第十九章 一次函数 课件2024-2025学年人教版数学八年级下册

第十九章 一次函数 专项突破练11 函数图象与实际问题 1 类型1 从实际问题中抽象出函数图象 1. 小明的父亲从家走了到一个离家 的书 店，在书店看了书后，用 返回家，下列图中可以表示小 明的父亲离家的距离与时间 的函数关系的图象是( ) B A. B. C. D. 2 （第2题） 2.[2024武汉中考] 如图，一个圆柱体水槽底部叠放着两个 底面半径不等的实心圆柱体，向水槽内匀速注水.下列图象 能大致反映水槽中水的深度与注水时间 的函数关系的是 ( ) D A. B. C. D. 3 （第3题） 3.[2024沧州一模] 如图是两个圆柱形连通容器，向甲 容器匀速注水，下面可以近似地刻画甲容器的水面高 度随时间 的变化情况的是( ) C A. B. C. D. 4 4.[2023河北中考] 如图是一种轨道示意图，其中 和均为半圆，点，，， 依次在同 一直线上，且 .现有两个机器人 （看成点）分别从， 两点同时出发，沿着轨 D A. B. C. D. 道以大小相同的速度匀速移动，其路线分别为 和 .若移动时间为,两个机器人之间的距离为，则 与 关系的图象大致是( ) 5 5.如图，正方形的边长为4， 为正方形边上一动 点，运动路线是,设 点经过的路程 为，以点，，为顶点的三角形的面积是 ，则下列 图象能大致反映与 的函数关系的是( ) B A. B. C. D. 6 类型2 从函数图象中获取信息 6.如图①，动点从菱形的点出发，沿边 匀速运动，运 动到点时停止.设点的运动路程为，的长为，与 的函数图象 如图②所示，当点运动到中点时， 的长为( ) C A.2 B.3 C. D. 7 7.[2024承德期末] 嘉淇同学对水进行加热，并记录了水的温度 随 加热时间 （分钟）变化的大致图象，如图所示.下列说法错误的是 ( ) D A.10分钟时，水温升至 B.加热0分钟到10分钟时，水温随加热时间的增 大而增大 C.加热10分钟后，水的温度不再变化 D.加热0分钟到10分钟时，水的温度平均每分钟 上升 8 8. [2024河南中考] 把多个用电器连接在同一个插线 板上，同时使用一段时间后，插线板的电源线会明显发热，存在安全隐 患.数学兴趣小组对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板电源 线中的电流与使用电器的总功率 的函数图象（如图①），插线板电源 线产生的热量与 的函数图象（如图②）.下列结论中错误的是( ) 9 A.当时， B.随 的增大而增大 C.每增加， 的增加量相同 D.越大，插线板电源线产生的热量 越多 √ 10 9.[2024石家庄期末] 如图甲，点 为 边的中点，点在上，动点 以每秒 的速度沿路线 运动，到 ①②③ ①图甲中的长是 ； ②图甲中的长是 ； ③图乙中点表示时，的值为 ； ④图乙中点表示时，的值为 . 点时停止，相应的的面积关于运动时间 的函数图象 如图乙所示，若 ，则下列结论正确的为________. 11 10.[2024保定竞秀区期中] 如图①， 是的边 上的高，且 ，，点 从点 出发，沿线段向终点 运动， 其速度与时间的关系如图②所示， （1）在点沿向点运动的过程中，它的速度是___，用含 的代 数式表示线段的长是____，变量与 之间的关系式为_________； 3 设点运动时间为，的面积为 . 12 （2）当点的运动时间为时，求的面积；当每增加时， 的变化情况如何？ 解：当时， ， 的面积为 . 由可知，当每增加时，增加 . 13 $$第十九章 一次函数 19.1 函数 19.1.2 函数的图象 第1课时 函数的图象 1 知识点1 函数图象及其画法 1.［教材习题变式］下列曲线中不能表示是 的函数的是( ) A A. B. C. D. 1 星题 夯实四基 2 2.“利用描点法画函数图象，进而探究函数的一些简单性质”是初中阶段 研究函数的主要方式，请试着研究函数 ，其图象位于( ) A A.第一、二象限 B.第三、四象限 C.第一、三象限 D.