第21章 一次函数 练习课件2024-2025学年冀教版数学八年级下册

第二十一章 一次函数 21.5 一次函数与二元一次方程的 关系 1 知识点1 一次函数与二元一次方程的关系 1.[2024唐山期末] 下面四条直线，其中直线上的每一个点的坐标都是二 元一次方程 的解的是( ) D A. B. C. D. 1 星题 夯实四基 2 2.若以关于，的二元一次方程的解为坐标的点 都 在直线上，则常数 的值为( ) C A.0 B. C.2 D.1 1 星题 夯实四基 3 3.点在直线上，坐标 是二元一次方程 的解，则点 的位置在( ) D A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 1 星题 夯实四基 4 知识点2 一次函数与二元一次方程组的关系 4.已知关于，的方程组的解为则直线 与 直线，为常数，且 的交点坐标是( ) A A. B. C. D. 1 星题 夯实四基 5 5.若一次函数与的图像的交点坐标为 ，则解 为 的方程组可以是( ) C A. B. C. D. 1 星题 夯实四基 6 6.[2024邢台调研] 根据如图所示的函数图像可得关于， 的二元一次方 程组 的解为_ _______. 1 星题 夯实四基 7 7.若一次函数与图像的交点坐标为 ， 则方程组 的解为 _ _________. 1 星题 夯实四基 8 8.［教材习题A组变式］如图，过点 的直线 与直线 交于点 . 1 星题 夯实四基 9 （1）求点的坐标和直线 的表达式； 解：把代入，得 ， 则点的坐标为 . 把，代入，得 解得所以直线的表达式为 . 1 星题 夯实四基 （2）根据图像直接写出方程组 的解. 解：方程组的解为 1 星题 夯实四基 11 （第9题） 9.如图，函数和 的图像相交于点 ，则不等式 的解集为( ) D A. B. C. D. 2 星题 提升四能 12 10.已知关于，的二元一次方程组 无解，则一次 函数 的图像不经过的象限是( ) D A.第四象限 B.第三象限 C.第二象限 D.第一象限 2 星题 提升四能 13 （第11题） 11.如图，已知一次函数的图像与 轴、 轴分别交于点，，与正比例函数 的图 像交于点，已知点 的横坐标为2，下列结论： ①关于的方程的解为 ； ②对于直线，当时， ； ③对于直线，当时， ； 2 星题 提升四能 14 ④方程组的解为 其中正确的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 C 2 星题 提升四能 12.[2024石家庄裕华区期末] 如图，直线与轴交于点 ，直 线与轴交于点，两条直线相交于点 . 2 星题 提升四能 16 （1）方程组 的解是_ ___________； （2）当与同时成立时， 的取值范围为__________； 解： 2 星题 提升四能 17 （3）在直线上存在异于点的另一点，使得 与 的面积相等，求出点 的坐标. [答案] 易得,, , , . 令，则 ， ，， 点异于点 ， ， . 2 星题 提升四能 18 13. 如图，正比例函数的图像与一次函数 的 图像交于点，一次函数的图像经过点，与轴的交点为 ， 与轴的交点为 . 3 星题 发展素养 19 （1）求一次函数的表达式； 解： 正比例函数的图像与一次函数 的图像交于点 ， ，解得， . 把和代入 ， 得解得 一次函数的表达式是 . 3 星题 发展素养 20 （2）求点 的坐标； 解：由（1）知一次函数的表达式是，令 ， 则， 点 . （3）求 的面积； 解：在中，令，得 ， 解得， 点， ， ， . 3 星题 发展素养 21 （4）不解关于，的方程组 直接写出方程组的解. 解：方程组的解为 3 星题 发展素养 22 $$第二十一章 一次函数 21.3 用待定系数法确定一次函数 表达式 1 知识点1 用待定系数法确定一次函数表达式 1.若某正比例函数的图像经过点 ，则该正比例函数的表达式为 ( ) D A. B. C. D. 1 星题 夯实四基 2 2.若直线经过和 两点，那么这个一次函数的关 系式是( ) B A. B. C. D. 1 星题 夯实四基 3 3.［教材习题A组变式］一次函数的图像经过点 ， 则 ____. 1 星题 夯实四基 4 4.在一个一次函数中，当时，；当时， ，则该 一次函数的表达式为_____________. 1 星题 夯实四基 5 5.[2024邢台校级期末] 如图，已知 中的实数与 中的实数之间的对应关系是某个一次函数. （1）若用表示中的实数，用表示 中的实 数，求与 之间的函数表达式； 解：设与之间的函数表达式为 ， 将， 代入， 得解得 与之间的函数表达式为 . 1 星题 夯实四基 6 （2）求 的值. 解：在函数中，当时， ， ；当时，，解得, ， . 1 星题 夯实四基 7 知识点2 待定系数法的实际应用 6.在一定温度范围内，声音在空气中的传播速度 可看作是温度 的一次函数，根据下表数据，可知与 的函数表达式为( ) 温度 … 0 10 20 … 传播速度 … 324 330 336 342 … C A. B. C. D. 1 星题 夯实四基 8 7.在弹性限度范围内，弹簧的长度与它所挂的物体的质量 之 间满足关系式，已知所挂物体重时，弹簧长 ， 所挂物体重时，弹簧长，那么当弹簧长 时，所挂物体 重( ) B A. B. C. D. 1 星题 夯实四基 9 8.经验表明，树在一定的成长阶段，其胸径（树的主干在地面以上 处的直径）越大，树就越高.通过对某种树进行测量研究，发现这 种树的树高是其胸径的一次函数.