3.2.2 课时1 两点分布及二项分布 课件-2024-2025学年高二下学期数学湘教版（2019）选择性必修第二册

3.2.2 课时1 两点分布及二项分布 1.了解两点分布的概念. 2.通过具体实例，了解伯努利试验，掌握二项分布及其应用. 3.能够解决随机变量服从二项分布的实际应用. 学习目标 思考1：篮球比赛中每次罚球命中得1分，不中得0分。若姚明罚球命中的概率为0.95，则其罚球命中的分布列用列表法怎样表示？ 思考2：在抛掷一枚图钉的随机试验中，令 ， 若针尖向上的概率为p，则随机变量X的分布列用列表法怎样表示？ 在初步认识了离散型随机变量及其分布列后，我们来学习几类典型的离散型分布. 0.95 0.05 P 1 0 X p 1－p P 1 0 X 思考3：上述两个分布列有什么共同特征？ 1: 2: 新课导入 如果随机变量X只取值0或1，且其概率分布是 P(X=1) =p，P(X=0) =1-p，p∈(0，1) 则称随机变量X服从两点分布，记作X~B(1，p). 两点分布又称为0 — 1分布. 在我们现实生活中经常会遇到一些问题，例如：检查产品是否合格，投篮是否命中，一粒种子是否发芽等等，这些问题都只考虑成功与否时，都可以用服从两点分布的随机变量来描述. 新知讲解 例1 设某项试验的成功率是失败率的3倍，若用随机变量X描述一次试验成功的次数，求P(X=0)的值. p 1-p P 1 0 X 解：由题知此试验服从两点分布，因此可列下表： ∵ 试验的成功率是失败率的3倍，∴ p=3(1-p)， 解得p=，1-p=， ∴P(X=0)=. 新知讲解 思考4：分析下面的试验，它们有什么共同特点？ (1)投掷一个质地均匀骰子20次； (2)某人射击1次，击中目标的概率是0.8，他射击10次； (3)生产一种零件，出现次品的概率是0.04，生产这种零件4件. 共同特点： (1) 多次重复地做同一个试验； (2) 每次试验只有两种结果，要么发生，要么不发生； (3) 任何一次试验中，A事件发生的概率相同，即相互独立，互不影响试验的结果. 新知讲解 特征： (1)一致性：每次试验都是在相同的条件下进行； (2)对立性：每次试验只有两个相互对立的结果，可以分别称为“成功”和“失败”. (3)独立性：各次试验是相互独立. (4)重复性：每次“成功”的概率均为p，“失败”的概率均为1-p； 在相同条件下重复n次伯努利试验，约定这n次试验是相互独立的，此时这n次伯努利试验称为n次独立重复试验. 新知讲解 练习：下列试验是不是独立重复试验？ (1)某篮球运动员的罚球命中率为0.85，罚球6次； (2)依次抛掷四枚质地不同的硬币，3枚正面向上； (3)从含有3件次品的10件产品中不放回地抽取5次，恰好抽到3件次品； (4)从含有3件次品的10件产品中有放回地抽取5次，恰好抽到3件次品. 解：(1)是；(2)硬币质地不同，条件不同，因此不是独立重复试验； (3)前一次抽取结果会影响后一次抽取结果，各次试验不独立，因此不是独立重复试验；(4)是. 新知讲解 探究：某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8. 连续3次射击，中靶次数X的概率分布列是怎样的? 解： 用Ai表示“第i次射击中靶”(i＝1, 2, 3)，则X的概率分布列为 由于3次射击恰好1次中靶 ( 2次中靶 ) 的所有可能结果的概率相等，故为了简化表示，中靶次数X的分布列可表示为 一般地，如果一次伯努利试验中，出现“成功”的概率为p，记q=1-p， 且n次独立重复试验中出现“成功”的次数为X，则X的取值范围是 {0，1，2，…，k，…，n}， 且 事件 发生的概率 事件 A 发生的次数 事件 A 发生的概率 实验总次数n 新知讲解 X 0 1 ... k ... n P ... ... 第二行中的概率值恰好是二项式展开式 中对应项的值，因此称X 服从参数为n，p的二项分布，记作 X~B(n，p) 因此X的分布列如下表所示. 新知讲解 二项分布的性质： ①对立性，即每一次试验中只有两种结果——成功和不成功，而且有且仅有一种结果发生； ②重复性，每一次试验中成功的概率和不成功的概率都保持不变. X~B(n，p) 新知讲解 例2 某射手每次射击击中目标的概率是0.8，求这名射手在10次射击中， (1) 恰有8次击中目标的概率； (2) 至少有8次击中目标的概率. (结果保留两个有效数字.) 进行了10次独立重复试验次数n=10，成功概率p=0.8 解：设X为击中目标的次数，则X～(10，0.8)， (1)P(恰有8次击中目标)=P(X=8) =×0.88×(1-0.8)10－8≈0.30. (2)P(至少有8次击中目标)=P(X≥8)=P(X=8)+P(X=9)+P(X=10) =×0.88×(1-0.8)10－8+×0.89×(1-0.8)10－9+×0.810×(1-0.8)10－10 ≈0.68. 新知讲解 归纳总结 求概率的基本步骤： 1.确定事件概率模型； 2.确定二项分布模型中的n、p的取值； 3.利用公式计算概率. 新知讲解 例3 抛掷两枚骰子，取其中一枚的点数为点P的横坐标，另一枚的点数为点P的纵坐标，连续抛掷这两枚骰子三次，求点P在圆x2+y2=16内的次数X的分布列. 解：由题意可知P点的坐标可能有6×6=36(种)情况， 而符合题意的点只有下列8个:(1，1)，(1，2)，(1，3)， (2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，如图所示。 那么在抛掷骰子时，点P在圆x+y=16内的概率为=， 由题意可知X～(3，)，所以P(X=0)=×()0×()3=，P(X=1)=，P(X=2)=，P(X=3)=， 新知讲解 因此，随机变量X的分布列是 X 0 1 2 3 P 例3 抛掷两枚骰子，取其中一枚的点数为点P的横坐标，另一枚的点数为点P的纵坐标，连续抛掷这两枚骰子三次，求点P在圆x2+y2=16内的次数X的分布列. 新知讲解 1.下列事件是 n 重伯努利试验的是(　　) A．运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环” B．甲、乙两运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环” C．甲、乙两运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没射中目标” D．在相同的条件下，甲射击10次，5次击中目标 2.鸡接种一种疫苗后，有80%不会感染某种病毒.如果5只鸡接种了疫苗，恰好有1只鸡感染病毒的概率为 . D 0.4096 当堂检测 根据今天所学，回答下列问题： 1.什么是两点分布？ 2. 随机变量X满足什么条件称其服从二项分布，如何表示？ 课堂小结 X= eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1 针尖向上,0 针尖向下)) X= eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1，当试验成功时；,0，当试验不成功时.)) $$