2.4过不共线三点作圆（4大题型提分练）（题型专练）数学湘教版九年级下册

2.4 过不共线三点作圆 题型一 判断确定圆的条件 1．下列说法：①三点确定一个圆；②每一个三角形都确定一个外接圆；③三角形的外心在其外部；④经过两个定点的圆的圆心在一条定直线上．其中假命题的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．下列命题中，真命题的个数是（   ） ①经过三点一定可以作圆；②任意一个圆只有一个内接三角形；③任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；④三角形的外心到三角形的三边距离相等． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．如图是一块被打碎的圆形玻璃，若想要去店里配到一块与原来大小一样的圆形玻璃，应该带去店里的碎片是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 题型二 用尺规作图确定圆心 4．如图，直角坐标系中一条圆弧经过格点，，，其中点坐标为，则该圆弧所在圆的圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 5．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，都在上，则原点O到上一点的最短距离为(   ) A． B． C．2 D． 6．如图，A，B，C是正方形网格中的三个格点，则是（    ） A．优弧 B．劣弧 C．半圆 D．无法判断 7．如图，外接圆的圆心坐标是（    ） A．(5，2) B．(2，3) C．(1，4) D．(0，0) 8．如图的矩形ABCD中，E为的中点，有一圆过C、D、E三点，且此圆分别与相交于P、Q两点．甲、乙两人想找到此圆的圆心O，其作法如下： （甲）作∠DEC的角平分线L，作的中垂线，交L于O点，则O即为所求； （乙）连接，两线段交于一点O，则O即为所求 对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确？（    ） A．两人皆正确 B．两人皆错误 C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确 9．已知弧，请用尺规作出弧所在圆的圆心（不写作图步骤，但保留作图痕迹）． 题型三 求能确定圆的个数 10．在平面直角坐标系中，点的坐标为，以点为圆心，1为半径作圆，这样的圆可以作（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 11．过同一平面内A，B，C三个点作圆，可以作出的个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．0个或1个 12．如图，点A、B、C在同一直线上，点D在直线AB之外，过这四个点中的任意三个点，能画圆的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 13．平面上有4个点，它们不在同一直线上，过其中3个点作圆，可以作出不重复的圆个，则的值不可能为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 14．已知：A，B，C，D，E五个点中无任何三点共线，无任何四点共圆，那么过其中的三点作圆，最多能作出(    )． A．5个圆 B．8个圆 C．10个圆 D．12个圆 题型四 用尺规作图作圆 15．如图，已知，用尺规按照下面步骤操作： 作线段的垂直平分线； 作线段的垂直平分线，交于点； 以为圆心，长为半径作． 结论：点是的外心；结论： 则对于结论和结论Ⅱ，下列判断正确的是（  ） A．和Ⅱ都对 B．和Ⅱ都不对 C．不对，对 D．对，Ⅱ不对 16．下面是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程： 已知：如图1，在中，． 求作：的外接圆． 作法：如图2． （1）分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点； （2）作直线，交于点O； （3）以O为圆心，为半径作，即为所求作的圆．    下列不属于该尺规作图依据的是（    ） A．两点确定一条直线 B．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 C．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 D．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 17．