第一章 导数及其应用（单元重点综合测试）-2024-2025学年高二数学单元速记•巧练（湘教版2019选择性必修第二册）

第一章 导数及其应用（单元重点综合测试） （考试时间：120分钟；满分：150分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（24-25高二上·江苏淮安·阶段练习）函数的导函数（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】导数的运算法则 【分析】根据导数运算法则得到答案. 【详解】. 故选：B 2．（24-25高三上·河南·阶段练习）函数的图象在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、导数的运算法则、导数的加减法 【分析】求出，然后求导求出切线的斜率，再由点斜式得到直线方程即可； 【详解】， 因为，所以， 所求的切线方程为，即． 故选：A. 3．（24-25高二上·全国·课后作业）已知定义在上的函数的导函数，且，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数的单调性解不等式 【分析】根据为增函数，结合的定义域求解即可. 【详解】因为，所以函数在上单调递增. 又， 所以解得. 故选：C 4．（24-25高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知函数的定义域为且导函数为，函数的图象如图，则下列说法正确的是（    ） A．函数的增区间是 B．函数的减区间是 C．是函数的极大值点 D．是函数的极大值点 【答案】C 【知识点】求已知函数的极值点、函数极值点的辨析、函数与导函数图象之间的关系 【分析】根据函数图象确定导函数的符号，确定函数的单调区间和极值. 【详解】根据的图象可得： 当时，，时，，时，，时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 因此函数在处取得极小值，在处取得极大值. 故选：C. 5．（2024·山东泰安·模拟预测）把一个周长为6的长方形铁皮围成一个无盖无底的圆柱，当圆柱的体积最大时，该圆柱的底面半径和高的比值为（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【知识点】面积、体积最大问题、柱体体积的有关计算 【分析】设圆柱的底面半径为，高为，表示出体积关于高的函数，求导分析即可； 【详解】设圆柱的底面半径为，高为， 由题意可得，即， 圆柱的体积，， ， 令，解得或， 所以当时，，为增函数；当时，，为减函数； 当时，取得极大值，也是最大值， 此时高为1，半径为，底面半径和高的比值为， 故选：B. 6．（24-25高二上·吉林长春·期末）若，，，则以下不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】比较函数值的大小关系 【分析】将变形为，构造函数，利用导数研究其单调性，再结合作差法比较即可. 【详解】因为， 令，定义域为，则， 当时，，当 时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又因为，所以， 又，所以， 所以，即. 故选：D. 7．（24-25高三上·山东济南·阶段练习）已知实数满足，则函数的零点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【知识点】零点存在性定理的应用、利用导数研究函数的零点、求函数零点或方程根的个数 【分析】利用导数研究函数的单调性且，再利用指数函数、一次函数的性质确定参数的范围，结合零点存在性定理判断零点个数. 【详解】由题设，则或时，时，， 所以在上递增，在上递减，且， 由，即，而在R上递增，在R上递减， 显然，故， 所以，又趋向时趋向趋向时趋向， 综上，共有3个零点． 故选：D 8．（24-25高三上·河北邯郸·阶段练习）已知函数的定义域为，是奇函数，的导函数为，且，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【知识点】求函数值、函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、简单复合函数的导数 【分析】根据函数奇偶性可得是奇函数，且8是的一个周期，赋值法计算可得的值，同理可计算求得8也是的一个周期，求出的值即可. 【详解】由，得， 因为是奇函数，所以也是奇函数，所以，. 又，所以， 即，所以，所以8是的一个周期， 所以， 由，得. 由，得， 又，所以， 所以，即，所以， 所以8也是的一个周期， 所以，得， 所以，所以. 故选：A. 【点睛】方法点睛：求解函数值或求和问题时，经常利用函数奇偶性以及整体代换和赋值法求得对应的周期，再由周期性的应用即可得出结果. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（24-25高三上·青海·期中）已知函数的极小值点为1，极小值为.则（    ） A． B． C．有3个零点 D．直线与的图像仅有1个公共点 【答案】ACD 【知识点】根据极值求参数、利用导数研究函数的零点、根据极值点求参数 【分析】首先求函数的导数，根据极小值点以及极小值求参数，判断AB，再根据导数与函数的关系判断函数的图象，即可判断CD. 【详解】由题意得 则，解得，故A正确. 由，解得，故B错误. ， 当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以的极大值为， 画出草图，所以有3个零点，故C正确； 直线与的图像仅有1个公共点，故D正确. 故选：ACD. 10．（24-25高三上·甘肃白银·期末）已知函数，则（    ） A．函数有两个零点 B．函数在区间上单调递增 C．函数的极小值为 D．