已知这种树的胸径为 时，树高为；这种树的胸径为时，树高为 . （1）求与 之间的函数表达式； 解：设与之间的函数表达式为 ， 根据题意，得解得 与之间的函数表达式为 . 1 星题 夯实四基 10 （2）当这种树的胸径为 时，其树高为多少米？ 解：当时， , 当这种树的胸径为时，其树高为 . 1 星题 夯实四基 11 （第9题） 9.如图，将8个边长均为1的小正方形摆放在平面 直角坐标系中，直线经过小正方形的顶点， ， 则直线 的表达式为( ) A A. B. C. D. 2 星题 提升四能 12 （第10题） 10. 如图，某物理兴趣小组在研究 光的镜面反射时，为了更加直观地显示光的反射规律， 于是把光的入射与反射路径画在了平面直角坐标系中， 一束光线从点出发，经过轴上的点 反 射，沿射线方向反射出去，则反射光线 所在的 直线的表达式是( ) A A. B. C. D. 2 星题 提升四能 13 11.[2024张家口宣化区期末] 如图①，在同一直线上，甲、乙两人分别 从，两点同时向右出发，均匀速移动，图②是两人之间的距离 与所经过的时间之间的函数关系图像，若乙的速度为 ,则经 过,甲自 点移动了( ) C A. B. C. D. 2 星题 提升四能 14 12.已知点与点 在同一条经过原点的直线上，那 么 的值为__. 2 星题 提升四能 15 13.已知一次函数，是常数， ，当自变量的取值范 围为时，对应的函数值的取值范围为 ，则这个 函数的表达式为______________________. 或 2 星题 提升四能 16 14.如图，已知在平面直角坐标系中，直线交 轴于 点，交轴于点 . （1）求直线 的表达式； 解：设直线的表达式为 , 把，的坐标代入，得 解得 直线的表达式为 . 2 星题 提升四能 17 （2）是轴上一点，当的面积为5时，求点 的坐标. 解：的面积为5，，即 ，解得 . ， 易得点的坐标为或 . 2 星题 提升四能 18 15.如图，直线分别与轴，轴交于点，，以线段 为边， 在第二象限内作等腰直角三角形， ，则过， 两点 的直线的表达式为( ) B A. B. C. D. 3 星题 发展素养 19 $$第二十一章 一次函数 河北特色题型专练四 1 题型 图形变换题 1.[2024廊坊安次区二模] 如图，在平面直角坐标系 中有，两点，在线段 处放置一平 面镜.从点发出一束光线照向平面镜 上的 动点 . 2 （1）求 所在直线的表达式； 解：设所在直线的表达式为 ， ， ， 解得 所在直线的表达式为 . （2）若光线所在直线的表达式为,求出点 的坐标； 解： 直线过点 ， ，，即直线 ， 联立，得解得 点的坐标为 . 4 （3）若光线经过的反射后落在轴上的点 处，请求出光 线从点出发经点反射后到达点 的路径长. 解：如图，延长交轴于点,设与轴交于点 , 作出点关于直线的对称点，连接 交 于点 ,根据光的反射原理，反射光线所在直线经 过点，连接交于点 ， ， ， 光线从点出发经点反射后到达点 的路径长为 . 5 直线的表达式为 ， ，， ， ， 易得， 易得 ， 点， ， 光线从点出发经点反射后到达点 的路径长为5. 2.如图，平面直角坐标系中，线段的端点为， . 7 （1）求 所在直线的表达式； 解：设所在直线的表达式为 ， 把， 的坐标代入，得 解得 所在直线的表达式为 . 8 （2）某同学设计了一个动画：在函数 中， 分别输入和的值，得到射线，其中.当时，会从 处弹 出一个光点，并沿飞行；当 时，只发出射线而无光点弹出. ①若有光点弹出，试推算， 应满足的数量关系； [答案] 由题意得直线经过点 . . 9 ②当有光点弹出，并击中线段 上的整点（横、纵坐标都是整数）时， 线段就会发光.求此时整数 的个数. [答案] 解法一：线段上的整点有15个：， ， ，，，，， ， ，，，，，， . 当射线经过，时，射线 ，此时 ，符合题意； 当射线经过，时，射线 ，此时 ，符合题意； 10 当射线经过，时，射线 ，此时 ，符合题意； 当射线经过，时，射线，此时 ， 符合题意； 当射线经过，时，射线，此时 ，符 合题意； 其他点，都不符合题意. 综上，整数 的个数为5. 解法二：设线段上的整点为，则 ， ， ， ，，且为整数， 也是整数， ，，，，或，或 ， 或，或，或， （不符合题意舍去）. 综上所述，符合题意的 的值有5个. $$第二十一章 一次函数 21.2 一次函数的图像和性质 第2课时 一次函数的性质 1 知识点1 一次函数的增减性 1.下列一次函数中，随 的增大而减小的函数是( ) D A. B. C. D. 1 星题 夯实四基 2 2.[2024唐山乐亭期末] 在一次函数中，若随 的增大而减小， 则 的值可能是( ) D A.2 B. C.1 D. 1 星题 夯实四基 3 3.[2024保定涿州期末] 已知直线过点和点 ， 则和 的大小关系是( ) B A. B. C. D.无法确定 1 星题 夯实四基 4 4.已知，是关于的函数 图像上的两点， 当时，，则 的取值范围是( ) C A. B. C. D. 1 星题 夯实四基 5 5.已知一次函数，若随的增大而减小，则 的取值 范围是_________. 1 星题 夯实四基 6 6.[2024镇江中考] 点，在一次函数 的图像上， 则___（用“ ”“”或“ ”填空）. 1 星题 夯实四基 7 7.某一次函数的图像经过点，且函数的值随着自变量 的值的增 大而减小，请你写一个符合条件的函数表达式：____________________ _______. （答案不唯一） 1 星题 夯实四基 8 知识点2 一次函数的图像与， 的关系 8.