下面是李老师编辑的一份文档，由于粗心，作法的步骤被打乱了： 已知：如图，是的一个内角． 求作：． 作法： ①以点为圆心，为半径作的外接圆； ②在弧上取一点，连接，．所以． ③分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线；分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线；与直线交于点； 正确的作图步骤应该是（    ） A．①③② B．③②① C．③①② D．②①③ 18．求作：，使它经过点B和点C，并且圆心O在的平分线上． 19．（1）如图，已知，求作的外接圆（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）若，，求该外接圆的半径． 20．（1）已知：（图①），求作：的外接圆（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，写出作法，不要求证明） （2）如图②，A为上一点，按以下步骤作图： ①连接；②以点为圆心，长为半径作弧，交于点；③在射线上截取；④连接．若，求的半径．    21．如图，在8×8正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（    ） A．点E B．点F C．点G D．点H 22．如图2，在平面直角坐标系中，点的坐标为（1，4）、（5，4）、（1、），则外接圆的圆心坐标是 A．（2，3） B．（3，2） C．（1，3） D．（3，1） 23．如图，用尺规作出的外接圆，，根据作图痕迹，下列结论错误的是（    ）    A． B． C．是等边三角形 D． 24．用直尺和圆规作Rt△ABC斜边AB上的高线CD，以下四个作图中，作法错误的是（　　） A． B． C． D． 25．如图，在等边△ABC中，AB＝12，点D在AB边上，AD＝4，E为AC中点，P为△ABC内一点，且∠BPD＝90°，则线段PE的最小值为（　　） A．3﹣2 B． C．2﹣4 D．4﹣8 26．如图，已知中，，． (1)用无刻度的直尺和圆规，作的外接圆．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，求圆O的半径R． 27．综合与实践 问题情境：金金和山山两位同学在讨论三角形外接圆的问题，金金说：“任何三角形都有且只有一个外接圆”；山山说：“若知道特殊三角形的三边长，外接圆半径可求”． (1)数学思考：①若直角三角形两条边长分别为3和4，则外接圆半径为______；②如图1，等腰内接于圆O，求圆O的半径． (2)深入探究：金金经过探索发现：“所有形状的三角形，只要知道三边长，外接圆半径都可以求得”，山山也想到了：“对，一旦知道三边长，则一定能计算出三角形的高线，接下去只要构造出相似三角形，半径必然可求．”如图2，内接于圆O，于点D，你可以参考山山的思路提示，求出外接圆的半径． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.4 过不共线三点作圆 题型一 判断确定圆的条件 1．下列说法：①三点确定一个圆；②每一个三角形都确定一个外接圆；③三角形的外心在其外部；④经过两个定点的圆的圆心在一条定直线上．其中假命题的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查的是定圆的条件，三角形的外接圆与外心，掌握确定圆的条件、三角形的外心是各边垂直平分线的交点是解题的关键． 根据确定圆的条件、三角形的外心的概念判断即可． 【详解】解：①不在同一直线上的三点确定一个圆，故①说法错误； ②三角形有且只有一个外接圆，故②说法正确； ③三角形的外心是各边垂直平分线的交点，锐角三角形的外心在三角形内部，直角三角形外心在斜边上，钝角三角形外心在三角形外部，故③说法错误； ④经过两个定点的圆的圆心在连接两定点的线段垂直平分线上，即在一条定直线上，故④说法正确； 故正确的有②④，共两个， 故选：B． 2．下列命题中，真命题的个数是（   ） ①经过三点一定可以作圆；②任意一个圆只有一个内接三角形；③任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；④三角形的外心到三角形的三边距离相等． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】D 【分析】本题主要考查了判断命题真假，确定圆的条件，三角形外心的性质等等，根据过不共线得到三点可以确定一个圆可判断①③，一个圆有无数个内接三角形，据此可判断②；三角形外心是三条垂直平分线的交点，据此可判断④． 