3.2.4 离散型随机变量的方差 课件-2024-2025学年高二下学期数学湘教版（2019）选择性必修第二册

3.2.4 离散型随机变量的方差 1.通过具体实例，理解离散型随机变量的方差及标准差的概念. 2.掌握二项分布的方差. 3.掌握离散型随机变量的方差的性质，能够用离散型随机变量的方差解决一些实际问题. 学习目标 2 样本数据x1，x2,...,xn的平均数为，则方差s2如何表示？ 新课导入 3 问题1 从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛.根据以往的成绩记录，甲、乙两名同学击中目标靶的环数X和Y的分布列如下表所示. 如何评价这两名同学的射击水平? X 6 7 8 9 10 P 0.09 0.24 0.32 0.28 0.07 Y 6 7 8 9 10 P 0.07 0.22 0.38 0.30 0.03 通过计算可得， 由于两个均值相等，所以用均值不能区分这两名同学的射击水平. 评价射击水平，除了要了解击中环数的均值外，还要考虑稳定性，即击中环数的离散程度. E(X)= 8 ；E(Y)=8 新知讲解 4 问题2 怎样刻画离散型随机变量取值的离散程度?（如何比较离散程度） 为了能直观分析甲乙两名击中环数的离散程度，下面我们分别作出X和Y的概率分布图. O 6 7 8 10 9 P 0.1 0.2 0.3 0.4 O 6 7 8 10 9 P 0.1 0.2 0.3 0.4 比较两个图形，可以发现乙同学的射击成绩更集中于8环，即乙同学的射击成绩更稳定. 5 追问：怎样定量刻画离散型随机变量取值的离散程度? 样本的方差 ： 随机变量的方差 ： X x1 x2 ∙∙∙ xn P p1 p2 ∙∙∙ pn 离散型随机变量的分布列如表所示 新知讲解 6 离散型随机变量的方差 X x1 x2 … xk … xn P p1 p2 … pk … pn 如果离散型随机变量X的分布列如下表所示. 则 这称为离散型随机变量X的方差. 新知讲解 7 随机变量的方差和标准差度量了随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度. 方差或标准差越小，随机变量的取值越集中； 方差或标准差越大，随机变量的取值越分散. 说明：称为离散型随机变量X的标准差. 新知讲解 8 在方差的计算中，为了使运算简化，还可以用下面的结论. 证明： 例1 有三张形状、大小、质地完全一致的卡片，在每张卡片上分别写上0，1，2，背面朝上，现从中任意抽取一张，将其上数字记作x，然后放回，再抽取一张，其上数字记作y，令ξ=x·y.求： (1)ξ所取各值的分布列； (2)随机变量ξ的数学期望与方差. 解：(1)随机变量ξ的可能取值有0，1，2，4， “ξ=0”是指两次取的卡片上至少有一次为0，其概率为P(ξ=0)=1- “ξ=1”是指两次取的卡片上都标着1，其概率为P(ξ=1)= 新知讲解 “ξ=2”是指两次取的卡片上一个标着1，另一个标着2，其概率为 P(ξ=2)= “ξ=4”是指两次取的卡片上都标有2，其概率为P(ξ=4)= 则ξ的分布列为 方法归纳 求随机变量X的方差的步骤： (1)确定随机变量的所有可能的取值； (2)求随机变量各个取值对应的概率； (3)利用公式 求出方差. 新知讲解 例2 已知随机变量X服从参数为p的两点分布，求D(X) . 解：因为随机变量X的分布列为 X 1 0 P p 1-p 且E(X)=p 所以 新知讲解 名称 两点分布 二项分布 X~B(n，p) 公式 D(X)=p(1-p) E(X)=np(1-p) 常见分布的方差 新知讲解 思考：离散型随机变量X加上一个常数，方差会有怎样的变化? 离散型随机变量X乘以一个常数，方差又有怎样的变化? 它们和期望的性质有什么不同? 均值的性质： 方差的性质： 例3 已知一批产品的次品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取50次，用X表示抽到的次品数. (1)求D(X)； (2)假设抽出的产品需要送往专门的检测部门检测，检测费用Y元与次品数X有关，且Y=10X+300，求D(Y). 解：(1) 因为X服从的是参数为50，0.02的二项分布，即 X~B(50，0.02)， 所以D(X)=50×0.02×(1-0.02)=0.98. (2) D(Y) =D(10X+300)=102D(X)=100×0.98=98. 新知讲解 1.已知随机变量X的分布列为 设Y=2X+3，则D(Y)等于(　　) A． B． C． D． X 0 1 2 P B 当堂检测 17 2.投资A，B两种股票，每股收益的分布列分别如下表所示. 股票A收益的分布列 股票B收益的分布列 收益X /元 －1 0 2 概率 0.1 0.3 0.6 收益Y /元 0 1 2 概率 0.3 0.4 0.3 (1) 投资 种股票的期望收益大. (2) 投资 种股票的风险较高. A A 当堂检测 18 课堂小结 19 $$