精品解析：河北省承德市部分学校2024-2025学年高三上学期12月联考数学试题

2025届河北承德高三12月联考 数学试题 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合.若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. 或 D. 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知平面向量，，且，则（ ） A. 5 B. C. D. 4. 已知点是抛物线的焦点，若抛物线上的点到的距离为，则点到轴的距离为（ ） A. B. C. D. 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 6. 某景区新开通了，，3个游玩项目，并邀请了甲、乙、丙、丁4名志愿者体验游玩项目，每名志愿者均选择1个项目进行体验，每个项目至少有1名志愿者进行体验，且丁不体验项目，则不同的体验方法共有（ ） A. 12种 B. 18种 C. 24种 D. 30种 7. 已知圆锥的母线与底面所成角为，其内切球（球与圆锥底面及侧面均相切）的表面积为，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，线段的垂直平分线经过点．记椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知定义在上的函数满足，且为偶函数，则下列说法错误的是（ ） A. 函数的周期为2 B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数为奇函数 D. 函数的图象关于点对称 10. 已知函数存在极值点，则实数的值可以是（ ） A. 0 B. C. D. 11. 在平面直角坐标系中，到定点，的距离之积等于的点的轨迹为曲线．若是曲线上一点，则下列说法中正确的有（ ） A. 曲线关于原点成中心对称 B. 的取值范围是 C. 曲线上有且仅有一点满足 D. 曲线上所有的点都在圆的内部 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如果，那么等于____________． 13. 若直线与曲线和圆都相切，则的值为_______． 14. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与双曲线在第一、三象限的交点分别为A，B，设，且．若该双曲线的渐近线方程为，则的取值范围是_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，，分别为三个内角，，的对边，且，，的面积为． （1）求角； （2）为边上一点，满足，求的长． 16. 如图，在四棱锥中，平面，底面为平行四边形，，分别为，的中点． （1）证明：平面； （2）若，，，求平面与平面夹角的正弦值． 17. 已知函数，． （1）当时，求证：； （2）当，时，求证：． 18. 已知椭圆的离心率为，且过点． （1）求椭圆的方程． （2）已知是椭圆内一点，过点任作一条直线与椭圆交于，两点，求以为中点的弦所在的直线方程． （3）设点为椭圆的右顶点，是否存在过点的直线交椭圆于，两点，使得直线，的斜率之和等于？若存在，求出的方程；若不存在，请说明理由． 19. 已知数列，记集合． （1）若，当，即时，写出集合． （2）若，是否存在，，使得?若存在，求出一组符合条件的，；若不存在，说明理由． （3）若，把集合中的元素从小到大排列，得到的新数列为：，，，，，若，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025届河北承德高三12月联考 数学试题 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合.若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知得，结合数轴列式求解，注意要讨论是否是空集. 【详解】 由得，优先考虑为空集的情况： 当，即时，，符合题意； 当，即时，需解得. 综上得，则的取值范围为. 故选：A. 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据条件，结合复数的除法运算求出复数，再求模长即可. 【详解】由，得， 所以． 故选：C． 3. 已知平面向量，，且，则（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量平行的坐标表示，即可求解. 【详解】．因为，所以，解得． 故选：B． 4. 已知点是抛物线的焦点，若抛物线上的点到的距离为，则点到轴的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件，利用抛物线的定义，即可求解. 【详解】设，因为点到的距离为， 则，得到， 故选：A. 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用两角差的正弦公式，结合辅助角公式求出，可得，再根据二倍角的正切公式求解即可. 【详解】， ，， ，其中，，，， ，， ， ， ，． 故选：A． 6. 某景区新开通了，，3个游玩项目，并邀请了甲、乙、丙、丁4名志愿者体验游玩项目，每名志愿者均选择1个项目进行体验，每个项目至少有1名志愿者进行体验，且丁不体验项目，则不同的体验方法共有（ ） A. 12种 B. 18种 C. 24种 D. 30种 【答案】C 【解析】 【分析】根据甲乙丙3人体验的项目各不相同，甲乙丙3人中有2人体验的项目相同，分两种情况讨论即可求解. 