函数是奇函数 【答案】AC 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、用导数判断或证明已知函数的单调性、求已知函数的极值、求函数零点或方程根的个数 【分析】求出函数的解析式，可求出函数的零点，可判断A选项；利用导数分析函数的单调性，可判断B选项；利用函数的极值与导数的关系可判断C选项；计算出的值，可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为， 所以，令，可得， 可知函数有两个零点，A对； 对于BC选项，因为，由可得或，列表如下： 增 极大值 减 极小值 增 所以函数在区间和上单调递增，在区间上单调递减， 故在区间上不单调，函数的极小值为，B错C对； 对于D选项，设，若为奇函数，则， 即，但， 所以函数不是奇函数． 故选：AC． 11．（甘肃省2024-2025学年高三上学期12月高考诊断数学试卷）设函数，则下列说法正确的有（    ） A．函数有三个零点 B．是的极小值点 C．函数的对称中心为 D．过可以作三条直线与的图象相切 【答案】BCD 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、用导数判断或证明已知函数的单调性、求已知函数的极值、利用导数研究函数的零点 【分析】先求导函数，根据导函数正负得出函数的单调性得出极值进而得出零点判断A，B；应用对称性定义计算判断C，先设切点再得出切线方程代入计算求参即可得出三个根判断D. 【详解】，， 当或时，，当时，，所以函数在，上单调递增，在上单调递减， 所以，，又，所以函数仅有1个零点，且该零点在区间上，故A错误，B正确； 由，得， 所以函数的图象关于对称，故C正确； 设切点为，则，故切线方程为， 又过点，所以，整理得， 即，解得或或，所以过可以作三条直线与的图象相切，故D正确． 故选:BCD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（21-22高二下·浙江绍兴·期中）函数的单调递减区间为 【答案】 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】对函数求导，通过求解，即可得到函数的单调递减区间. 【详解】解：∵函数，则， 令解得， 所以函数的单调递减区间为． 故答案为 13．（湘豫名校联考2024-2025学年高三一轮复习质量检测数学试题）已知函数在上存在极值，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】根据极值点求参数 【分析】求出函数的导数，再探讨并求出极值点，列式求出范围. 【详解】函数的定义域为，求导得， 当时，，无极值点；当时，由，得， 当时，，当时，，则是函数的极值点， 依题意，，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 14．（24-25高三上·广东潮州·阶段练习）已知定义域为的函数的导函数为，若函数和均为偶函数，且，则 ． 【答案】2 【知识点】函数周期性的应用、导数的运算法则、由函数的周期性求函数值 【分析】为偶函数，则，两边求导得到，即，结合，得到，故是以4为周期的周期函数，由，可得，则可求. 【详解】因为为偶函数，则，即， 又因为为偶函数，则. 由，求导得，即， 所以，则， 所以是以4为周期的周期函数. 由，可得，即， 由，得， 所以， 所以. 故答案为：2 【点睛】知识点点睛：设函数，，． （1）若，则函数的周期为2a； （2）若，则函数的周期为2a； （3）若，则函数的周期为2a； （4）若，则函数的周期为2a； （5）若，则函数的周期为； 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）（16-17高二下·湖北孝感·期中）已知函数的图象过点，且在和上为增函数，在上为减函数． (1)求的解析式； (2)求在R上的极值． 【答案】(1)； (2)极大值，极小值. 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、求已知函数的极值 【分析】（1）由点在上得，根据区间单调性知是的两个根，结合根与系数关系求得，即可得解析式. （2）由已知区间单调性及极值点的定义，即可求极值. 【详解】（1）的图象过点， ， ， ， 由已知：是的两个根，则， . . （2）由题设：是的极大值点， 是的极小值点， 极大值，极小值. 16．（15分）（24-25高三上·浙江杭州·阶段练习）已知函数. (1)讨论函数的单调性 (2)当时，证明：. 【答案】(1)答案见解析； (2)证明见解析. 【知识点】利用导数证明不等式、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）求导后，分和两类进行分类讨论，结合导数求单调区间的方法即可求解. （2）由题意，将代入函数解析式中，对函数进行求导，利用导数得到函数的单调性和最值，进而即可求解. 【详解】（1）函数的定义域为，求导得， 当时，在上为单调递增； 当时，由，得；由，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 综上，当时，的递增区间为； 当时，的递增区间，递减区间为. （2）证明：当时，函数的定义域为， 由（1）知函数在上单调递增，在上单调递减， 则当时，函数取得最大值， 所以. 17．（15分）（22-23高二上·山东滨州·阶段练习）已知函数． (1)若，求函数的单调区间； (2)若函数在上是减函数，求实数的取值范围． 【答案】(1)单调递减区间是 ，单调递增区间是 ， (2) 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】(1)先对函数求导，利用导数判断函数的单调区间； (2)已知函数在上是减函数，可知知恒成立，利用参数分离法,求的最大值即可求解. 【详解】（1）当时，， ， 所以的单调递减区间是 ，单调递增区间是 （2）由函数在上是减函数，知恒成立， ． 