，它的周长为，那么该扇形的圆心角为（    ） A． B．4 C． D．2 变式3-2．（24-25高一上·湖南长沙·期末）中国历代书画家喜欢在纸扇的扇面上题字绘画，某扇面为如图所示的扇环，记的长为，的长为，若，则扇环的圆心角的弧度数为（    ） A．3 B．2 C． D． 变式3-3．（24-25高一上·吉林长春·期末）某机器上有相互啮合的大小两个齿轮，大轮有个齿，小轮有个齿，大轮每分钟转圈，若小轮的半径为，则小轮每秒转过的弧长是（    ）． A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 在计算扇形弧长时要注意圆心角表示的形式，即圆心角需要使用弧度制表示． 【题型4：扇形面积的有关计算】 例4．（24-25高一上·江苏徐州·月考）若一扇形的圆心角为，半径为，则扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 变式4-1．（24-25高一上·陕西西安·期末）若一扇形的面积和半径均为，则其圆心角的弧度数为（    ） A． B．1 C．2 D．4 变式4-2．（24-25高一上·福建龙岩·月考）砖雕是我国古建筑雕刻中的重要艺术形式，传统砖雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气.如图，一扇环形砖雕，可视为将扇形截去同心扇形所得图形，已知，，则该扇环形砖雕的面积为（    ）. A． B． C． D． 变式4-3．（24-25高一上·甘肃白银·期末）敦煌莫高窟飞天壁画折扇的展开图如图1所示，其平面简化图如图2所示，该扇子的扇面（扇环形）可视为扇形截去扇形所剩余的部分．已知，，，则该扇子的扇面面积为 ． 【方法技巧与总结】 在计算中要确保单位的一致性，特别是当涉及不同单位的数值时（如弧度与度）． 【题型5：弧长与扇形面积的实际应用】 例5．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期末）《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章涉及到了弧田面积的计算问题，如图所示，弧田是由弧AB和弦AB所围成的图中阴影部分.若弧田所在扇形的圆心角为，扇形的弧长为，则此弧田的面积为 . 变式5-1．（23-24高一下·江西·月考）扇形拼盘是一种可以在宴会或聚会中展示美食的独特器具，它不仅可以为食物增添美观的视觉效果，还可以使每个人轻松地享用到不同的食物．已知某不锈钢扇形拼盘如图所示，其示意图可以看成是由中间的一个直径为24cm的圆，四周是8个相同的扇环形组成的，寓意“八方进宝”．若每个扇环形的周长为32+10πcm，则每个扇环形的面积为 ． 变式5-2．（23-24高一上·山西运城·期末）《九章算术》是一部中国古代的数学专著．第一章《方田》主要讲各种形状的田地面积的计算方法，其中将圆环或不足一匝的圆环形田地称为“环田”（注：匝，意为周，环绕一周叫一匝）书中提到如图所示的一块“环田”：中周九十五步，外周一百二十五步，所在扇形的圆心角大小为5（单位：弧度），则“该环田”的面积为（    ） A．600平方步 B．640平方步 C．660平方步 D．700平方步 变式5-3．（23-24高一上·内蒙古·期末）折扇是我国传统文化的延续，它常为字画的载体，深受人们的喜爱，如图1所示.图2是某折扇的结构简化图，若厘米，弧和弧的长度之和为40厘米，则该扇形环面（由扇形挖去扇形后构成）的面积是（    ） A．300平方厘米 B．320平方厘米 C．400平方厘米 D．480平方厘米 【方法技巧与总结】 涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题，关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形的面积公式直接求解或列方程(组)求解． 1．（23-24高一下·江苏南通·月考）若，则角的终边在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（23-24高一上·四川凉山·期末）已知扇形的周长为15，圆心角为3弧度，则扇形的半径是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（24-25高一上·黑龙江·月考）已知圆心角为72°的扇形的弧长为，则该扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·天津·月考）若角的终边落在如图所示的阴影部分内，则角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·山东烟台·月考）《掷铁饼者》取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为米，肩宽约为米，“弓”所在圆的半径约为米，则掷铁饼者双手之间的距离约为（    ） A．1.01米 B．1.76米 C．2.04米 D．2.94米 6．（24-25高一上·北京·月考）下列各组角中，终边相同的角是（    ） A．与 B． C．与 D．与 7．（23-24高一上·四川绵阳·开学考试）如图，将含角的直角三角板绕顶点顺时针旋转后得到，点经过的路径为弧，若，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一下·辽宁辽阳·月考）古代文人墨客与丹青手都善于在纸扇上题字题画，题字题画的部分多为扇环．已知某纸扇的扇环如图所示，其中外弧线长与内弧线长之和为，连接外弧与内弧的两端的线段长均为，且该扇形的中心角的弧度数为，则该扇环的外弧线长为（    ） A．70cm B．75cm C．68cm D．72cm 9．（24-25高一上·吉林长春·期末）把一张半径为2的圆形纸片按如图所示的方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则劣弧的长是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高一上·吉林·期中）莱洛三角形是定宽曲线所能构成的面积最小的图形，它是由德国机械学家莱洛首先发现的，故而得名．如图所示：它是分别以正三角形的顶点为圆心，以正三角形边长为半径作三段圆弧组成的一条封闭曲线，若，求： (1)莱洛三角形的周长； (2)莱洛三角形的面积． 11．（24-25高一上·河北邯郸·期末）如图所示，某城市中心有一圆形广场，政府计划在广场上用栅栏围一块扇形环面区域（由扇形去掉扇形构成）种植花卉，已知米，米，扇形环面区域面积为100平方米，圆心角为弧度． (1)求关于的函数解析式； (2)记花卉周围栅栏的长度为米，试问取何值时，的值最小?并求出最小值． 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$