第七章复数 单元测评卷-2024-2025学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册

第七章《复数》单元测评卷 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.若复数z＝3－5i，则复数z的虚部为（　B　） A.5i B.－5 C.5 D.－5i 解析：z＝3－5i的虚部为－5. 2.若iz＝1＋i，则复数z＝ （　A　） A.1－i B.1＋i C.－1＋i D.－1－i 解析：因为iz＝1＋i，所以z＝＝＝＝1－i. 3.已知a为实数，复数z＝（a－2i）（1＋i）＋i为纯虚数，则a＝ （　C　） A.－1 B.1 C.－2 D.2 解析：复数z＝（a－2i）（1＋i）＋i＝a＋2＋（a－1）i为纯虚数，则a＋2＝0，且a－1≠0，解得a＝－2. 4.设（a＋2i）i＝b－3i（a，b∈R），其中i为虚数单位，则a＋b＝ （　A　） A.－5 B.－1 C.1 D.5 解析：（a＋2i）i＝b－3i（a，b∈R），其中i为虚数单位，∴ai＋2i2＝b－3i，∴－2＋ai＝b－3i，∴a＝－3，b＝－2，则a＋b＝－3－2＝－5. 5.设z1＝3－4i，z2＝－2＋3i，则z1＋z2在复平面内对应的点位于（　D　） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析：∵z1＝3－4i，z2＝－2＋3i，∴z1＋z2＝（3－4i）＋（－2＋3i）＝1－i，∴z1＋z2在复平面内对应的点的坐标为（1，－1），位于第四象限. 6.在复平面内将与复数3－i对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转60°，所得向量对应的复数为 （　C　） A.3＋2i B.3－2i C.－2i D.2i 解析：将与复数3－i对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转60°，可得所求复数为（3－i）[cos（－60°）＋isin（－60°）]＝（3－i）－i＝－i－i－＝－2i. 7.已知复数z满足｜z＋i｜＝1，则｜z＋1｜的最大值为 （　C　） A. B.2 C.＋1 D.3 解析：设z＝a＋bi（a，b∈R），∵｜z＋i｜＝1，∴a2＋（b＋1）2＝1，表示以（0，－1）为圆心，1为半径的圆，｜z＋1｜表示圆上的点到（－1，0）的距离，故｜z＋1｜的最大值为＋1＝＋1. 8.已知z为复数，则"z的实部大于0"是"＜1"的 （　C　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：设z＝a＋bi，a，b∈R，则｜1－z｜＝｜1－a－bi｜＝，｜1＋z｜＝｜1＋a＋bi｜＝，由a＞0，得（1－a）2＜（1＋a）2，所以＜，即｜1－z｜＜｜1＋z｜，所以＜1，充分性成立；由＜1，得｜1－z｜＜｜1＋z｜，所以＜，即－2a＜2a，所以a＞0，必要性成立.所以"z的实部大于0"是"＜1"的充要条件. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9.下列关于复数的说法，其中正确的是 （　AC　） A.复数z＝a＋bi（a，b∈R）是实数的充要条件是b＝0 B.复数z＝a＋bi（a，b∈R）是纯虚数的充要条件是b≠0 C.若z1，z2互为共轭复数，则z1·z2是实数 D.若i为虚数单位，n为正整数，则i4n＋3＝i 解析：复数z＝a＋bi（a，b∈R）是实数，则b＝0，当b＝0时，z＝a为实数，故复数z＝a＋bi（a，b∈R）是实数的充要条件是b＝0，故A正确；复数z＝a＋bi（a，b∈R）是纯虚数，则a＝0，b≠0，故B错误；若z1＝c＋di（c，d∈R），则z2＝c－di，故z1·z2＝（c＋di）（c－di）＝c2＋d2∈R，故C正确；若i为虚数单位，n为正整数，则i4n＋3＝i4n·i3＝－i，故D错误.故选AC. 10.已知方程x2＋2x－a＝0，其中a＜0，则在复数范围内关于该方程的根的结论错误的是 （　ABD　） A.该方程一定有一对共轭虚根 B.该方程可能有两个正实根 C.该方程两根的实部之和等于－2 D.若该方程有虚根，则其虚根的模一定小于1 解析：∵Δ＝4＋4a，当Δ≥0时，方程有两个实数根，当Δ＜0时，该方程有一对共轭虚根，由韦达定理知，两个根的和为－2，故该方程不可能有两个正实根，当Δ＜0时，即a＜－1，方程的两个根为－1±i，其实部和为－2，虚根的模为＝＞1，故选ABD. 11.已知z＝a＋bi（a，b∈R，i是虚数单位），z1，z2∈C，定义：D（z）＝｜｜z｜｜＝｜a｜＋｜b｜，D（z1，z2）＝｜｜z1－z2｜｜，则下列命题正确的是 （　BD　） A.对任意z∈C，都有D（z）＞0 B.若是z的共轭复数，则D（）＝D（z）恒成立 C.若D（z1）＝D（z2）（z1，z2∈C），则z1＝z2 D.对任意z1，z2，z3∈C，则D（z1，z3）≤D（z1，z2）＋D（z2，z3）恒成立 解析：对于A，若z＝0，则D（z）＝｜0｜＋｜0｜＝0，命题错误；对于B，∵＝a－bi，∴D（）＝｜｜｜｜＝｜a｜＋｜－b｜＝｜a｜＋｜b｜＝｜｜z｜｜＝D（z），命题正确；对于C，设z1＝1＋i，z2＝1－i，满足D（z1）＝D（z2），但z1≠z2，命题错误；对于D，设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，z3＝e＋fi，则D（z1，z2）＝｜｜z1－z2｜｜＝｜｜（a－c）＋（b－d）i｜｜＝｜a－c｜＋｜b－d｜，D（z1，z3）＝｜｜z1－z3｜｜＝｜｜（a－e）＋（b－f）i｜｜＝｜a－e｜＋｜b－f｜，D（z2，z3）＝｜｜z2－z3｜｜＝｜｜（c－e）＋（d－f）i｜｜＝｜c－e｜＋｜d－f｜，∵｜a－e｜＝｜（a－c）＋（c－e）｜≤｜a－c｜＋｜c－e｜，｜b－f｜＝｜（b－d）＋（d－f）｜≤｜b－d｜＋｜d－f｜，∴D（z1，z3）≤D（z1，z2）＋D（z2，z3），命题正确.故选BD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.若z－5＝8＋18i（i为虚数单位），则＝　－2－3i　. 解析：设z＝a＋bi（a，b∈R），则z－5＝a＋bi－5a＋5bi＝－4a＋6bi＝8＋18i，所以－4a＝8，6b＝18，所以a＝－2，b＝3，则＝－2－3i.故答案为－2－3i. 13.在复平面内，复数1＋i与2i分别对应向量和，其中O为坐标原点，则向量所对应的复数是　－1＋i　. 解析：∵复数1＋i与2i分别对应向量和，∴＝（1，1），＝（0，2），∴＝－＝（－1，1），∴向量所对应的复数是－1＋i，故答案为－1＋i. 14.若复数z＝（i是虚数单位）在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是　（－1，1）　. 解析：∵z＝＝＝＝＋i在复平面内对应的点在第四象限，∴解得－1＜m＜1，则实数m的取值范围是（－1，1）.故答案为（－1，1）. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（12分）计算下列各题： （1）＋＋. 解：（1）＋＋ ＝－i··（1＋i）5＋＋ ＝－i·4·2i·2i·（1＋i）＋＋i7 ＝16i－16－－i ＝－16＋＋（16－1）i. 15.（12分）计算下列各题： （2）＋. 解：因为＝－＋3××（－i）＋3×（－）×（－）－（－i）＝－i， ＝＋3××（－i）＋3××（－）＋＝－1， 所以＋ ＝＋ ＝（－i）4＋ ＝1－8（1－i） ＝－7＋8i. 16.（16分）已知i为虚数单位，复数z＝m2－2m－3＋m（m＋1）i. （1）当实数m取何值时，z是纯虚数； 解：（1）若复数z是纯虚数， 则解得m＝3. 16.（16分）已知i为虚数单位，复数z＝m2－2m－3＋m（m＋1）i. （2）当m＝1时，复数z是关于x的方程x2＋px＋q＝0的一个根，求实数p，q的值. 解：当m＝1时，z＝－4＋2i， 把z＝－4＋2i代入方程x2＋px＋q＝0得 （－4＋2i）2＋p（－4＋2i）＋q＝0， 整理得12－4p＋q＋（2p－16）i＝0， 所以解得 17.（16分）已知复数z满足｜z｜＝2，z的虚部是2. （1）求复数z； 解：（1）设z＝a＋bi（a，b为实数）， 由题意得a2＋b2＝4，b＝2， 故a＝0，b＝2，z＝2i. 17.（16分）已知复数z满足｜z｜＝2，z的虚部是2. （2）设z，z2，z－z2在复平面上的对应点分别为A，B，C，求△ABC的面积. 解：（2）z＝2i，z2＝－4，z－z2＝4＋2i， 故A（0，2），B（－4，0），C（4，2）， 所以S△ABC＝×4×2＝4. 18.（16分）已知m∈R，复数z1＝（m2＋m）＋（m2－1）i，z2＝2m＋i. （1）若z1－z2在复平面内对应的点位于第三象限，求m的取值范围； 解：（1）复数z1＝（m2＋m）＋（m2－1）i，z2＝2m＋i. 则z1－z2＝（m2－m）＋（m2－2）i， 由解得0＜m＜1， 所以m的取值范围是（0，1）. 18.（16分）已知m∈R，复数z1＝（m2＋m）＋（m2－1）i，z2＝2m＋i. （2）设O为坐标原点，z1，z2在复平面内对应的点分别为A，B（不与O重合），若·＝0，求｜z1－｜. 解：（2）由题意知，＝（m2＋m，m2－1），＝（2m，1）， 则·＝2m（m2＋m）＋（m2－1）＝（m＋1）2（2m－1）＝0， 解得m＝－1或m＝. 当m＝－1时，z1＝0，A（0，0），不合题意，舍去； 当m＝时，z1＝－i，＝1－i， 所以｜z1－｜＝｜－＋i｜＝. 综上，｜z1－｜的值为. 19.（17分）已知复数z1＝5＋10i，复数z2在复平面内对应的点为Z（3，－4）. （1）若复数z2是关于x的方程x2＋mx＋n－1＝0的一个根，m，n∈R，求m＋n的值； 解：（1）z2＝3－4i， 因为复数z2是关于x的方程x2＋mx＋n－1＝0的一个根， 所以（3－4i）2＋m（3－4i）＋n－1＝0， 即3m＋n－8－（4m＋24）i＝0，即 解得m＝－6，n＝26，所以m＋n＝20. 19.（17分）已知复数z1＝5＋10i，复数z2在复平面内对应的点为Z（3，－4）. （2）若复数z满足＝＋，求复数z的共轭复数. 解：（2）由题意可得z＝＝＝＝5－i， ∴＝5＋i. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第七章《复数》单元测评卷 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.若复数z＝3－5i，则复数z的虚部为（　　） A.5i B.－5 C.5 D.－5i 2.若iz＝1＋i，则复数z＝ （　　） A.1－i B.1＋i C.－1＋i D.－1－i 3.已知a为实数，复数z＝（a－2i）（1＋i）＋i为纯虚数，则a＝ （　　） A.－1 B.1 C.－2 D.2 4.设（a＋2i）i＝b－3i（a，b∈R），其中i为虚数单位，则a＋b＝ （　　） A.－5 B.－1 C.1 D.5 5.设z1＝3－4i，z2＝－2＋3i，则z1＋z2在复平面内对应的点位于（　　） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 6.在复平面内将与复数3－i对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转60°，所得向量对应的复数为 （　　） A.3＋2i B.3－2i C.－2i D.2i 7.已知复数z满足｜z＋i｜＝1，则｜z＋1｜的最大值为 （　　） A. B.2 C.＋1 D.3 8.已知z为复数，则"z的实部大于0"是"＜1"的 （　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9.下列关于复数的说法，其中正确的是 （　　） A.复数z＝a＋bi（a，b∈R）是实数的充要条件是b＝0 B.复数z＝a＋bi（a，b∈R）是纯虚数的充要条件是b≠0 C.若z1，z2互为共轭复数，则z1·z2是实数 D.若i为虚数单位，n为正整数，则i4n＋3＝i 10.已知方程x2＋2x－a＝0，其中a＜0，则在复数范围内关于该方程的根的结论错误的是 （　　） A.该方程一定有一对共轭虚根 B.该方程可能有两个正实根 C.该方程两根的实部之和等于－2 D.若该方程有虚根，则其虚根的模一定小于1 11.已知z＝a＋bi（a，b∈R，i是虚数单位），z1，z2∈C，定义：D（z）＝｜｜z｜｜＝｜a｜＋｜b｜，D（z1，z2）＝｜｜z1－z2｜｜，则下列命题正确的是 （　　） A.对任意z∈C，都有D（z）＞0 B.若是z的共轭复数，则D（）＝D（z）恒成立 C.若D（z1）＝D（z2）（z1，z2∈C），则z1＝z2 D.对任意z1，z2，z3∈C，则D（z1，z3）≤D（z1，z2）＋D（z2，z3）恒成立 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.若z－5＝8＋18i（i为虚数单位），则＝　　. 13.在复平面内，复数1＋i与2i分别对应向量和，其中O为坐标原点，则向量所对应的复数是　　. 14.若复数z＝（i是虚数单位）在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是　　. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（12分）计算下列各题： （1）＋＋. 15.（12分）计算下列各题： （2）＋. 16.（16分）已知i为虚数单位，复数z＝m2－2m－3＋m（m＋1）i. （1）当实数m取何值时，z是纯虚数； 16.（16分）已知i为虚数单位，复数z＝m2－2m－3＋m（m＋1）i. （2）当m＝1时，复数z是关于x的方程x2＋px＋q＝0的一个根，求实数p，q的值. 17.（16分）已知复数z满足｜z｜＝2，z的虚部是2. （1）求复数z； 17.（16分）已知复数z满足｜z｜＝2，z的虚部是2. （2）设z，z2，z－z2在复平面上的对应点分别为A，B，C，求△ABC的面积. 18.（16分）已知m∈R，复数z1＝（m2＋m）＋（m2－1）i，z2＝2m＋i. （1）若z1－z2在复平面内对应的点位于第三象限，求m的取值范围； 18.（16分）已知m∈R，复数z1＝（m2＋m）＋（m2－1）i，z2＝2m＋i. （2）设O为坐标原点，z1，z2在复平面内对应的点分别为A，B（不与O重合），若·＝0，求｜z1－｜. 19.（17分）已知复数z1＝5＋10i，复数z2在复平面内对应的点为Z（3，－4）. （1）若复数z2是关于x的方程x2＋mx＋n－1＝0的一个根，m，n∈R，求m＋n的值； 19.（17分）已知复数z1＝5＋10i，复数z2在复平面内对应的点为Z（3，－4）. （2）若复数z满足＝＋，求复数z的共轭复数. 学科网（北京）股份有限公司 $$