第二、四象限 1 星题 夯实四基 3 3.以下四点中，在函数 图象上的点是( ) B A. B. C. D. 1 星题 夯实四基 4 4.用描点法在平面直角坐标系中画出下列函数的图象. （1） ； 解：列表： … 0 1 2 3 4 … … … 1 星题 夯实四基 5 描点、连线，如图①. ① 1 星题 夯实四基 6 （2） . 解：列表： … 0 1 2 … … 2 0 2 … 1 星题 夯实四基 7 描点、连线，如图②. ② 1 星题 夯实四基 8 知识点2 从函数图象中获取信息 5.[2024江西中考] 将常温中的温度计插入一杯 的热水（恒温）中， 温度计的读数与时间 的关系用图象可近似表示为( ) C A. B. C. D. 1 星题 夯实四基 9 （第6题） 6. 今年假期，小星一家驾车从家出发 前往西柏坡旅游，在行驶过程中，汽车离西柏坡景 点的距离与所用时间 之间的函数关系的 图象如图所示，下列说法正确的是( ) D A.小星家到西柏坡景点的路程为 B.小星从家出发第1小时的平均速度为 C.小星从家出发2小时离景点的距离为 D.小星从家到西柏坡景点共用了 1 星题 夯实四基 10 （第7题） 7.[2024资阳中考] 小王前往距家2 000米的公 司参会，先以 （米/分）的速度步行一段时 间后，再改骑共享单车直达会议地点，到达时 距会议开始还有14分钟，小王距家的路程 （单位：米）与距家的时间 （单位：分钟） 之间的函数图象如图所示.若小王全程以 5 （米/分）的速度步行，则他到达时距会议开始还有___分钟. 1 星题 夯实四基 11 8.[2024潍坊中考] 中国中医科学院教授屠呦呦 因其在青蒿素抗疟方面的研究获2015年诺贝 尔生理学或医学奖.某科研小组用石油醚做溶 剂进行提取青蒿素的实验，控制其他实验条 件不变，分别研究提取时间和提取温度对青 蒿素提取率的影响，其结果如图所示： 由图可知，最佳的提取时间和提取温度分别 为( ) B A., B., C., D., 2 星题 提升四能 12 9.如图①，一个正方体铁块放置在圆柱形水 槽内，现以一定的速度往水槽中注水， 时注满水槽，水槽内水面的高度 与注 水时间 之间的函数图象如图②所示.如 果将正方体铁块取出，再经过___ 恰好又 将水槽注满. 4 2 星题 提升四能 13 10.[2024石家庄裕华区期中] 利用初中阶段我们学习函数知识的方法探 究一下形如 的函数： （1）由解析式，得出函数自变量 的取值范围是__________； （2）由解析式还可以分析出，当时，，随 的增大 而增大；当时，___0，随 的增大而______； 任意实数 增大 2 星题 提升四能 14 （3）如图是函数的图象，请你画出 时的图象. 解：如图所示. 2 星题 提升四能 15 （4）根据图象，再写出 的一条性质：_______________________ _________. 图象关于原点对称（答案不唯一） 2 星题 提升四能 16 11. [2024唐山校级期中] 如图①，在直角梯形 中，动点从点出发，沿匀速运动，设点 运动的路程 为，三角形的面积为，与 之间的关系图象如图②所示. 3 星题 发展素养 17 （1）在这个变化中，自变量、因变量分别是___、___； （2）当点运动的路程时，三角形的面积 ____； 16 （3）求的长和梯形 的面积. 解：根据图象得，，且 ， ，解得 . 由图象得， ， . 3 星题 发展素养 18 $$第十九章 一次函数 19.2 一次函数 19.2.2 一次函数 第1课时 一次函数 1 知识点1 一次函数的概念 1.[2024石家庄栾城区期中] 下列函数：； ； ； .其中一次函数的个数是( ) C A.1 B.2 C.3 D.4 1 星题 夯实四基 2 2.[2024邢台期中] 在一次函数中， 的值是( ) D A.1 B.2 C. D. 1 星题 夯实四基 3 3.已知 . （1）当，取何值时，是 的一次函数？ 解：根据一次函数的定义，得 ， 且，解得 ， 当，为任意实数时，是 的一次函数. 1 星题 夯实四基 4 （2）当，取何值时，是 的正比例函数？ 