一次函数 的图像不经过( ) B A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 1 星题 夯实四基 9 9.一次函数 的图像如图所示，则下列说法正确的是( ) C A.， B.， C.， D.， 1 星题 夯实四基 10 10.已知一次函数，若随 的增大而减小，则该函数图像不 经过( ) C A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 1 星题 夯实四基 11 11.一次函数的图像不经过第一象限，则 的取 值范围是( ) C A. B. C. D. 1 星题 夯实四基 12 12.若一次函数的图像不经过第一象限，则 的取值范 围为_______. 1 星题 夯实四基 13 13. [2024潍坊中考] 请写出同时满足以下两个条件 的一个函数：__________________________. 随着的增大而减小；②函数图像与 轴正半轴相交. （答案不唯一） 1 星题 夯实四基 14 14.如果一次函数 的图像一定经过第二、三象限， 那么常数 的取值范围为________________. 且 1 星题 夯实四基 15 15.[教材P94练习T2变式] 已知一次函数 . （1）当 为何值时，这个函数的图像过原点？ 解：当，且，即 时，这个函数的图像过原点. （2）当为何值时，的值随 的值的增大而减小？ 解：当，即时，的值随 的值的增大而减小. 1 星题 夯实四基 16 16.若点在第二象限，则一次函数 的图像可能是 ( ) B A. B. C. D. 2 星题 提升四能 17 17.关于一次函数 ，下列说法正确的是( ) D A.图像经过第二、三、四象限 B.当时， C.随自变量的增大而减小 D.图像与轴交于点 2 星题 提升四能 18 （第18题） 18.如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数 与（其中 ， ，，，为常数）的图像分别为直线， . 下列结论正确的是( ) A A. B. C. D. 2 星题 提升四能 19 19.已知一次函数（为常数）.当时， 有最 大值，则 ___. 4 2 星题 提升四能 20 （第20题） 20.如图，在平面直角坐标系中， 轴， 轴，点在直线上，点 的坐 标是， ，， ， 将先向左平移2个单位长度，再向上平移 个单位长度，此时点恰好落在直线上，则 的 值是___. 6 2 星题 提升四能 21 21.[2024邢台期中] 已知一次函数 . （1）当随的增大而增大时，求 的取值范围； 解：根据题意，得，解得 . （2）若函数图像经过第一、二、三象限，求 的取值范围； 解：根据题意，得，且 ， 解得 . 2 星题 提升四能 22 （3）若，当时，求 的取值范围. 解：将代入，得 ， 当时，；当时， . ，随 的增大而增大， . 2 星题 提升四能 23 22.已知一次函数 ，请按要求解答问题： （1）当为何值时，函数图像过原点，且随 的增大而减小？ 解：由题意，得，且 ， ，即当时，函数图像过原点，且随 的增大而减小. （2）若函数图像平行于直线 ，求一次函数的表达式； 解： 一次函数的图像平行于直线 ， ， ， 一次函数的表达式是 . 3 星题 发展素养 24 （3）若点在该函数图像上，求 的值. 解： 点 在该函数图像上， ，解得 ， 即的值是 . 3 星题 发展素养 25 $$第二十一章 一次函数 21.1 一次函数 第2课时 一次函数 1 知识点1 一次函数的有关概念 1.[2024衡水校级月考] 下列函数中，是 的一次函数的是( ) B A. B. C. D. 1 星题 夯实四基 2 2.[2024邢台期中] 在一次函数 中，比例系数是( ) D A.1 B.2 C. D. 1 星题 夯实四基 3 3.已知函数 . （1）当为何值时，是 的一次函数？ 解：由题意，得，且， ， 即当时，是 的一次函数. （2）若该函数是一次函数，则当为何值时， 的值为3？ 解：由（1）知,当时，，解得 ，故 当时， 的值为3. 1 星题 夯实四基 4 知识点2 根据所给条件列一次函数表达式并求值 4.在如图所示的计算程序中，与 之间的函数关系式是( ) B A. B. C. D. 1 星题 夯实四基 5 5.[2024石家庄裕华区期中] 等腰三角形的周长为36，腰长为 ,底边长为 ,则与之间的关系式及自变量 的取值范围是( ) D A. B. C. D. 1 星题 夯实四基 6 6.小明带100元去买每本6元的笔记本，则他所剩余的钱 （元）与他买 这种笔记本的本数之间的关系式为_______________.当时， 的 值为____. 10 1 星题 夯实四基 7 7.如图，有一个装有水的容器，容器内的水面高度是 ,水面面积是 .现向容器内注水，并同时开始计时.在注水过程中，水面高度 以每秒的速度匀速增加.容器注满水之前，容器内水面的高度 , 注水量随注水时间的变化而变化，则与，与 满足的函数关系分别 是( ) D （第7题） A.正比例函数关系，正比例函数关系 B.正比例函数关系，一次函数关系 C.一次函数关系，一次函数关系 D.一次函数关系，正比例函数关系 2 星题 提升四能 8 8. 新定义：是一次函数（，, 为实数）的“关联数”.若“关联数”是 的一次函数是正比例函数， 则点 所在的象限是( ) B A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2 星题 提升四能 9 9.