由恒成立可知恒成立，则， 设，则， 由，知， 函数在上递增，在上递减， ∴，∴． 18．（17分）（2025·宁夏内蒙古·模拟预测）已知函数. (1)设，求曲线的斜率为2的切线方程； (2)若是的极小值点，求b的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、根据极值点求参数 【分析】（1）由切线斜率为2，结合导数知识可得切线过点，然后可得切线方程； （2）由是的极小值点，可得，然后据此讨论的单调性，分析得在时的极值情况，从而得解. 【详解】（1）当时，，其中， 则，令， 化简得，解得（负值舍去）， 又此时，则切线方程过点，结合切线方程斜率为2， 则切线方程为，即. （2）由题可得定义域为，， 因是的极小值点，则， 则， 若，令，令， 则在上单调递增，在上单调递减， 得是的极大值点，不满足题意； 若，令，令， 则在上单调递增，在上单调递减， 得是的极大值点，不满足题意； 若，则，在上单调递减，无极值，不满足题意； 若，令，令， 则在上单调递增，在上单调递减， 得是的极小值点，满足题意； 综上，是的极小值点时，. 19．（17分）（24-25高三上·北京·阶段练习）已知函数． (1)设是的极值点．求的值，并讨论的零点个数； (2)证明：当时，． 【答案】(1)，有两个零点 (2)证明见解析 【知识点】函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数证明不等式、利用导数研究函数的零点、根据极值点求参数 【分析】（1）根据极值点定义代入计算可得，得出相应单调性以及零点存在定理可得结论； （2）对函数求导得出其单调性求出的最小值，可证明得出结论. 【详解】（1）的定义域为， ， 由题设知，，所以， 从而， 当时，；当时，， 可得在上单调递减，在上单调递增， ， 由易知，由零点存在定理可得函数有两个零点 （2）证明：当时，； 设，则， 当时，；当时，， ∴是的极小值点，也是最小值， 故当时，， 因此，当时， 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 导数及其应用（单元重点综合测试） （考试时间：120分钟；满分：150分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（24-25高二上·江苏淮安·阶段练习）函数的导函数（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·河南·阶段练习）函数的图象在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·全国·课后作业）已知定义在上的函数的导函数，且，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知函数的定义域为且导函数为，函数的图象如图，则下列说法正确的是（    ） A．函数的增区间是 B．函数的减区间是 C．是函数的极大值点 D．是函数的极大值点 5．（2024·山东泰安·模拟预测）把一个周长为6的长方形铁皮围成一个无盖无底的圆柱，当圆柱的体积最大时，该圆柱的底面半径和高的比值为（   ） A．2 B． C．1 D． 6．（24-25高二上·吉林长春·期末）若，，，则以下不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高三上·山东济南·阶段练习）已知实数满足，则函数的零点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 8．（24-25高三上·河北邯郸·阶段练习）已知函数的定义域为，是奇函数，的导函数为，且，则（   ） A． B． C． D．2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（24-25高三上·青海·期中）已知函数的极小值点为1，极小值为.则（    ） A． B． C．有3个零点 D．直线与的图像仅有1个公共点 10．（24-25高三上·甘肃白银·期末）已知函数，则（    ） A．函数有两个零点 B．函数在区间上单调递增 C．函数的极小值为 D．函数是奇函数 11．（甘肃省2024-2025学年高三上学期12月高考诊断数学试卷）设函数，则下列说法正确的有（    ） A．函数有三个零点 B．是的极小值点 C．函数的对称中心为 D．过可以作三条直线与的图象相切 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（21-22高二下·浙江绍兴·期中）函数的单调递减区间为 13．（湘豫名校联考2024-2025学年高三一轮复习质量检测数学试题）已知函数在上存在极值，则实数的取值范围是 ． 14．（24-25高三上·广东潮州·阶段练习）已知定义域为的函数的导函数为，若函数和均为偶函数，且，则 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）（16-17高二下·湖北孝感·期中）已知函数的图象过点，且在和上为增函数，在上为减函数． (1)求的解析式； (2)求在R上的极值． 16．（15分）（24-25高三上·浙江杭州·阶段练习）已知函数. (1)讨论函数的单调性 (2)当时，证明：. 17．（15分）（22-23高二上·山东滨州·阶段练习）已知函数． (1)若，求函数的单调区间； (2)若函数在上是减函数，求实数的取值范围． 18．（17分）（2025·宁夏内蒙古·模拟预测）已知函数. (1)设，求曲线的斜率为2的切线方程； (2)若是的极小值点，求b的取值范围. 19．（17分）（24-25高三上·北京·阶段练习）已知函数． (1)设是的极值点．求的值，并讨论的零点个数； (2)证明：当时，． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$