解：根据正比例函数的定义，得， ， 且 ， 解得， ， 当，时，是 的正比例函数. 1 星题 夯实四基 5 知识点2 列一次函数解析式 4. 一水池的容积是，现有水 ，用水管以每 小时的速度向水池中注水，直到注满为止，则水池水量 与注 水时间之间的关系式为____________，自变量 的取值范围是_____ ______. 1 星题 夯实四基 6 5.已知一次函数，且当时，，当 时， . （1）求这个一次函数的解析式； 解：根据题意，得解得 这个一次函数的解析式为 . 1 星题 夯实四基 7 （2）求当时，自变量 的取值范围. 解：当时，，解得 ； 当时，，解得 ， 当时，自变量的取值范围为 . 1 星题 夯实四基 8 6.汽车由地驶往相距320千米的 地，它的平均速度是80千米/时，则汽 车距地的路程（千米）与行驶时间 （时）的函数关系式及自变量的 取值范围是( ) A A. B. C. D. 2 星题 提升四能 9 7.［教材P练习T变式］已知与成正比例（其中， 都是 常数）. （1）试说明是 的一次函数； 解：与 成正比例， 设比例系数为，则 ， 整理，得，是 的一次函数. 2 星题 提升四能 10 （2）如果时，；时， ，求这个一次函数的 解析式. 解：设，把， ； ，分别代入 ，得 解得 这个一次函数的解析式为 . 2 星题 提升四能 11 8. 一个长方形的一边比另一边长 ，那么，周长 是短边长 的函数吗？如果是，写出它的解析式，并求出自 变量的取值范围.想一想，面积是短边长 的一次函数吗？ 解：是.由题意得 . 自变量的取值范围为 . 易知，所以不是 的一次函数. 3 星题 发展素养 12 $$第十九章 一次函数 专项突破练11 函数图象与实际问题 第4课时 一次函数的实际应用 1 知识点1 一次函数的简单应用 1. [2024山西中考] 生物学研究表明，某种蛇在一定生长阶段， 其体长是尾长的一次函数，部分数据如下表所示，则与 之间的关系式为( ) 尾长 6 8 10 体长 45.5 60.5 75.5 A A. B. C. D. 1 星题 夯实四基 2 2. 在一定范围内，弹簧的长度 与它所挂的物 体的质量之间满足关系式.已知挂重 时，弹簧长 ，挂重时，弹簧长，那么当弹簧长 时，挂重 是( ) B A. B. C. D. 1 星题 夯实四基 3 3.[2024上海中考] 某种商品的销售额（万元）与广告投入 （万元）恰好 符合一次函数关系，当投入10万元时，销售额为1 000万元；当投入90万元 时，销售额为5 000万元，则当投入80万元时，销售额为_______万元. 4 500 1 星题 夯实四基 4 4. [2024陕西中考] 我国新能源汽车快速健康发展， 续航里程不断提升，王师傅驾驶一辆纯电动汽车从A市前往B市.他驾车 从A市一高速公路入口驶入时，该车的剩余电量是 ，行驶了 后，从B市一高速公路出口驶出.已知该车在高速公路上行驶的 过程中，剩余电量与行驶路程 之间的关系如图所示. 1 星题 夯实四基 5 （1）求与 之间的关系式； 解：设与之间的关系式为 ， 将， 代入， 得解得 . 1 星题 夯实四基 6 （2）已知这辆车的“满电量”为 ，求王师傅驾车从B市这一高 速公路出口驶出时，该车的剩余电量占“满电量”的百分之多少. 解：令，则 ， . 答：该车的剩余电量占“满电量”的 . 1 星题 夯实四基 7 知识点2 分段函数的应用 5. 近几年，网约车逐步成 为人们日常出行的主要方式之一，它大幅度地 提高了人们的出行效率，节省了出行时间和金 钱成本.如图是某网约车平台收费 （元）与所 行驶的路程 （千米）之间的函数图象，根据图中的信息解答下列问题： 1 星题 夯实四基 8 （1）求直线 的解析式； 解：设直线的解析式为 ， 把点， 的坐标代入， 得解得 直线的解析式为 . 1 星题 夯实四基 9 （2）小张乘坐网约车从家到机场共花费64元，若车速始终保持60千米/ 时不变，不考虑其他因素（红绿灯、堵车等），小张从家到机场需要多 长时间？ 