如图，在中，已知，边上的高线，动点 由 点沿方向向点移动（不与点重合），设的长为， 的 面积为，则与 之间的关系式为____________. （第9题） 2 星题 提升四能 10 $$第二十一章 一次函数 21.1 一次函数 第1课时 正比例函数 1 知识点1 正比例函数的有关概念 1.[2024保定竞秀区期中] 下列函数中，是正比例函数的是( ) A A. B. C. D. 1 星题 夯实四基 2 2.[2024邢台襄都区月考] 若函数 是正比例函数，则下列说 法正确的是( ) B A.是0， 不是0 B.不是0， 是0 C.和 均不是0 D.和 均是0 1 星题 夯实四基 3 3.正比例函数 的比例系数为____. 1 星题 夯实四基 4 4.[2024湖北中考] 铁的密度为，铁块的质量（单位： ）与 它的体积（单位： ）之间的函数关系式为 .当 时，____ . 79 1 星题 夯实四基 5 知识点2 求正比例函数的表达式 5.已知正比例函数，当时， ，则它的表达式 是( ) A A. B. C. D. 1 星题 夯实四基 6 6.如果每盒圆珠笔有12支，售价18元，用（元）表示圆珠笔的售价， 表示圆珠笔的支数，那么与 之间的关系应该是________. 1 星题 夯实四基 7 7.［教材习题A组变式］已知与成正比例，当时， . （1）求与 之间的函数关系式； 解：与成正比例， 设与之间的函数关系式为 ，把 ，代入上式，得，解得，与 之间的函 数关系式为 . （2）当时，求 的值. 解：当时， . 1 星题 夯实四基 8 8.已知函数是正比例函数，则 的值是( ) A A. B.3 C. D.9 2 星题 提升四能 9 9.［教材习题B组变式］已知与成正比例，比例系数是2， 与成正比例，比例系数是，那么与 之间的函数关系式为 ( ) D A. B. C. D. 2 星题 提升四能 10 10.[2024唐山丰润区期中] 某种正方形合金板材的成本 （元）与它的面 积成正比例，设正方形边长为,当时， ，那么成本为72 元时，边长为______. 2 星题 提升四能 11 11.的边,当边上的高从小到大变化时， 的面 积也随之变化. （1）的面积与边上的高 之间的关系式是什么？ 解：,即与之间的关系式是 . 2 星题 提升四能 12 （2）用表格表示当由5变化到15时（每次增加1）， 的相应值. 解：列表如下. 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60 （3）当每增加1时， 如何变化？ 解：由（2）中的表格可看出，当每增加1时， 增加4. 2 星题 提升四能 13 $$第二十一章 一次函数 21.2 一次函数的图像和性质 第1课时 一次函数的图像 1 知识点 一次函数的图像 1.下列各点在函数 图像上的是( ) C A.点 B.点 C.点 D.点 1 星题 夯实四基 2 2.[2024石家庄桥西区期末] 一次函数的图像与 轴的交点坐 标为( ) A A. B. C. D. 1 星题 夯实四基 3 3.[2024保定莲池区期中] 如图，一次函数 的图像可能是 ( ) B A.直线 B.直线 C.直线 D.直线 1 星题 夯实四基 4 4.[2024承德兴隆期中] 若点在一次函数 的图像上，则 代数式 的值为____. 10 1 星题 夯实四基 5 5.［教材 试着做做变式］用“列表—描点—连线”的方法画出函数 的图像. （1）列表：下表是与 的几组对应值，请补充完整. … 0 1 2 … … ____ ___ 3 ___ … 1 5 1 星题 夯实四基 6 （2）描点、连线：在如图所示的平面直角坐标系中，进行描点、连线， 画出函数 的图像. 解：如图所示. 1 星题 夯实四基 7 6.[2024保定涿州期末] 在同一平面直角坐标系中，关于下列函数： ；；； 的图像， 说法不正确的是( ) C A.②和③的图像互相平行 B.②的图像可由③的图像平移得到 C.①和④的图像关于轴对称 D.③和④的图像关于 轴对称 2 星题 提升四能 8 7.[2024石家庄裕华区期中] 已知点在一次函数 的图像上， 且到轴的距离为3，则点 的坐标为_________________. 或 2 星题 提升四能 9 8.已知直线与轴，轴分别交于点，，点在 轴上，且 . （1）画出一次函数 的图像； 解：当时，， . 当时，，解得， . 在平面直角坐标系中，过点， 画直线 ，直线即为一次函数 的图像，如图所 示. 2 星题 提升四能 10 （2）求点 的坐标. 解：易得 . 设点的坐标为，则 ， ，，即 ， ，解得或 ， 点的坐标为或 . 2 星题 提升四能 11 $$第二十一章 一次函数 阶段练习（21.1～21.3）建议用时45分钟 1 一、选择题 1.下列函数：；；； .其中 是一次函数的是( ) B A.①② B.①③ C.①④ D.②③ 2 2.一次函数 的大致图像是( ) D A. B. C. D. 3 3.若一次函数的图像不经过第三象限，则 的取值范 围是( ) B A. B. C. D. 4 4.小李承包荒山种植猕猴桃，到了收获季节，已知猕猴桃的销售量 （千克）与销售价格（元/千克）之间是一次函数关系.当 时， ；当时，，则与 之间的函数关系式为( ) C A. B. C. D. 5 5.关于函数 ，下列结论正确的是( ) C A.图像必经过点 B.图像经过第二、三、四象限 C.图像与轴交于点 D.若图像经过点，，则 6 6.点和点在一次函数， 为常数，且 的图像上，已知，且当时， ，则一次函 数 的图像可能是( ) A A. B. C. D. 7 7.已知过点的直线 不经过第四象限，设 ，则 的取值范围为( ) B A. B. C. D. 8 8.一个一次函数的图像经过点，且和轴交于点 ，如果该函数 图像与坐标轴围成的三角形的面积为6，那么该一次函数的表达式为 ( ) B A. B.或 C. D.或 9 二、填空题 9.若是关于的一次函数，则 的值为___. 0 10 10.把直线沿 轴向上平移2个单位长度，所得直线的表达式是 ___________. 11 11.已知，是一次函数 图像上的两个点， 则___（填“ ”“ ”或“ ”）. 12 12.若一次函数 与坐标轴围成的三角形的面积为9，则这个一 次函数的表达式为_______________________. 或 13 三、解答题 13.已知函数 . （1）若函数图像与轴交于点，求 的值； 解：由题意知，当时，，即，解得 . （2）若这个函数是一次函数，且随的增大而减小，求 的取值范围. 解：由题意得，解得 . 14 14.已知一次函数 . （1）画出这个函数的图像； 解：如图所示. 15 （2）求图像与轴的交点的坐标以及与轴的交点 的坐标； 解：当时，；当时，，解得 ， 图像与轴的交点的坐标为 ； 与轴的交点的坐标为 . （3）求 的面积. 解： . 16 15.如图，直线与轴交于点，与 轴交于 点，已知， . （1）求直线 的表达式； 解：设直线的表达式为 ， 把， 的坐标代入，得 解得 直线的表达式为 . 17 （2）求点 的坐标； 解：当时，，解得 ， 点的坐标为 . （3）若直线上的一点在第一象限，且点的纵坐标为1，求 . 解：当时，，解得， ， 又, . 18 16.[2024邯郸丛台区模拟] 如图，在平面直角 坐标系中，点， ， ，，连接，在线段 的整点（横、纵坐标都为整数的点）处设置 感应灯，当有点落在整点处，或从点 发出 的光线（射线）照射到线段 上的整点 时，该处的感应灯会亮. 19 （1）求线段 所在直线的表达式； 解：设线段所在直线的表达式为 , 将， 的坐标代入，得 解得 线段所在直线的表达式为 . 20 （2）当点在线段上时，请通过计算说明点 是否会 使感应灯亮； 解：将的坐标代入 ， 得，解得 ， ， 点是整点， 点 会使感应灯亮. （3）若线段上的感应灯被射线 分为两部分，并且两部分感应灯 的个数相同，直接写出 的取值范围. 解： . 22 $$第二十一章 一次函数 培优拔高练 一次函数的综合 1 1.[2024北京房山区期中] 在平面直角坐标系 中，横、纵坐标都是整 数的点叫做整点. （1）在点，，， 中，整点是_____ _________； 解：点和点 2 （2）在（1）的条件下，直线 与坐标轴围成的三角形区域 （不含边界）内整点有___个； 2 [解析] 点拨：设直线的表达式为 ， 将,的坐标代入，得解得 所以 . 画出直线 如图①， 易得直线 与坐标轴围成的三角形区域（不含边界） 内有2个整点，分别为和 . 3 （3）若直线 与坐标轴围成的三角形区域（不含边界）内有 且只有四个整点，直接写出 的取值范围. [答案] 或 [解析] 点拨：因为直线 与坐标轴围成的三角形区域 （不含边界）内有且只有四个整点， 4 当 时，如图②， 所以区域内的四个整点为 ， ，， . 将代入 ，得 ，解得 ； 将代入，得，解得 . 所以的取值范围是 . 同理可得，当时， . 综上所述，的取值范围是或 . 5 2.某学校组织春游，租用甲、乙两辆大 巴车，从学校出发，去距离学校360千 米的某风景区，甲车先出发，一段时间 后乙车再出发，两车在同一条笔直的路 上匀速行驶，乙车超过甲车后不久出现 故障，停车检修.当甲车追上乙车时，乙 车恰好修完，两车又立刻以各自原来的速度继续行驶，如图是甲、乙两 车行驶的路程（单位： ）与甲车行驶时间（单位： ）之间的 函数图像. 6 （1）_________，乙车的速度是_____ . 解：300 100 [解析] 点拨：由题意得，甲车的函数图像是线段，可设 ,将 代入，得，解得，.当 时， ， . 乙车的速度为 . 7 （2）求线段 所在直线的表达式. [答案] 由（1）知，当时，，解得 ， . ，， . 设线段所在直线的表达式为，将, 的坐 标代入，得解得 线段所在直线的表达式为 . 8 （3）求乙车出现故障前与甲车相距时 的值. [答案] ①乙车出发前，乙车在甲车后 时， 有，解得 ； ②乙车追上甲车前与甲车相距 时， 有，解得 ； ③乙车追上甲车后与甲车相距 时， 有，解得 . 综上，乙车出现故障前与甲车相距时，的值为或或 . 9 $$第二十一章 一次函数 章末整合练 1 知识结构 2 核心考点巩固 考点1 一次函数的图像及性质 1.如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图像可能是( ) A A.直线 B.直线 C.直线 D.直线 3 2.[2024石家庄期中] 关于一次函数 ，下列说法正确的是 ( ) D A.图像经过点 B.图像向上平移1个单位长度后得到的函数表达式为 C.图像不经过第二象限 D.若点，在该函数图像上，则 4 3.一次函数与正比例函数 在同一坐标系中的图像 大致是( ) C A. B. C. D. 5 4.[2024承德期中] 如图，直线与轴、轴分别交于， 两点. （第4题） （1）点 的坐标为______. （2）在轴上有一点，线段上有一点，当是以 为斜边 的等腰直角三角形时，点 的坐标为______. 6 考点2 一次函数表达式的确定 5.[2024廊坊广阳区一模] 一次函数 满足下列两个条 件：随的增大而减小；②当时， .符合上述两个条件的 一次函数表达式可以为( ) B A. B. C. D. 7 6.如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点 ， 与轴交于点，直线经过的顶点，且将 的面积分为 的两部分，则直线 的表达式为_ __________________________. 或 （第6题） 8 7.[2024沧州南皮二模] 如图，在平面直角坐标系中， 直线经过点，与轴、 轴 分别交于点，，与正比例函数 的图像交 于点，点 的纵坐标为3. （1）求直线 的表达式； 解：把代入，得，解得 ， 点的坐标为 . 把，的坐标代入，得 解得 直线的表达式为 . 9 （2）求 的值； 解：当时，， ， 当时，得，解得， ， ， ， . 10 （3）若直线与直线 的交点的横、纵坐标都是整 数，求整数 的个数. 解：联立，得 解得 直线与直线 的交点的横、纵坐标都是整数， ，，，， 整数 的个数为8. 11 考点3 一次函数与方程（组）的综合 8.[2024保定清苑区期末] 在平面直角坐标 系中，一次函数与 的图像如图所示，则关于， 的方程组 的解为( ) D A. B. C. D. 12 9.已知关于，的方程组的解是 ，则直线 与直线 的交点坐标是________. 13 考点4 一次函数的实际应用问题 10.我市“共富工坊”问海借力，某公司 产品销售量得到大幅提升.为促进生产， 公司提供了两种付给员工月报酬的方 案，如图所示，员工可以任选一种方 案与公司签订合同.看图解答下列问题： （1）直接写出员工生产多少件产品时，两种方案付给的报酬一样多； 解：生产30件产品. 14 （2）求方案二关于 的函数表达式； 解：设方案二关于的函数表达式为 ， 将点，的坐标代入上式，得 解得 方案二关于的函数表达式为 . 15 （3）如果你是劳务服务部门的工作人员，你如何指导员工根据自己的 生产能力选择方案. 解：由两方案的图像的交点坐标为 可知： 若生产件数满足 ，则选择方案二， 若生产件数 ，则选择两种方案都可以， 若生产件数满足 ，则选择方案一. 16 $$第二十一章 一次函数 专项突破练4 一次函数图像与字母系 数的关系 1 类型1 由一次函数的图像判断系数的符号 （第1题） 1.已知一次函数 的图像如图所示，则 点 落在( ) C A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2 （第2题） 2.如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数 与的图像分别为直线 和直 线 ，则下列结论错误的是( ) B A. B. C. D. 3 类型2 由系数的符号判断一次函数的图像 3.[2024保定莲池区期中] 已知点 为第二象限内的点，则一次函数 的大致图像是( ) A A. B. C. D. 4 4.一次函数 的图像如图所示，则一次函数 的大致图像是( ) B A. B. C. D. 5 5.已知点，在一次函数 的图像上， 当时，，且 ，则在平面直角坐标系内，该函数的 大致图像是( ) A A. B. C. D. 6 6.若，，函数与 在同一坐标系中 的大致图像是( ) D A. B. C. D. 7 类型3 图像共存问题 7.一次函数与正比例函数 在同一坐标系中的图像可 能为( ) A A. B. C. D. 8 8.[2024衡水桃城区期末] 一次函数与 在同一平面 直角坐标系中的图像可能是( ) C A. B. C. D. 9 9.正比例函数和一次函数 在同一平面直角坐标系中 的大致图像是( ) C A. B. C. D. 10 $$第二十一章 一次函数 21.4 一次函数的应用 第1课时 单个一次函数的应用 1 知识点1 利用一次函数解决实际问题 1.[2024山西中考] 生物学研究表明，某种蛇在一定生长阶段，其体长 是尾长的一次函数，部分数据如下表所示，则与 之间的 关系式为( ) 尾长 6 8 10 体长 45.5 60.5 75.5 A A. B. C. D. 1 星题 夯实四基 2 2.学完一次函数的知识后，某数学兴趣小组通过实验估计某液体的沸点， 经过几次测量，得到如下数据： 时间 0 10 20 30 液体温度 15 25 35 45 当加热 时，该液体刚好沸腾，则其沸点温度是( ) C A. B. C. D. 1 星题 夯实四基 3 3.[2024上海中考] 某种商品的销售额（万元）与广告投入 （万元）成 一次函数关系，当投入10万元时销售额为1 000万元，当投入90万元时 销售额为5 000万元，则当投入80万元时，销售额为_______万元. 4 500 1 星题 夯实四基 4 4. [2024陕西中考] 我国新能源汽车快速健康发展，续 航里程不断提升，王师傅驾驶一辆纯电动汽车从市前往 市，他驾车 从市一高速公路入口驶入时，该车的剩余电量是 ，行驶了 后，从 市一高速公路出口驶出，已知该车在高速公路上行驶 的过程中，剩余电量与行驶路程 之间的关系如图所示. 1 星题 夯实四基 5 （1）求与 之间的关系式； 解：设与之间的关系式为 ， 将，代入，得 解得 与之间的关系式为 . 1 星题 夯实四基 6 （2）已知这辆车的“满电量”为，求王师傅驾车从 市这一高 速公路出口驶出时，该车的剩余电量占“满电量”的百分之多少. 解：当时， ， ， 答：该车的剩余电量占“满电量”的 . 1 星题 夯实四基 7 知识点2 函数图像的应用 （第5题） 5.“五一”期间，数学老师一家自驾游去了离家 的某地，下面是他们离家的距离 与汽车行驶时间 之间的函数图像.他们出发 时，离目的地还有( ) B A. B. C. D. 1 星题 夯实四基 8 （第6题） 6.某生物兴趣小组观察一种植物种子发芽后的生 长情况，得到该植物高度 （厘米）与观察时间 （天）的函数关系如图所示， ， 轴，则第6天该植物的高度为____厘米. 10 1 星题 夯实四基 9 （第7题） 7.如图是某台阶的一部分，每一级台阶的宽度 和高度之比为 ，在如图所示的平面直角坐 标系中，点的坐标是 ，若直线 同时经过点，，，，，则 与 的乘积为( ) B A. B.3 C. D.5 2 星题 提升四能 10 8.[2024北京海淀区模拟] 如图，购买一种苹果所付金额 （元）与购买 量（千克）之间的函数图像由线段和射线 组成，则一次购买3千 克这种苹果比分三次每次购买1千克这种苹果可节省___元. 2 （第8题） 2 星题 提升四能 11 9. [2024济南中考] 近年来光伏建筑一体化广受关注.某 社区拟修建，两种光伏车棚.已知修建2个种光伏车棚和1个 种光伏 车棚共需投资8万元，修建5个种光伏车棚和3个 种光伏车棚共需投资 21万元. 2 星题 提升四能 12 （1）求修建每个种、 种光伏车棚分别需投资多少万元. 解：设修建一个种光伏车棚需投资万元，修建一个 种光伏车棚需投 资 万元， 根据题意，得解得 答：修建一个种光伏车棚需投资3万元，修建一个 种光伏车棚需投资 2万元. 2 星题 提升四能 13 （2）若修建，两种光伏车棚共20个，要求修建的 种光伏车棚的数 量不少于修建的种光伏车棚数量的2倍，问修建多少个 种光伏车棚时， 可使投资总额最少？最少投资总额为多少万元？ 2 星题 提升四能 14 解：设修建种光伏车棚个，修建种和种光伏车棚共投资 万元， 则修建种光伏车棚个，根据题意，得 ，解得 . 根据题意，得 ， ，随 的增大而增大， 当时，取得最小值，此时 . 答：修建 种光伏车棚14个时，可使投资总额最少，最少投资总额为54 万元. 2 星题 提升四能 10.[2024衡水校级调研] 云南拥有丰富的野生 菌资源，被称为野生菌王国，某批发商购进 ，两个品种的野生菌共20千克，其中 品种 的野生菌价格为每千克30元，购进 品种野生 菌所需费用（单位：元）与购买质量 （单位：千克）的函数关系如图所示. 3 星题 发展素养 16 （1）求与 的函数关系式. 解：当时，设与的函数关系式为.将 代入，得,解得 . 与的函数关系式为；当时，设与 的函数关系式为 . 将，代入,得解得 与的函数关系式为 . 综上所述，与的函数关系式为 3 星题 发展素养 17 （2）若购买品种的野生菌的质量不超过12千克，但不少于 品种野生 菌的质量，试问如何购买能使购买费用最少？最少费用是多少？ 解： 该批发商购进，两个品种的野生菌共20千克，购进 品种野生 菌 千克， 购进品种野生菌 千克. 根据题意，得解得 . 3 星题 发展素养 18 设该批发商购进，两个品种的野生菌的总费用为 元，则 ， ，随 的增大而增大， 当时，取得最小值，最小值为 ，此时 . 答：当购买10千克品种野生菌，10千克 品种野生菌时，总费用最少， 最少费用是740元. 3 星题 发展素养 19 $$第二十一章 一次函数 21.4 一次函数的应用 第2课时 双一次函数的应用 1 知识点 双函数图像的应用 （第1题） 1.，两地相距，甲、乙两人分别从， 两地沿同一条公路相向而行，他们离 地的距离 与时间 的函数关系如图，则乙从出发到 与甲相遇的时间为( ) C A. B. C. D. 1 星题 夯实四基 2 （第2题） 2.甲、乙两电信公司提供了两种移动通讯 收费方式，各自的费用 （元）与通话时 间 （分钟）之间的关系如图，若通话时 间超过200分钟，则乙公司的方案比甲公 司的方案便宜( ) C A.10元 B.11元 C.12元 D.13元 1 星题 夯实四基 3 （第3题） 3.[2024北京顺义区质检] 如图，在一中学生耐力 测试比赛中，甲、乙两学生测试的路程 与时 间之间的函数关系图像分别为折线 和线 段 ，下列说法正确的是( ) C A.甲比乙后到终点 B.乙测试的速度随时间增加而增大 C.比赛过程中（除去起点终点）两人相遇两次 D.比赛全程甲的测试速度始终比乙的测试速度快 1 星题 夯实四基 4 （第4题） 4. [2024济南中考] 某公司生产 了,两款新能源电动汽车.如图，, 分别表示 款， 款新能源电动汽车充满电后电池的剩余 电量与汽车行驶路程 的关系.当 两款新能源电动汽车的行驶路程都是 时，款新能源电动汽车电池的剩余电量比 款 新能源电动汽车电池的剩余电量多____ . 12 1 星题 夯实四基 5 5.［教材习题A组 变式］[2024 邢台期中] 学校每个月都有一些复印 任务，原来由甲复印社承接，按每 100页40元收费，现在有另外一家复 印社乙表示：如果先交200元承包费， 那么每100页按15元收费. （1）直接写出甲、乙两复印社每月实际收费、 （元）与复印数量 （页）之间的函数关系式（可不写取值范围）； 解：依题意，得， . 1 星题 夯实四基 6 （2）请在同一平面直角坐标系内画出， 的函数图像； 解：如图所示. 1 星题 夯实四基 7 （3）结合图像分析，每月复印多少页时，选择乙复印社更合适. 解：令，解得 ， 根据函数图像可知，当时， ，此时选择乙复印社合适， 即每月复印大于800页时，选择乙复印社更合适. 1 星题 夯实四基 8 （第6题） 6.甲、乙两人登山过程中，甲、乙两人距地 面的高度（米）与登山时间 （分钟）之间 的函数图像如图所示.乙提速后，乙的登山速 度是甲登山速度的2倍，并先到达山顶.根据 图像所提供的信息，甲、乙两人距地面的高 度差为36米的时刻不可能是( ) B A.5分钟 B.9分钟 C.11分钟 D.17分钟 2 星题 提升四能 9 （第7题） 7.甲、乙两车在同一直线上从地驶向 地， 并以各自的速度匀速行驶，甲车比乙车早出 发，并且甲车途中休息了 ，如图是 甲、乙两车离开地的距离 与甲行驶时 间 的函数图像.根据图中提供的信息，有 下列说法：的值为1； 的值为40；③ 乙车比甲车早到达 地.其中正确的有 ( ) A A.3个 B.2个 C.1个 D.0个 2 星题 提升四能 10 8.[2024唐山期中] ，两地相距，甲、乙两车分别从地和 地 同时出发相向而行.它们距地的路程和出发后的时间 之间的 函数关系的图像如图所示.则甲、乙两车相遇时的时间为_ ____. 2 星题 提升四能 11 9.[2024邯郸期末] 市政府决定实施“煤改气”供暖改造工程，现甲、乙两 工程队分别同时开挖两条600米长的管道，所挖管道长度 （米）与挖掘 时间 （天）之间的关系如图所示. （1）前2天乙队平均每天挖管道_____米； 150 2 星题 提升四能 12 （2）求段及 段所在直线的函数表达式（不写自变量的取值范围）； 解：设段所在直线的表达式为 ， 把代入得，解得 ， 段所在直线的表达式为 ； 设段所在直线的表达式为，为常数，且 . 将和分别代入 ， 得解得 段所在直线的表达式为 . 2 星题 提升四能 13 （3）开始挖掘后，几天时甲、乙两队所挖管道长度相同？ 解：当甲、乙两队所挖管道长度相同时， 得，解得 . 开始挖掘后，4天时甲、乙两队所挖管道长度相同. 2 星题 提升四能 14 10. 小王同学从家出发，步行到离家 米的公园晨练，4分钟后爸爸也从家出发沿着 同一路线骑自行车到公园晨练，爸爸到达公园 后立即以原速折返回到家中，两人离家的距离 （单位：米）与出发时间 （单位：分钟）的 函数关系如图所示，则两人先后两次相遇的时 间间隔为___分钟. 3 3 星题 发展素养 15 $$第二十一章 一次函数 专项突破练5 一次函数的动点与整点 问题 1 类型1 一次函数中的整点问题 1.在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点叫做整点.直线 与坐标轴围成的三角形内部（不包含边界）有且只有 6个整点，则 的取值范围是( ) C A. B. C. D. 2 2.[2024沧州模拟] 如图，已知直线，点 是上的整点（横、纵坐标都是整数），点 的坐 标为，设线段 所在直线的表达式为 ，则符合条件的整数 有( ) B A.4个 B.8个 C.7个 D.无数多个 3 3.在平面直角坐标系中，直线 与坐标轴分别交于 ，两点.将直线在轴上方的部分沿 轴翻折，其余的部 分保持不变，得到一个新的图形，这个图形与直线 分别交于点， . （1）求， 的值； 解： 直线与坐标轴分别交于， 两点， 解得 4 （2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点.记线段，， 围成的区 域（不含边界）为 . ①当时，区域 内有___个整点； 1 [解析] 点拨：当时，直线 ， 画出图像如图， 易知此时区域内有1个整点为 . 5 ②若区域内恰有3个整点，请求出 的取值范围. [答案] 将点的坐标代入，得 , 解得，此时区域 内有3个整点， 由如图图像可知，当区域内恰有3个整点时， . 6 类型2 一次函数中的动点问题 4.如图，在平面直角坐标系中，直线 分别 与轴、轴交于点，，，分别是， 的中 点，点是轴上的一个动点，当 的值最小 时，点 的坐标为( ) C A. B. C. D. 7 5.[2024衡水校级期末] 如图，在平面直角坐标系 中，直线 与轴、轴分别交于点、点，点在 轴的负半轴上， 若将沿直线折叠，点恰好落在轴正半轴上的点 处. 8 （1）求 的长； 解：令，得 ， , . 令,得，解得 ， , . 在中， . 9 （2）求点和点 的坐标； 解：易知 ， ， . 设，则 . 在中，，即 ，解得 ， . 10 （3）在轴上有一个动点，若点使得 ，请求出点 的坐标. 解：， . 点在 轴上， ,即，解得 ， 点的坐标为或 . 11 6.[2024唐山丰南区模拟] 如图，直线 经过 ，两点，已知，点 是线段 上一动点（可与点， 重合）；直线 （为常数）经过点，交 于 点 . （1）求直线 的表达式； 解：设直线的表达式为 ， 直线经过， 两点， 解得 直线的表达式为 . 12 （2）当时，求点 的坐标； 解：当时，直线 ， 解得 点的坐标为 . 13 （3）在点的移动过程中，直接写出 的取值范围. 解： ， 直线过点 ， 点是线段上一动点， ， 两条直线相交， ， 把的坐标代入，得，解得 ； 把的坐标代入，得 ，解得 . 的取值范围是或且 . 14 7.[2024邯郸一模] 下面表格中的两组对应值满足一次函数 ， 它的图像记为直线，琪琪为观察，对图像的影响，将上面函数中的 与交换位置后得到另一个一次函数，设其图像为直线 . 0 1 15 （1）求直线 的表达式； 解： 在中，当时， ；当 时，，解得 直线的表达式为 . 16 （2）求直线的表达式，并在图中画出直线与 ； 解：依题意可得直线的表达式为，画出直线与 如图. 17 （3）若是轴上的一个动点，过点作 轴的平行线，分别交直 线，于点,.当时，求出 的值； 解：把代入，得 , 把代入，得 ， ， ， 解得或 . 18 （4）是轴上的一个动点，过点作轴的平行线，分别交直线 ， 于点,，若,,三个点中其中两点关于第三点对称，直接写出 的值. 解：或7或 . 19 [解析] 点拨：把代入，得，解得 , 把代入，得，解得 . 分三种情况：①当点,关于点对称时， ，解得 ； ②当点,关于点对称时，，解得 ； ③当点,关于点对称时，，解得 . 综上，的值为或7或 . $$