3.1.2 事件的独立性 课件-2024-2025学年高二下学期数学湘教版（2019）选择性必修第二册

3.1.2 事件的独立性 1.了解两个事件相互独立的概念； 2.能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题. 学习目标 情境1：分别抛掷两枚质地均匀的硬币，A=“第一枚硬币正面朝上”，B=“第二枚硬币正面朝上”。 情境2：一个袋子中装有标号分别是1，2，3，4的4个球，除标号外没有其他差异。采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球。设A=“第一次摸到球的标号小于3”，B=“第二次摸到球的标号小于3”。 思考：事件A的发生是否影响事件B发生的概率？ 讨论：积事件P(AB)与P(A)、P(B)之间的关系？ 新课导入 情境1：分别抛掷两枚质地均匀的硬币，A=“第一枚硬币正面朝上”，B=“第二枚硬币正面朝上”。 因为两枚硬币分别抛掷，第一枚硬币的抛掷结果与第二枚硬币的抛掷结果互相不受影响，所以事件A发生与否不影响事件B发生的概率． 用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝上”，则样本空间为 Ω={(1，1)，(1，0)，(0，1)，(0，0)}，包含4个等可能的样本点. 由古典概型概率计算公式，得 于是P(AB)=P(A)P(B)，积事件AB的概率P(AB)恰好等于P(A)与P(B)的乘积. 而A={(1，1)，(1，0)，B={(1，0)，(0，0)}，所以AB={(1，0)}. 新知讲解 情境2：一个袋子中装有标号分别是1，2，3，4的4个球，除标号外没有其他差异。采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球。设A=“第一次摸到球的标号小于3”，B=“第二次摸到球的标号小于3”。 因为是有放回摸球，第一次摸球的结果与第二次摸球的结果互相不受影响，所以事件A发生与否也不影响事件B发生的概率． A={(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)}， B={(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)}， AB={(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)}， 所以 于是也有P(AB)=P(A)P(B). 新知讲解 相互独立事件的定义： 对任意两个事件A与B，如果 P(AB)=P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立. 若事件A与B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B)． 通俗地说，对于两个事件A，B， 如果其中一个事件是否发生对另一个事件发生的概率没有影响，就把它们叫做相互独立事件． 注意: (1)互斥事件:两个事件不可能同时发生 (2)相互独立事件:两个事件的发生彼此互不影响 新知讲解 思考1 必然事件Ω、不可能事件Ø与任意事件相互独立吗？ 根据相互独立事件的定义，必然事件一定发生，不受任何事件是否发生的影响； 同样，不可能事件一定不会发生，不受任何事件是否发生的影响，当然，它们也不影响其他事件的发生． 由于P(AΩ)=P(A)=P(A)P(Ω)，P(AØ)=P(Ø)=P(A)P(Ø)成立． 因此，必然事件Ω、不可能事件Ø与任意事件相互独立． 新知讲解 思考2 互为对立的两个事件是非常特殊的一种事件关系，如果事件A与事件B相互独立，那么它们的对立事件是否也相互独立？以有放回摸球试验为例，分别验证A与 ， 与B， 与 是否独立，你有什么发现？ 对于A与 ，因为A= AB∪ ，而且AB与 互斥，所以 P(A)=P(AB∪ )=P(AB)+P( )=P(A)P(B)+P( )， 所以P( )=P(A)-P(A)P(B)=P(A)(1-P(B))=P(A)P( ), 由事件的独立性定义，A与 相互独立. 类似地，可以证明事件 与B, 与 也都相互独立 新知讲解 （1）必然事件 及不可能事件与任何事件A相互独立. （2）若事件A与B相互独立, 则以下三对事件也相互独立: 相互独立事件的性质 A与 与B 与 新知讲解 　即两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积. 2.推广：如果事件A1，A2，…An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率 P(A1·A2·…·An)= P(A1)·P(A2)·…·P(An) 1.若A、B是相互独立事件，则有P(A·B)= P(A)·P(B) 相互独立事件同时发生的概率公式 等于每个事件发生的概率的积.即： 应用公式的前提： 1.事件之间相互独立 2.这些事件同时发生. 新知讲解 例1　一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A＝{一个家庭中既有男孩又有女孩}，B＝{一个家庭中最多有一个女孩}．对下述两种情形，讨论A与B的独立性： (1)家庭中有两个小孩；(2)家庭中有三个小孩． 解：(1)样本空间为Ω1＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，共包含4个样本点，由等可能性知每个样本点发生的概率均为. 这时A＝{(男，女)，(女，男)}，B＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}，AB＝{(男，女)，(女，男)}， 于是P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝. 由此可知P(AB)≠P(A)P(B)，所以事件A，B不相互独立． (2)样本空间为Ω2＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}，共包含8个样本点，由等可能性知每个样本点发生的概率均为. 这时A包含6个样本点，B包含4个样本点，AB包含3个样本点． 于是P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(AB)＝，显然有P(AB)＝P(A)P(B)成立． 从而事件A与B是相互独立的． 归纳总结 判断两个事件是否相互独立的两个方法 新知讲解 例2　某校高中每个年级三个班的羽毛球水平相当，各年级分别举办班级羽毛球比赛时，都是一班得冠军的概率是多少？ 解：用A1，A2，A3分别表示高一、高二、高三年级的一班获得冠军，则A=A1∩A2∩A3表示都是一班得冠军. 因为事件A1，A2，A3相互独立，且P(A1)=P(A2)=P(A3)=， 所以P(A)=P(A1∩A2∩A3)=P(A1)P(A2)P(A3)=. 新知讲解 例3　李浩的棋艺不如张岚，李浩每局赢张岚的概率只有0.45.假设他们下棋时各局的输赢是独立的，且只有输赢两种结果，现在他们对弈6局，计算： (1)李浩连输6局的概率(结果保留三位小数); (2)李浩至少贏1局的概率(结果保留三位小数). 解：(1)用A1，A2，…，A6分别表示第1局，第2局，…，第6局李浩输，则A=A1∩A2∩…∩A6表示李浩连输6局. 因为事件A1，A2，…，A6相互独立，且P(A1)=P(A2)=…=P(A6)=1-0.45=0.55， 所以P(A)=P(A1)P(A2)…P(A6)=0.556≈0.028. 新知讲解 例3　李浩的棋艺不如张岚，李浩每局赢张岚的概率只有0.45.假设他们下棋时各局的输赢是独立的，且只有输赢两种结果，现在他们对弈6局，计算： (2)李浩至少贏1局的概率(结果保留三位小数). (2)若用B表示“李浩至少贏1局”，则B是A的对立事件， 所以P(B)=1-P(A)≈0.972， 因此，对弈6局，李浩至少贏1局的概率约为0.972. 新知讲解 归纳总结 求多个相互独立事件的概率的步骤 新知讲解 1.掷一枚正方体骰子一次，设事件A：“出现偶数点”，事件B：“出现3点或6点”，则事件A，B的关系是(　　) A.互斥但不相互独立 B.相互独立但不互斥 C.互斥且相互独立 D.既不相互独立也不互斥 B 当堂检测 2.已知甲、乙、丙三人去参加某公司面试，他们被该公司录取的概率分别是，且三人录取结果相互之间没有影响，则他们三人都被录取的概率为________． 当堂检测 1. 对任意两个事件A与B，如果 P(AB)=P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立. 2. 必然事件Ω、不可能事件∅都与任意事件相互独立. 3. 如果事件A与事件B相互独立，那么它们的对立事件也相互独立. 课堂小结 $$