【详解】①经过不共线得到三点一定可以作圆，原命题是假命题； ②任意一个圆有无数个内接三角形，原命题是假命题； ③任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆，原命题是真命题； ④三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，原命题是假命题． ∴真命题只有1个， 故选：D． 3．如图是一块被打碎的圆形玻璃，若想要去店里配到一块与原来大小一样的圆形玻璃，应该带去店里的碎片是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】本题考查了确定圆的条件，根据不在一条直线上三点确定一个圆即可解得，解题的关键是熟练掌握圆上任意两弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆心． 【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，只要有一段弧，即可确定圆心和半径， ∴小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是， 故选：B． 题型二 用尺规作图确定圆心 4．如图，直角坐标系中一条圆弧经过格点，，，其中点坐标为，则该圆弧所在圆的圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查确定圆的条件和坐标与图形性质的知识点，根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心，是解决问题的关键． 【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心， 可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心． 如图所示，则圆心是． 故选：A． 5．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，都在上，则原点O到上一点的最短距离为(   ) A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标与图形性质，确定圆心，点和圆的位置关系；分别作AB、的垂直平分线，其交点即为点，进而求得圆的半径，从而求得原点到上一点的最短距离． 【详解】解：如图所示，分别作、的垂直平分线，其交点即为点，点的坐标为， ， 点， ， 则原点到上一点的最短距离为：， 故选：A． 6．如图，A，B，C是正方形网格中的三个格点，则是（    ） A．优弧 B．劣弧 C．半圆 D．无法判断 【答案】B 【分析】根据三点确定一个圆，圆心的确定方法：任意两点中垂线的交点为圆心即可判断． 【详解】解；如图，分别连接AB、AC、BC，取任意两条线段的中垂线相交，交点就是圆心． 故选：B． 【点睛】本题考查已知圆上三点求圆心，取任意两条线段中垂线交点确定圆心是解题关键． 7．如图，外接圆的圆心坐标是（    ） A．(5，2) B．(2，3) C．(1，4) D．(0，0) 【答案】A 【分析】根据三角形各边的中垂线的交点为三角形外接圆的圆心，作出外接圆的圆心，进而即可得到坐标． 【详解】如图，作AB，BC的中垂线，交于点D，点D即为外接圆的圆心，坐标为（5，2）． 故选A． 【点睛】 本题主要考查三角形外接圆的圆心，熟练掌握三角形外接圆的圆心是各边中垂线的交点，是解题的关键． 8．如图的矩形ABCD中，E为的中点，有一圆过C、D、E三点，且此圆分别与相交于P、Q两点．甲、乙两人想找到此圆的圆心O，其作法如下： （甲）作∠DEC的角平分线L，作的中垂线，交L于O点，则O即为所求； （乙）连接，两线段交于一点O，则O即为所求 对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确？（    ） A．两人皆正确 B．两人皆错误 C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确 【答案】A 【分析】证明O为的两边中垂线的交点，判断甲，根据的圆周角所对的弦是直径判断乙，从而可得答案． 【详解】解：甲，∵矩形ABCD，E为AB的中点， ∴AE=EB，∠A=∠B=，AD=BC， ∴△ADE≌△BCE（SAS）， ∴ED=EC， ∴△DEC为等腰三角形， ∵射线L为∠DEC的角平分线， ∴射线L为线段CD的中垂线， ∴O为两中垂线之交点， 即O为△CDE的外心， ∴O为此圆圆心． 乙，∵∠ADC=，∠DCB=， ∴PC、QD为此圆直径， ∴PC与DQ的交点O为此圆圆心，因此甲、乙两人皆正确． 故选：A． 【点睛】本题考查的是确定圆的条件，涉及到矩形性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、圆周角定理、垂径定理的推论，熟练掌握线段垂直平分线的性质、圆周角定理是解题的关键． 9．已知弧，请用尺规作出弧所在圆的圆心（不写作图步骤，但保留作图痕迹）． 【答案】见解析 【分析】本题考查了尺规作图，先作的垂直平分线，交于点C，再作的垂直平分线，交点即为所求． 【详解】解：如图，点为所作． 题型三 求能确定圆的个数 10．在平面直角坐标系中，点的坐标为，以点为圆心，1为半径作圆，这样的圆可以作（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 【答案】A 【分析】本题考查圆的确定，牢记平面内已知圆心与半径可以唯一确定圆是解决问题的关键． 【详解】解：∵点为圆心，1为半径作圆， ∴可以唯一确定圆，即：这样的圆只有1个， 故选：A． 11．过同一平面内A，B，C三个点作圆，可以作出的个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．0个或1个 【答案】D 【分析】本题考查确定圆的条件，分三点共线和不共线求解即可． 【详解】解：若平面内A，B，C三个点共线，则过三点不能作出一个圆， 若平面内A，B，C三个点不共线，则过这三点能作出1个圆， 故过同一平面内A，B，C三个点作圆，可以作出的个数为0个或1个． 故选：D． 12．如图，点A、B、C在同一直线上，点D在直线AB之外，过这四个点中的任意三个点，能画圆的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】试题分析：根据题意得出：点D、A、B；点D、A、C；点D、B、C可以确定一个圆．故过这四点中的任意3个点，能画圆的个数是3个．故选C． 考点：确定圆的条件． 13．平面上有4个点，它们不在同一直线上，过其中3个点作圆，可以作出不重复的圆个，则的值不可能为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了确定圆的条件，分为三种情况：①当四点都在同一个圆上时，②当三点在一直线上时，③当A、B、C、D四点不共圆，且其中的任何三点都不共线时，根据不在同一直线上的三点可以画一个圆，画出图形，即可得出答案． 【详解】解：分为三种情况：①当四点都在同一个圆上时，如图1，此时， ②当三点在一直线上时，如图2， 分别过或或作圆，共3个圆，即， ③当四点不共圆，且其中的任何三点都不共线时， 分别过或或或作圆，共4个圆，即此时， 即不能是2， 故选：C． 14．已知：A，B，C，D，E五个点中无任何三点共线，无任何四点共圆，那么过其中的三点作圆，最多能作出(    )． A．5个圆 B．8个圆 C．10个圆 D．12个圆 【答案】C 【分析】根据过不共线三点可作一个圆，找出不共线三点的组数即可． 【详解】解：过其中的三点作圆，最多能作出10个，即分别过点ABC、ABD、ABE、ACD、ACE、ADE、BCD、BCE、BDE、CDE的圆． 故选C． 【点睛】本题考查三点共圆问题，掌握查确定圆的个数方法是解题关键． 题型四 用尺规作图作圆 15．如图，已知，用尺规按照下面步骤操作： 作线段的垂直平分线； 作线段的垂直平分线，交于点； 以为圆心，长为半径作． 结论：点是的外心；结论： 则对于结论和结论Ⅱ，下列判断正确的是（  ） A．和Ⅱ都对 B．和Ⅱ都不对 C．不对，对 D．对，Ⅱ不对 【答案】D 【分析】根据三角形外心的定义对结论 Ⅰ 进行判断；利用点 D、 G有任意性可对结论 Ⅱ 进行判断． 【详解】解：点是和的垂直平分线的交点， 点是的外心，故结论Ⅰ正确； 点，的位置不确定， 和的长度不确定，故结论Ⅱ不正确． 故选：． 【点睛】本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质和三角形的外心与内心，熟练掌握尺规作图和三角形外心的性质是解题的关键． 16．下面是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程： 已知：如图1，在中，． 求作：的外接圆． 作法：如图2． （1）分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点； （2）作直线，交于点O； （3）以O为圆心，为半径作，即为所求作的圆．    下列不属于该尺规作图依据的是（    ） A．两点确定一条直线 B．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 C．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 D．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 【答案】D 【分析】利用直角三角形斜边中线的性质证明：即可． 【详解】解：作直线（两点确定一条直线）， 连接，    ∵由作图，， ∴且（与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）． ∵， ∴（直角三角形斜边中线等于斜边的一半）， ∴， ∴A，B，C三点在以O为圆心，为直径的圆上． ∴为的外接圆． 故选：D． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线的定义，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 17．下面是李老师编辑的一份文档，由于粗心，作法的步骤被打乱了： 已知：如图，是的一个内角． 求作：． 作法： ①以点为圆心，为半径作的外接圆； ②在弧上取一点，连接，．所以． ③分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线；分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线；与直线交于点； 正确的作图步骤应该是（    ） A．①③② B．③②① C．③①② D．②①③ 【答案】C 【分析】根据同弧所对的圆周角相等，因此要画出的外接圆，即要确定外接圆的圆心，根据外心，是三角形，三边的中垂线的交点，因此要先做的中垂线，利用交点确定圆心，再画出的外接圆，进行判断即可． 【详解】解：根据圆周角定理：同弧所对的圆周角相等， ∴画出的外接圆，在弧上取一点，连接，．即可得到， ∵外心是三角形三边的中垂线的交点， ∴先作的中垂线，利用交点确定圆心，再点为圆心，为半径作的外接圆，然后在弧上取一点，连接，，即可． ∴作图的顺序为：③①②； 故选C． 18．求作：，使它经过点B和点C，并且圆心O在的平分线上． 【答案】图见解析 【分析】此题主要考查了尺规作图，圆的基本性质，熟练掌握常见尺规作图是解题的关键． 作圆，即需要先确定其圆心，先作的角平分线，再作线段的垂直平分线相交于点，即点为圆心． 【详解】解：如图，即为所求． （1）作出的角平分线， （2）作出线段的垂直平分线交于， ， （3）即以点为圆心，为半径，作圆，如下图所示： 19．（1）如图，已知，求作的外接圆（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）若，，求该外接圆的半径． 【答案】（1）图见详解；（2）半径为 【分析】此题主要考查了作三角形的外接圆、等腰直角三角形的性质以及圆周角定理，关键是正确找到圆心所在位置． （1）首先画出和的垂直平分线，两线交于一点，以为圆心，长为半径画圆即可． （2）连接，即可得出，然后根据等腰直角三角形的性质可进行求解． 【详解】解：（1）如图所示：即为所求的外接圆； （2）连接，如图所示， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即该外接圆的半径为． 20．（1）已知：（图①），求作：的外接圆（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，写出作法，不要求证明） （2）如图②，A为上一点，按以下步骤作图： ①连接；②以点为圆心，长为半径作弧，交于点；③在射线上截取；④连接．若，求的半径．    【答案】（1）见解析；（2）的半径． 【分析】本题主要考查圆的基本性质，确定三角形的外接圆的圆心． （1）根据三角形的外接圆的圆心是三角形边的垂直平分线的交点进行确定即可； （2）由题意易得是等边三角形，则，进而可得，然后可得，最后问题可求解． 【详解】解：（1）的外接圆如图所示：    （2）连接，    ∵， 由作图知， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∴的半径． 21．如图，在8×8正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（    ） A．点E B．点F C．点G D．点H 【答案】D 【详解】如图，连接AB，BC，分别作弦AB，BC的垂直平分线，两垂直平分线的交点H即为圆心． 故选D. 22．如图2，在平面直角坐标系中，点的坐标为（1，4）、（5，4）、（1、），则外接圆的圆心坐标是 A．（2，3） B．（3，2） C．（1，3） D．（3，1） 【答案】D 【详解】根据垂径定理的推论“弦的垂直平分线必过圆心”，作两条弦的垂直平分线，交点即为圆心． 解答：解：根据垂径定理的推论，则 作弦AB、AC的垂直平分线，交点O1即为圆心，且坐标是（3，1）． 故选D． 23．如图，用尺规作出的外接圆，，根据作图痕迹，下列结论错误的是（    ）    A． B． C．是等边三角形 D． 【答案】C 【分析】由作图痕迹可知作的是线段AB的垂直平分线，逐一分析即可． 【详解】解：由作图痕迹可知作的是线段AB的垂直平分线， ∴，， ∴， 故A，B，D的结论正确， 故选：C． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，根据作图痕迹识别出作的是线段AB的垂直平分线是解题的关键． 24．用直尺和圆规作Rt△ABC斜边AB上的高线CD，以下四个作图中，作法错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A、由图示可知应用了垂径定理作图的方法，所以CD是Rt△ABC斜边AB上的高线，不符合题意； B、由直径所对的圆周角是直角可知∠BDC=90°，所以CD是Rt△ABC斜边AB上的高线，不符合题意； C、根据相交两圆的公共弦被连接两圆的连心线垂直平分可知，CD是Rt△ABC斜边AB上的高线，不符合题意； D、无法证明CD是Rt△ABC斜边AB上的高线，符合题意．故选D． 点睛：本题主要考查尺规作图，能正确地确定作图的步骤是解决此类问题的关键. 25．如图，在等边△ABC中，AB＝12，点D在AB边上，AD＝4，E为AC中点，P为△ABC内一点，且∠BPD＝90°，则线段PE的最小值为（　　） A．3﹣2 B． C．2﹣4 D．4﹣8 【答案】C 【分析】以BD为直径作⊙O，连接OE交⊙O于点P，则OE的长度最小，即EP最小，根据勾股定理即可求出答案． 【详解】解：以BD为直径作⊙O，连接OE交⊙O于点P，则OE的长度最小，即EP最小， 过点E作EF⊥AB于点F，在Rt△AEF中， ∠A＝60°，AE＝6， ∴AF＝3，EF＝， 在Rt△OEF中，EF＝，OF＝5， ∴OE＝， ∴PE＝﹣4， 即线段PE的最小值为﹣4， 故选：C． 【点睛】本题考查了圆的性质，等边三角形的性质，勾股定理，根据题意判断出EP最小的情况是解题关键． 26．如图，已知中，，． (1)用无刻度的直尺和圆规，作的外接圆．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，求圆O的半径R． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）作线段的垂直平分线交于点O，连接，以 O为圆心，为半径作圆即可； （2）连接交于点D，设，利用勾股定理构建方程求解即可． 本题考查作图，复杂作图，等腰三角形的性质，三角形的外接圆与外心等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：连接交于点D． 设． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得： ∴圆O的半径为：． 27．综合与实践 问题情境：金金和山山两位同学在讨论三角形外接圆的问题，金金说：“任何三角形都有且只有一个外接圆”；山山说：“若知道特殊三角形的三边长，外接圆半径可求”． (1)数学思考：①若直角三角形两条边长分别为3和4，则外接圆半径为______；②如图1，等腰内接于圆O，求圆O的半径． (2)深入探究：金金经过探索发现：“所有形状的三角形，只要知道三边长，外接圆半径都可以求得”，山山也想到了：“对，一旦知道三边长，则一定能计算出三角形的高线，接下去只要构造出相似三角形，半径必然可求．”如图2，内接于圆O，于点D，你可以参考山山的思路提示，求出外接圆的半径． 【答案】(1)2.5或2； (2) 【分析】本题主要考查了直角三角形外接圆的性质，等腰三角形三线合一的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等，熟悉各种性质和定理，正确做出辅助线是解题的关键． （1）①根据直角三角形外接圆的性质：直角三角形的外接圆半径等于斜边的一半，直接求解即可．②利用等腰三角形三线合一的性质以及勾股定理来求解． （2）根据山山的思路，先求出三角形的高，再通过构造相似三角形来求解． 【详解】（1）解：①当3和4为直角边时，根据勾股定理，斜边， ∵直角三角形的外接圆的圆心就是斜边的中点，（为斜边）， ∴此时外接圆半径； ∴当4为斜边时，此时外接圆半径； 综上所述，直角三角形两条边长分别为3和4，外接圆半径为或2． ②连接并延长交于，连接， ∵， ∴平分， ∵是等腰三角形， ∴且平分（三线合一）， ∵，， ∴， 在中，根据勾股定理： ， 设圆半径为，则，， 在中，根据勾股定理， 解得， ∴圆的半径为． （2）解：设，则， ∵， ∴根据勾股定理在中， 在中有， ∴， 展开得， 继续展开得， 移项可得，即，解得， ∴， 连接并延长交圆于点，连接， ∵（同弧所对圆周角相等），， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴外接圆的半径为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$