6.3.1特殊的平行四边形（3题型基础+能力+创新+易错）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（青岛版）

6.3.1特殊的平行四边形 题型一 利用矩形的性质进行证明 1．如图，四边形是矩形，点F在线段的延长线上，．求证：． 2．如图，在矩形中，为边上一点，连接，．若，过点作于点．求证：． 3．如图，在矩形中，，点在上，连接． (1)在上求作一点，使得线段的长最小．（要求：尺规作图,不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，求证：． 4．如图，矩形的对角线，相交于点，过点作的平行线交的延长线于点． (1)求证：． (2)若，，求的长． 题型二 利用矩形的性质进行计算 1．如图，矩形的对角线，交与点O，于E，点F为中点，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在矩形中，对角线相交于点O，若，则的长为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 3．如图，在矩形中，的平分线交于点．若，则的长为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 4．如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点A，C的坐标分别是，，点B在x轴上，则点B的横坐标是（   ） A．4 B． C． D．5 5．如图，四边形是矩形，分别以点A和点C为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点M，N；作直线分别交于点E，F，连接，若，求∠BAF的度数． 6．如图矩形的对角线和相交于点，过点的直线分别交和于点，，，，求图中阴影部分的面积． 题型三 利用直角三角形的性质定理2进行计算或证明 1．如图，有一架梯子斜靠在与地面垂直的墙上，在墙角（点处）有一只猫紧紧盯住位于梯子（）正中间（点处）的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉，把梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，若梯子的长度为4米，梯子端沿墙下滑，且梯子端沿地面向右滑行．在此滑动过程中，猫与老鼠的距离 （填“变大”或“变小”或“不变”）． 2．如图，是的高，，是，的中点，若，，则四边形的周长为 ． 3．如图，已知在中，，为的中点，在图中作点D，使，且，在上取点F，使得，分别联结、、，试判断与之间的位置关系，并证明． 1．如图，矩形中，点是的中点，交于点，连接、交于点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，矩形面积为40，点P在边上，，，垂足分别为．若，则（    ） A．4 B．5 C．8 D．10 3．如图，在长方形中，，．延长到，使，连接．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向终点运动．设点运动的时间为．当取某个值时，使得和全等，则满足条件的值是 ． 4．在矩形中，点E是上一点，，，垂足为F． (1)求证：； (2)若，求． 5．四边形是矩形，E是延长线上一点，连接，，． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若F是的中点，连接，，求证． 6．如图，已知，长方形ABCD的点A在直线a上，B，C，D三点在平面上移动变化（长方形形状大小始终保持不变），请根据如下条件解答： (1)图1，若点B、D在直线b上，点C在直线b的下方，∠2＝30°，则∠1＝______； (2)图2，若点D在直线a的上方，点C在平行直线a，b内，点B在直线b的下方，m，n表示角的度数，请写出m与n的数量关系并说明理由； (3)图3，若点D在平行直线a，b内，点B，C在直线b的下方，x，y表示角的度数，且满足关系式，求x的度数． 1．如图，矩形BCDE的各边分别平行于x轴或y轴，物体甲和物体乙由点同时出发，沿矩形的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第次相遇地点的坐标是（ ） A． B． C． D． 2．利用图形分、和、移、补探索图形关系，是数学的一种重要方法．如图1，是矩形的对角线，将分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按照图2重新摆放，观察两图，若，则矩形的面积是 ． 3．数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所得两长方形面积相等（如图所示）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证． 请根据该图完成这个推论的证明过程． 证明：，（ ① ＋ ② ） 又， ③ ＝ ④ ， ⑤ ＝ ⑥ ． ． 4．【探究与证明】折纸操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘． 【动手操作】如图，将矩形纸片对折，使与重合，展平纸片，得到折痕；折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，点，的对应点分别为，；展平纸片，连接，，．请完成：    (1)观察图中，和，试猜想这三个角的大小关系； (2)证明（1）中的猜想； 1．矩形不一定具有的性质是（   ） A．四个角都是直角 B．对角线互相垂直 C．是轴对称图形 D．对角线相等 2．如图，在矩形中对角线相交于点O，有以下结论：①；②若，则是等边三角形；③；④；⑤平分．正确结论的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．如图，四边形是矩形，直线分别交，，于点E，F，O．下列条件中，不能证明的是（  ） A．O为矩形两条对角线的交点 B． C． D． 4．矩形中，平分，，则下列结论 ①； ②是等腰三角形； ③； ④， 其中正确结论的序号为 1 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.3.1特殊的平行四边形 题型一 利用矩形的性质进行证明 1．如图，四边形是矩形，点F在线段的延长线上，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的性质与判定，先由矩形的性质得到，，再证明，得到，最后由线段的和差关系即可证明． 【详解】证明：四边形是矩形， ，， 在和中， ， ， ， ， 即． 2．如图，在矩形中，为边上一点，连接，．若，过点作于点．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查矩形的性质，根据矩形的性质得出，，进而利用证明三角形全等解答即可． 【详解】证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴． 3．如图，在矩形中，，点在上，连接． (1)在上求作一点，使得线段的长最小．（要求：尺规作图,不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了矩形的性质、尺规作垂线、全等三角形的判定与性质，关键是掌握全等三角形的判定和性质． （1）尺规作即可； （2）连接，证即可得到结论． 【详解】（1）解：如图所示：点即为所求 （2）证明：连接，如图所示： 由题意得：， ∵， ∴ ∵， ∴ ∵ ∴， ∴． 4．如图，矩形的对角线，相交于点，过点作的平行线交的延长线于点． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定、矩形的相关性质．直角三角形30度角的性质，熟记掌握矩形的性质是解答本题的关键． （1）可证四边形是平行四边形以此求证； （2）由矩形的性质可得，，再由，可得．求得，再利用直角三角形30度角的性质即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ，， ． ， 四边形是平行四边形， ， ． （2）解：四边形是矩形， ，， ， ． ， ， ， ． 题型二 利用矩形的性质进行计算 1．如图，矩形的对角线，交与点O，于E，点F为中点，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据矩形的性质，，利用等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理解答即可． 【详解】解：∵ 矩形的对角线，交与点O， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，点F为中点， ∴，， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 2．如图，在矩形中，对角线相交于点O，若，则的长为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，根据四边形是矩形，则对角线互相平分且相等，则，即可作答． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 3．如图，在矩形中，的平分线交于点．若，则的长为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，根据题意可得是等腰直角三角形，则，根据，即可求解． 【详解】解：∵在矩形中，的平分线交于点． ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴， 故选：C． 4．如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点A，C的坐标分别是，，点B在x轴上，则点B的横坐标是（   ） A．4 B． C． D．5 【答案】D 【分析】分别过点作轴，轴于点，证明，得，从而可得，即可解答此题． 【详解】解：过点作轴，轴于点，如图： ， ∴， ∵点A的坐标是，点C的坐标是 ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 在中 ， ∴ ∴ ∴， ∴点B的横坐标是5， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了坐标与图形，全等三角形的判定与性质，矩形的性质等知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解答此题的关键． 5．如图，四边形是矩形，分别以点A和点C为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点M，N；作直线分别交于点E，F，连接，若，求∠BAF的度数． 【答案】/34度 【分析】本题主要考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质、矩形的性质、等角对等边等知识点，熟练掌握线段垂直平分线的性质、矩形的性质是解答本题的关键． 由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，可得，则．结合矩形的性质可得，再根据即可解答． 【详解】解：由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线， ∴， ∴． ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 6．如图矩形的对角线和相交于点，过点的直线分别交和于点，，，，求图中阴影部分的面积． 【答案】3 【分析】本题主要考查矩形的性质，全等三角形的判定与性质，首先证明，由此可得出，则可求出答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴ ∴, 又 ∴， ∴ ∴ 题型三 利用直角三角形的性质定理2进行计算或证明 1．如图，有一架梯子斜靠在与地面垂直的墙上，在墙角（点处）有一只猫紧紧盯住位于梯子（）正中间（点处）的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉，把梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，若梯子的长度为4米，梯子端沿墙下滑，且梯子端沿地面向右滑行．在此滑动过程中，猫与老鼠的距离 （填“变大”或“变小”或“不变”）． 【答案】不变 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．根据题意知，是直角斜边上的中线，则，长度不变． 【详解】解：如图，连接， 根据题意知，点P是直角斜边的中点， 则是直角斜边上的中线，则， 由于的长度不变，则的长度不变． 故答案为：不变． 2．如图，是的高，，是，的中点，若，，则四边形的周长为 ． 【答案】22 【分析】本题考查的是直角三角形斜边上的中线的性质，熟记直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 根据直角三角形斜边上的中线的性质分别求出、，根据线段中点的概念分别求出、，进而求出四边形的周长． 【详解】解：∵是的高， ∴， ∵、分别是、的中点， ∴，， ∴四边形的周长， 故答案为：22． 3．如图，已知在中，，为的中点，在图中作点D，使，且，在上取点F，使得，分别联结、、，试判断与之间的位置关系，并证明． 【答案】，证明见解析 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形的性质、平行线的性质等知识，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题关键．先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，根据等腰三角形的性质可得，再根据平行线的性质可得，从而可得，然后根据等腰三角形的三线合一即可得出结论． 【详解】解：，证明如下： ∵在中，，为的中点， ∴， ∵在中，，为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即平分， 又∵，， ∴， ∴（等腰三角形的三线合一）． 1．如图，矩形中，点是的中点，交于点，连接、交于点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质．延长交的延长线于点，由矩形的性质得出，，证明，由全等三角形的性质得出，证出，则可得出结论． 【详解】解：延长交的延长线于点， 四边形是矩形， ，， 又为的中点， ， ， ， 又，，， ， ， 又， ， ， 又，， ， ， ， ． 故选：A． 2．如图，矩形面积为40，点P在边上，，，垂足分别为．若，则（    ） A．4 B．5 C．8 D．10 【答案】A 【详解】此题考查了矩形的性质、三角形面积公式．令与相交于点，连接，由矩形的性质得出，，结合，计算即可得出答案． 【解答】解：如图，令与相交于点，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵矩形面积为40， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 3．如图，在长方形中，，．延长到，使，连接．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向终点运动．设点运动的时间为．当取某个值时，使得和全等，则满足条件的值是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了全等三角形的判定、矩形的性质、动点问题，分情况讨论即可作答． 【详解】①当点在上时，由题意得 要使，则需 解得： ②当在上时，不构成 ③当在 上时，由题意得 要使，则需，即 解得： 综上，当或时， 故答案为或． 4．在矩形中，点E是上一点，，，垂足为F． (1)求证：； (2)若，求． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、角的互余关系； （1）由矩形的性质得出，，，得出，由证明，得出，即可得出结论； （2）先证出，再由角的互余关系即可求出的度数． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ，，， ， ， ， 在和中， ， ∴， ， ， ， ， 即； （2）解：，， ， 如图，取中点，连，则， ∴， ∴是等边三角形， ， ， ， ． 5．四边形是矩形，E是延长线上一点，连接，，． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若F是的中点，连接，，求证． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】此题考查矩形的性质，全等三角形的判定与性质，解题关键是根据矩形的四个角都相等解答． （1）连接，与交于点，根据矩形的性质解答即可； （2）延长交延长线于点，根据证明，进而利用全等三角形的性质解答即可． 【详解】（1）解：如图①，连接，与交于点， 四边形是矩形， ，，， ， ， ， ， ， ； （2）证明：如图②，延长交延长线于点， 四边形是矩形， ∴， 即， ，， 是的中点， ， ， ，． ，即， ， ， 又， ． 6．如图，已知，长方形ABCD的点A在直线a上，B，C，D三点在平面上移动变化（长方形形状大小始终保持不变），请根据如下条件解答： (1)图1，若点B、D在直线b上，点C在直线b的下方，∠2＝30°，则∠1＝______； (2)图2，若点D在直线a的上方，点C在平行直线a，b内，点B在直线b的下方，m，n表示角的度数，请写出m与n的数量关系并说明理由； (3)图3，若点D在平行直线a，b内，点B，C在直线b的下方，x，y表示角的度数，且满足关系式，求x的度数． 【答案】(1)60° (2)m+n=90° (3)50° 【分析】（1）利用互余关系，两直线平行，内错角相等计算即可． （2）过点C作CE∥a,根据平行线的性质，矩形的性质计算即可． （3）结合（2），构造方程组计算即可． 【详解】（1）如图1，∵a∥b， ∴∠1=∠3， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠2+∠3=90°， ∴∠3=90°-∠2， ∴∠1=90°-∠2， ∵∠2=30°， ∴∠1=60°． （2）过点C作CE∥a,设度数为m的角为α，度数为n的角为β， ∵a∥b， ∴CE∥b, ∴∠1=∠4，∴∠2=∠α， ∵四边形ABCD是矩形， ∴CD∥AB, ∠2+∠1=90°， ∴∠4=∠β， ∴∠α+∠β=90°， 故m+n=90°． （3）如图3，过点D作c∥a,设度数为x的角为α，度数为y的角为β， ∵a∥b， ∴c∥b, ∴∠6=∠7，∴∠5=∠α， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠5+∠7=90°， ∴∠6=∠β， ∴∠α+∠β=90°， 故x+y=90°, ∵x-y=10°， 解得x=50°． 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，矩形的性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 1．如图，矩形BCDE的各边分别平行于x轴或y轴，物体甲和物体乙由点同时出发，沿矩形的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第次相遇地点的坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了点的变化规律以及行程问题中的相遇问题及按比例分配的运用，通过计算发现规律就可以解决问题．解本题的关键是找出规律每相遇三次，甲乙两物体回到出发点． 利用行程问题中的相遇问题，由于矩形的边长为4和2，物体乙是物体甲的速度的2倍，求得每一次相遇的地点，找出规律即可解答． 【详解】解：矩形的边长为4和2，由题意知，物体乙是物体甲的速度的2倍，时间相同，物体甲与物体乙的路程比为1：2， ①第一次相遇物体甲与物体乙行的路程和为，物体甲行的路程为，物体乙行的路程为，在边相遇； ②第二次相遇物体甲与物体乙行的路程和为，物体甲行的路程为，物体乙行的路程为，在边相遇； ③第三次相遇物体甲与物体乙行的路程和为，物体甲行的路程为，物体乙行的路程为，在A点相遇； 此时甲乙回到原出发点， 则每相遇三次，甲乙两物体回到出发点， ∵， 故两个物体运动后的第次相遇地点的是：第二次相遇地点，相遇点的坐标为：， 故选：B． 2．利用图形分、和、移、补探索图形关系，是数学的一种重要方法．如图1，是矩形的对角线，将分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按照图2重新摆放，观察两图，若，则矩形的面积是 ． 【答案】64 【分析】此题考查整式混合运算的实际应用，设小正方形的边长为，得到矩形的长为，宽为．列得，将代入即可求． 【详解】解：设小正方形的边长为， 矩形的长为，宽为． 由图1、图2可得， 整理得． ，， ， ， 矩形的面积为， 故答案为64． 3．数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所得两长方形面积相等（如图所示）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证． 请根据该图完成这个推论的证明过程． 证明：，（ ① ＋ ② ） 又， ③ ＝ ④ ， ⑤ ＝ ⑥ ． ． 【答案】①；②；③；④；⑤；⑥ 【分析】本题考查矩形的性质，由题意可得四边形和四边形均为矩形，矩形的对角线将矩形平分为两个面积相等的三角形，由此逐项论证即可． 【详解】证明：， 又，，． ． 故答案为：①；②；③；④；⑤；⑥． 4．【探究与证明】折纸操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘． 【动手操作】如图，将矩形纸片对折，使与重合，展平纸片，得到折痕；折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，点，的对应点分别为，；展平纸片，连接，，．请完成：    (1)观察图中，和，试猜想这三个角的大小关系； (2)证明（1）中的猜想； 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）猜想； （2）证明是等边三角形，根据等边三角形的对称性推出平分，从而得出，进一步得出结论． 【详解】（1）解：这三个角的大小关系为：； （2）证明：如图， ∵将矩形纸片对折，使与重合，得到折痕；折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，点，的对应点分别为，， ∴是的垂直平分线，是的垂直平分线，， ∴，点是的中点， ∴， ∴是等边三角形且关于对称， ∴， ∵折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，点的对应点为， ∴关于对称， ∴线段与线段关于对称， 又∵点的对应点为，点在线段上且点是线段的中点， ∴点在线段上且点是线段的中点， ∴平分， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查轴对称的性质，矩形的性质，垂直平分线的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形三线合一性质等知识，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质． 1．矩形不一定具有的性质是（   ） A．四个角都是直角 B．对角线互相垂直 C．是轴对称图形 D．对角线相等 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．根据矩形的性质：对边相等且平行，四个角都是直角，对角线平分且相等，矩形既是中心对称图形也是轴对称图形，根据性质判断即可． 【详解】解：矩形不一定具有的性质是对角线垂直． 故选：B． 2．如图，在矩形中对角线相交于点O，有以下结论：①；②若，则是等边三角形；③；④；⑤平分．正确结论的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，等边对等角，等边三角形的判定，外角的性质，先由矩形的性质得，，结合图形，等底同高，所以，当，则是等边三角形，据此即可作答． 【详解】解：∵矩形中对角线相交于点O， ∴，， 故③是正确的； ∴， 故①是正确的； ∵若， ∴， ∴， ∵ ∴是等边三角形 故②是正确的； 依题意，无法证明， 故④是错误的； 依题意，无法得出平分． 故⑤是错误的； 故选：B． 3．如图，四边形是矩形，直线分别交，，于点E，F，O．下列条件中，不能证明的是（  ） A．O为矩形两条对角线的交点 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质、平行线的性质、全等三角形的判定，熟练掌握矩形的性质和全等三角形的判定是解题的关键． 由矩形的性质得出，再由平行线的性质得出，然后由全等三角形的判定逐一判定即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ， ， 、∵O为矩形两条对角线的交点， ， 在和中， ，故此选项不符合题意； B、在和中， ， ，故此选项不符合题意； C、， ， 即， 在和中， ，故此选项不符合题意； D、∵， ， 两三角形中缺少对应边相等，所以不能判定，故此选项符合题意； 故选：D． 4．矩形中，平分，，则下列结论 ①； ②是等腰三角形； ③； ④， 其中正确结论的序号为 【答案】①②④ 【分析】此题主要考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质是解决问题的关键． 根据矩形的性质和角平分线的定义得，，进而得，则为等边三角形，从而得，由此可求出的度数，进而可对①进行判断；由为等边三角形得，证为等腰直角三角形得，由此可对②进行判断；先求出，进而得，则，由此可得的度数，进而可对③进行判断；由可对④进行判断． 【详解】解：四边形为矩形， ，， 平分， ， ， ， ∴为等边三角形， ， ，故①正确，符合题意； ∵为等边三角形， ， 又，， ∴为等腰直角三角形， ， ， ∴是等腰三角形，故②正确，符合题意； ，， ， ，， ， ，故③错误，不符合题意； ， ，故④正确，符合题意． 故答案为：①②④． 1 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $$