3.3正态分布课件-2024-2025学年高二下学期数学湘教版（2019）选择性必修第二册

3.3 正态分布 1.通过具体实例，借助频率直方图的几何直观，了解正态曲线的特点. 2.了解正态分布的均值、方差及其含义. 3.了解“3σ原则”，会求随机变量在特殊区间内的概率. 学习目标 现实中，除了前面已经研究过的离散型随机变量外，还有大量问题中的随机变量，不是离散的，它们的取值往往充满某个区间甚至整个实轴，但取一点的概率为0，我们称这类随机变量为连续性随机变量，下面我们看一个具体问题. 新课导入 例如，对直径为1cm的圆的周长进行测量，由于多种偶然因素的影响，测量出的数据是有差异的.若记X为测量出的数据，则X是一个随机变量，实际问题中需要关心X取值的概率分布，为了确定X的概率分布，我们记录了90次测量的数据(即样本点个数为90)，把它们进行分组整理后得如右分组数据表: 新知讲解 以测量出的数据为横坐标，以组频率/组距为纵坐标，就可以得到频率分布图.图中每个小矩形的面积就是样本落在该分组区间内的频率. 新知讲解 问题1：由函数知识可知，图中的钟形曲线是一个函数，那么，这个函数是否存在解析式呢？ 新知讲解 正态曲线 其中：μ=E(X)； x φ(x) 若随机变量X的概率分布密度函数为φ(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为X~N(μ，σ2). 特别地，当u=0， σ=1时，称随机变量X服从标准正态分布. 即X~N(0，1). 新知讲解 思考：观察下列正态曲线，你能发现正态曲线有哪些特点？ 新知讲解 (1)正态曲线关于x=μ对称(即μ决定正态曲线对称轴的位置)，具有中间高、两边低的特点. (2)当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴. 正态曲线的性质 新知讲解 (3)正态曲线与x轴所围成的图形面积为1; (4)σ决定正态曲线的“胖瘦”： (随机变量X取遍(-∞，+∞)内任意值，其概率的和为1) σ越大，说明标准差越大，数据的集中程度越弱，所以曲线越“胖”; σ越小，说明标准差越小，数据的集中程度越强，所以曲线越“瘦”. 简记为“大胖小瘦” 新知讲解 正态分布的“3σ原则”： ①P(μ－ σ ≤ X≤ μ＋σ)0.682 7； ②P(μ－2σ ≤ X≤μ＋2σ)0.954 5； ③P(μ－3σ ≤ X≤μ＋3σ)0.997 3. 如果X~N(μ，σ2)，那么： 在实际应用中，通常认为服从于正态分布X~N(μ，σ2)的随机变量X只取 [μ－3σ ， μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则. 新知讲解 例1 把一个正态曲线a沿着横轴方向向右移动2个单位，得到新的一条曲线b. 下列说法中不正确的是（ ） A.曲线b仍然是正态曲线 B.曲线a和曲线b的最高点的纵坐标相等 C.以曲线b为概率密度曲线的总体的期望比以曲线a为概率密度曲线的总体的期望大2 D.以曲线b为概率密度曲线的总体的方差比以曲线a为概率密度曲线的总体的方差大2 D 新知讲解 例2 设 X~N(1，22) ，试求： (1)P(-1≤X≤3)； (2)P(3≤X≤5)． 解：因为X～N(1，22)，所以μ＝1，σ＝2. (1)P(－1＜X≤3)＝P(1－2＜X≤1＋2)＝P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0.682 7. (2)因为P(3＜X≤5)＝P(－3≤X＜－1)，所以P(3＜X≤5) ＝[P(－3＜X≤5)－P(－1＜X≤3)]＝[P(1－4＜X≤1＋4)－P(1－2＜X≤1＋2)] ＝[P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)－P(μ－σ＜X≤μ＋σ)] ≈(0.954 5－0.682 7)＝0.135 9. 新知讲解 归纳总结 (1)根据题目中给出的条件确定 μ 与 σ 的值； (2)将待求问题向[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]这三个区间进行转化； (3)利用 X 在上述区间的概率、正态曲线的对称性和曲线与 x 轴之间的面积为1求出最后结果．　 求正态变量 X 在某区间内取值的概率 新知讲解 例3 李明上学有时坐公交车，有时骑自行车. 他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到，坐公交车平均用时30 min，样本方差为36；骑自行车平均用时34 min，样本方差为4；假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布. (1)估计X，Y的分布中的参数; (2）如果某天有38 min可用，李明应选择哪种交通工具？如果某天只有34 min可用，又应该选择哪种交通工具？请说明理由. 新知讲解 解:(1)随机变量X（公交车）的样本均值为30,样本标准差为6; 随机变量Y（骑自行车）的样本均值为34,样本标准差为2. 用样本均值估计参数μ.用样本标准差估计参数σ, 可以得到X~N(30,36),Y~N(34,4). (2)X和Y的分布密度曲线如图所示, 由图可知,P(X≤38)<P(Y ≤ 38), P(X ≤ 34)>P(Y ≤ 34). 所以,如果有38min可用,那么骑自行车不迟到的概率大,应选择骑自行车; 如果只有34min可用,那么坐公交车不迟到的概率大,应选择坐公交车, 26 30 34 38 t y 新知讲解 1.正态曲线与x轴在区间[μ+σ,+∞]内所围的面积为 (　　) A.0.5 B.0.341 3 C.0.158 7 D.0.021 5 C 当堂检测 2.有一种精密零件，其尺寸 X (单位：mm)服从正态分布 N(20，4)．若这批零件共有5 000个，试求： (1)这批零件中尺寸在18～22 mm间的零件所占的百分比为 ； (2)若规定尺寸在24～26 mm间的零件不合格，则这批零件中不合格的零件大约有 个. 68.27% 107 当堂检测 根据本节课所学回答下列问题： 1.正态曲线有哪些性质？ 2.什么是正态分布的“3σ原则”？ x φ(x) 课堂小结 $$