【详解】若甲、乙、丙3人体验的项目各不相同，丁体验A、B之一，则有种体验方法； 若甲、乙、丙3人中有2人体验的项目相同，丁体验A、B之一， 则有种体验方法， 故不同的体验方法共有种． 故选：C． 7. 已知圆锥的母线与底面所成角为，其内切球（球与圆锥底面及侧面均相切）的表面积为，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作出轴截面，根据直角三角形的知识计算出底面半径和高，再根据圆锥的体积计算公式即可. 【详解】作出轴截面如图所示，为内切球的圆心，为圆锥底面圆的圆心，为切点，由已知条件可知，内切球的表面积等于，即，而，在中，，所以，在中，所以圆锥的体积. 故选：C 8. 已知，是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，线段的垂直平分线经过点．记椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得，结合椭圆和双曲线的定义得到，的关系式，根据的取值范围，通过分析函数单调性可得到结果. 【详解】设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，它们的公共焦距为，不妨设焦点在轴上，点在第一象限． 点在线段的垂直平分线上，． 由椭圆、双曲线的定义得：，，，整理得， ，即，， ,其中. 令 则. ∵当时，，∴在单调递增， ，∴，即. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知定义在上的函数满足，且为偶函数，则下列说法错误的是（ ） A. 函数的周期为2 B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数为奇函数 D. 函数的图象关于点对称 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据题意推理论证周期性、对称性判断AB；借助变量替换的方法，结合偶函数的定义及对称性意义判断CD. 【详解】对于A，由，得，则，函数的周期为4，A错误； 对于B， 由为偶函数，得，且， 函数的图象关于直线对称，关于点对称，B错误； 对于C，由选项B知，，则函数为偶函数，C错误； 对于D，由，，得， 则，函数的图象关于点对称，D正确. 故选：ABC 10. 已知函数存在极值点，则实数的值可以是（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】函数存在极值点，所以在定义域上存在变号零点，结合一元二次方程的根的情况即可得解. 【详解】函数的定义域为，且， 因为函数存在极值点，所以在上存在变号零点． 由，得，令，则， 对于二次方程，即有两个不相等的实数解， 且至少有一个正实数解，所以，解得． 此时，对于二次函数，其图象的对称轴方程为， 可得其图象与轴正半轴至少有一交点，即至少有一正实数解． 因此，实数的取值范围是． 故选：AB． 11. 在平面直角坐标系中，到定点，的距离之积等于的点的轨迹为曲线．若是曲线上一点，则下列说法中正确的有（ ） A. 曲线关于原点成中心对称 B. 的取值范围是 C. 曲线上有且仅有一点满足 D. 曲线上所有的点都在圆的内部 【答案】ABC 【解析】 【分析】依题意得出曲线的方程，根据对称性验证表达式即可判断A正确，由自变量的范围计算可得，即B正确，易知点在线段的垂直平分线上，综合可得仅是原点时满足，即C正确；易知当，时等号成立， 曲线上的点恰好在圆上，可得D错误. 【详解】由题意可知曲线的方程为． A选项：由是曲线上一点，得， 点关于原点的对称点为， 有， 即点也在曲线上，故A选项正确； B选项：由，得， 解得，故B选项正确； C选项：若，则点在线段的垂直平分线上，所以， 将代入曲线的方程，得，解得， 即仅是原点时满足，故C选项正确； D选项：由，得， 又，所以，所以， 当，时等号成立， 此时曲线上的点恰好在圆上，故D选项错误． 故选：ABC． 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用曲线与方程的思想结合对称性、自变量取值范围、点与曲线的位置关系等解决. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如果，那么等于____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用赋值法分别令，，化简求值即可. 【详解】令，则原式， 令，则原式， 所以. 故答案为： 13. 若直线与曲线和圆都相切，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数、点到直线的距离公式等知识，先求得，然后求得的值. 【详解】设直线与曲线相切的切点坐标为， 由曲线，可得，则 解得，，所以切线方程为． 圆的圆心为，半径为， 因为直线与圆相切， 所以，解得或（舍）． 故答案为： 14. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与双曲线在第一、三象限的交点分别为A，B，设，且．若该双曲线的渐近线方程为，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】首先判断四边形为矩形，再根据几何关系，以及双曲线的定义求得离心率的范围，再求的范围. 【详解】连接，，，如图所示． 由对称性可知，，的中点均为，且，所以四边形为矩形， 所以，所以，． 由双曲线的定义可得， 因为，则，且， 所以，因此，该双曲线的离心率， 所以．故答案为． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，，分别为三个内角，，的对边，且，，的面积为． （1）求角； （2）为边上一点，满足，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理、三角恒等变换等知识化简已知条件，从而求得. （2）根据三角形的面积公式、余弦定理等知识求得. 【小问1详解】 因为，根据正弦定理可得： ． 又，所以， 所以， 即． 因为是三角形的内角，故，所以． 因为是三角形的内角，所以，所以． 【小问2详解】 如图： 因为，所以． 在中，由余弦定理：． 所以． 所以为等边三角形． 又，所以． 在中， ， 所以． 16. 如图，在四棱锥中，平面，底面为平行四边形，，分别为，的中点． （1）证明：平面； （2）若，，，求平面与平面夹角的正弦值． 【答案】（1） 证明：如图，取的中点，连接，． 在中，因为M，F分别为，的中点，所以，． 在中，，且，， 所以，，所以四边形为平行四边形， 所以．又平面，平面， 所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）如图，取的中点，连接，，可得四边形为平行四边形， ．据此可证明结论. （2）如图，以为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系．求出平面和平面的一个法向量，即可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，，平面，所以，． 又，所以，，两两垂直， 所以，以为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系． 由，，，可知为等腰直角三角形，则，所以． 又，，，，， 所以，， ，． 设平面的法向量为， 则，取，则， 设平面的一个法向量为， ，取，则 设平面与平面的夹角为， 所以． 则， 即平面与平面夹角的正弦值为． 17. 已知函数，． （1）当时，求证：； （2）当，时，求证：． 【答案】（1）证明：当时，，．令，， 则． 令，则；令，则； 在上单调递增，在上单调递减， ， ． （2）证明：令，则只需证明． ①当时，； ②当时，， 在上单调递增， ； ③当时，． 综上可知，当，时恒成立． 【解析】 【分析】（1）首先根据不等式构造函数，再利用导数判断函数的单调性，最值，即可证明不等式； （2）讨论，和时，利用不等式放缩，即可证明. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略. 18. 已知椭圆的离心率为，且过点． （1）求椭圆的方程． （2）已知是椭圆内一点，过点任作一条直线与椭圆交于，两点，求以为中点的弦所在的直线方程． （3）设点为椭圆的右顶点，是否存在过点的直线交椭圆于，两点，使得直线，的斜率之和等于？若存在，求出的方程；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法，求椭圆方程； （2）利用点差法求解中点弦所在直线方程； （3）首先设直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理表示，即可求解. 【小问1详解】 由题意得， 将代入椭圆方程得，又，解得，， 故椭圆的方程为． 【小问2详解】 根据题意得中点弦所在直线的斜率存在，且在椭圆内，设，， 所以，， 两式作差，得， 所以． 由是的中点，得，， 所以，所以， 所以，以为中点的弦所在的直线方程为， 即． 【小问3详解】 当直线的斜率为0时，此时和重合或和重合，显然不满足条件． 当直线的斜率不为0时，如图，设直线的方程为，，． 由消去，化简得， ， 则，． 由题意，，则 ， 由，得， 故存在满足条件的直线，直线的方程为． 【点睛】关键点点睛：本题的关键1是点差法解决中点弦问题，关键2是利用直线与圆锥曲线方程联立，利用韦达定理，解决坐标问题. 19. 已知数列，记集合． （1）若，当，即时，写出集合． （2）若，是否存在，，使得?若存在，求出一组符合条件的，；若不存在，说明理由． （3）若，把集合中的元素从小到大排列，得到的新数列为：，，，，，若，求的最大值． 【答案】（1） （2）不存在，理由如下： 因为，所以． 根据等差数列求和公式，这里，，， 则． 假设存在和使得． 由题知，，且为一奇一偶． 设，，则，且，． 因为为奇数，， 将2048分解因数，得， 由于和都不能等于1，可知不符合条件，且其他的因数对的和都是偶数， 所以不存在符合条件的和，即不存在和使得． （3）2038 【解析】 【分析】（1）对于第一问，直接根据，按照的条件计算，并写出集合. （2）对于第二问，根据求出的表达式，然后假设存在和使得，通过分析表达式来判断是否存在这样的和. （3）对于第三问，同样根据求出的表达式，然后找出满足的最大值. 【小问1详解】 当，时，． 当，时，． 当，时，． 所以． 【小问2详解】 不存在，理由略； 【小问3详解】 由（2）知， ，，且，为一奇一偶， 即能拆分为一奇一偶的乘积，且，，． 所以，2到4100的所有偶数，除去2，4，8，16，32，64，128，256，512，1024，2048，4096这些等于的数，其余的偶数都满足条件， 所以， 所以的最大值为2038． 【点睛】关键点点睛：求解新定义运算有关的题目，关键是理解和运用新定义的概念以及元算，利用化归和转化的数学思想方法，将不熟悉的数学问题，转化成熟悉的问题进行求解.对于新型集合，首先要了解集合的特性，抽象特性和计算特性，抽象特性是将集合可近似的当作数列或者函数分析.计算特性，将复杂的关系通过找规律即可利用已学相关知识求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $