3.2.3 离散型随机变量的数学期望 课件-2024-2025学年高二下学期数学湘教版（2019）选择性必修第二册

3.2.3 离散型随机变量的数学期望 1.通过具体实例，理解离散型随机变量的数学期望(均值). 2.掌握二项分布的均值，了解超几何分布的均值. 3.掌握离散型随机变量的数学期望(均值)的性质，能用数学期望(均值)解决一些简单的实际问题. 学习目标 1.样本数据x1，x2，...，xn的平均数为 2.如果样本数据xi出现的频数为mi(i=1，2，...，n)，那么所有数据的平均数为 分别为x1，x2，...，xn出现的频率，若分别记为f1，f2，...，fn，则 由于 新课导入 情境：一家投资公司在决定是否对某创业项目进行资助时，经过评估后发现：如果项目成功，将获利5000万元；如果项目失败，将损失3000万元. 设这个项目成功的概率为p，而你是投资公司的负责人，如果仅从平均收益方面考虑，则p满足什么条件时，你才会对该项目进行资助？为什么? 问题：1.如果重复这个创业项目n次，那么成功和失败的次数分别是多少？平均收益是多少？此时p满足什么条件时，你才会对该项目进行资助？ 新知讲解 项目成功的概率为p，则成功次数估计为np，失败次数估计为n-np=n(1-p). 因此在这n次试验中，投资方收益(单位：万元)的n个数据可以估计为 这一组数的平均数为 因为上述平均数体现的是平均收益，所以当 5000p+(-3000)(1-p)>0， 即p>0.375时，就应该对创业项目进行资助. 新知讲解 2.设投资公司的收益为X，试列出随机变量X的分布列.你有什么发现？ 随机变量X的分布列如下 X 5000 -3000 P p 1-p 从上面分析可知，式子5000p+(-3000)(1-p)刻画了X取值的平均水平. 新知讲解 离散型随机变量的数学期望 一般地，如果离散型随机变量X的分布列如下表所示. X x1 x2 ... xk ... xn P p1 p2 ... pk ... pn 则称 为离散型随机变量X的均值或数学期望(简称为期望) 说明：离散型随机变量X的均值E(X)也可以用EX表示，它刻画了X的平均取值. 新知讲解 例1 盒中装有5节同牌号的五号电池，其中混有两节废电池.现在无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止，求抽取次数X的分布列及均值. 解：(1)X的所有可能取值为1，2，3，则 抽取次数X的分布列为 X 1 2 3 P 所以 新知讲解 方法归纳 求离散型随机变量X的均值的步骤： (1)确定随机变量X的所有可能的取值； (2)求出随机变量取各个值时对应的概率； (3)利用公式 求出均值. 新知讲解 思考：已知随机变量X服从参数为p的两点分布，求E(X). 解：随机变量X服从参数为p的两点分布，其分布列如下 X 1 0 P p 1-p 所以E(X)=1×p+0×(1-p)=p. 新知讲解 常见分布的均值 名称 两点分布 二项分布 X~B(n，p) 超几何分布 X~H(N，n，M) 公式 E(X)=p E(X)=np 新知讲解 思考：若X，Y都是离散型随机变量，且Y＝aX＋b(其中a，b是常数)，那么E(Y)与E(X)有怎样的关系？ 新知讲解 分析：将白球和黑球视为“正品”，红球视为“次品”，则所求问题转化为100件产品中有5件次品，随机从中抽取20件产品，则取出次品件数5服从超几何分布. 例2 一袋中装有50个白球，45个黑球，5个红球，现从中随机抽取20个球，求取出的红球个数ξ的数学期望. 解：袋中球的总数为50+45+5=100，由已知可得ξ服从超几何分布，即ξ~(100，5，20)， ∴随机变量ξ的数学期望E(ξ)=n=20×=1. 新知讲解 例3 体检时，为了确定体检人员是否患有某种疾病，需要对其血液进行化验，若结果呈阳性，则患有该疾病；若结果呈阴性，则未患有该疾病.已知每位体检人患有该疾病的概率均为0.1，化验结果不会出错，而且体检人是否患有该疾病相互独立.现有5位体检人的血液待检查，有以下两种化验方案： 方案甲：逐个检查每位体检人的血液； 方案乙：先将5位体检人的血液混在一起化验一次，若呈阳性，则再逐个化验；若呈阴性，则说明每位体检人均未患有该疾病，化验结束. (1)哪种化验方案更好？ (2)如果每次化验的费用为100元，求方案乙的平均化验费用. 新知讲解 解：(1)方案甲中，化验的次数一定为5次. 方案乙中，若化验次数为X，则X的取值范围是{1，6}， 因为5人都不患病的概率为(1-0.1)5=0.59049， 所以 P(X=1)=0.59049， P(X=6)=1-0.59049=0.40951， 从而 E(X)=1×0.59049+6×0.40951=3.04755. 方案乙的平均检查次数不到5次，因此方案乙更好. 新知讲解 (2)如果每次化验的费用为100元，求方案乙的平均化验费用. 若记方案乙中，检查费用为Y元，则Y=100X，则 E(Y)=100E(X)=304.755. 即方案乙的平均化验费用为304.755元. 新知讲解 1.若随机变量X～B(6，)，则数学期望E(X)＝(　　) A.6 B．3 C. D． 2.设ξ的分布列为 又设η＝2ξ＋5，则E(η)等于(　　) ξ 1 2 3 4 P A. B. C. D. B D 当堂检测 根据今天所学，回答下列问题： 1.求离散型随机变量均值的步骤分为哪几步？ 2.离散型随机变量的均值有什么性质？ 课堂小结 X x1 x2 … xi … xn Y ax1＋b ax2＋b … axi＋b … axn＋b P p1 p2 … pi … pn 解：X，Y的分布列为 则E(Y)＝(ax1＋b)p1＋(ax2＋b)p2＋…＋(axi＋b)pi＋…＋(axn＋b)pn ＝a(x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn)＋b(p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn) ＝aE(X)＋b. $$