解：根据图象可知，收费64元，行程已超过3千米， 把代入，得 ， 解得， （分钟）. 小张从家到机场需要30分钟. 1 星题 夯实四基 10 （第6题） 6.某实践小组观察记录了莴笋的成长过程，如图表 示的是一种莴笋的高度与观察时间 （天） 之间的函数图象.由图象可知，这种莴笋可能达到 的最大高度是( ) B A. B. C. D. 2 星题 提升四能 11 （第7题） 7.[2024济南中考] 某公司生产了, 两款新能 源电动汽车.如图，,分别表示款， 款新 能源电动汽车充满电后电池的剩余电量 与汽车行驶路程 的关系.当两 款新能源电动汽车的行驶路程都是 时，款新能源电动汽车电池的剩余电量比 12 款新能源电动汽车电池的剩余电量多____ . 2 星题 提升四能 12 8. [2024天津中考] 已 知张华家、画社、文化广场依次在同一 条直线上，画社离家 ，文化广场 离家 .张华从家出发，先匀速骑 行了 到画社，在画社停留了 请根据相关信息，回答问题： ，之后匀速骑行了到文化广场，在文化广场停留 后， 再匀速步行了返回家.下图中表示时间， 表示离家的距离.图象 反映了这个过程中张华离家的距离与时间之间的对应关系. 2 星题 提升四能 13 （1）①填表： 张华离开家的时间/ 1 4 13 30 张华离家的距离/ 0.6 解： ; 0.6; 1.5 ②填空：张华从文化广场返回家的速度为______ ； 0.075 2 星题 提升四能 14 ③当时，请直接写出张华离家的距离关于时间 的函数解析式； 解：当时，关于 的函数解析式为 2 星题 提升四能 15 （2）当张华离开家时，他的爸爸也从家出发匀速步行了 直接到达了文化广场，那么从画社到文化广场的途中 两 人相遇时离家的距离是多少？（直接写出结果即可） 2 星题 提升四能 16 [答案] 从画社到文化广场的途中 两人相遇时离家的距 离是 . 点拨：爸爸的速度为 ， 设张华出发 时和爸爸相遇， 由（1）得 ， 解得 ， ， 从画社到文化广场的途中 两人相遇时离家的距离为 . 2 星题 提升四能 17 9. 如图，从光源 发出的一束 光，遇到平面镜（轴）上的点后，反射光线 交轴于点，若光线 所在直线满足的函 数关系式为，则 的值是( ) A A. B. C.1 D. 3 星题 发展素养 18 $$第十九章 一次函数 19.3 课题学习 选择方案 1 知识点1 两个一次函数类选择方案 1.[2024镇江二模] 甲、乙两家通信公 司提供了两种移动通信收费方式，他 们各自的费用（元）与通话时间 （分钟）之间的关系如图，若通话时 间超过200分钟，则乙公司的方案比甲 公司的方案便宜( ) C A.10元 B.11元 C.12元 D.13元 1 星题 夯实四基 2 2.[2024邯郸校级期末] 某学校欲购置一批标价为4 000元的某种型号电 脑，需求数量在6至15台之间.经与两家专卖店商谈，优惠方法如下： 甲店：购买电脑打八折； 乙店：先赠一台电脑，其余电脑打九折. 设学校欲购置台电脑，甲店购买费用为元，乙店购买费用为 元. （1）分别写出购买费用、与所购电脑台数 之间的函数解析式； 解：由题意可得， . . 1 星题 夯实四基 3 （2）对 的取值情况进行分析，说明该学校购买哪家电脑更合算？ 解：当时，解得 ，即当购买9台电脑时， 到两家专卖店的购买费用相同； 当时，解得，即当 时，买 甲店电脑更合算； 当时，解得，即当 时，买乙 店电脑更合算. 1 星题 夯实四基 4 知识点2 根据一次函数的增减性求最值来选择方案 3.[2024广元中考] 近年来，中国传统服饰备受大家的青睐，走上国际时 装周舞台，大放异彩.某服装店直接从工厂购进长、短两款传统服装进 行销售，进货价和销售价如表： 类别 价格 短款 长款 进货价（元/件） 80 90 销售价（元/件） 100 120 1 星题 夯实四基 5 （1）该服装店第一次用4 300元购进长、短两款服装共50件，求两款服 装分别购进的件数； 解：设短款服装购进件，长款服装购进 件， 答：长款服装购进30件，短款服装购进20件. 1 星题 夯实四基 6 （2）第一次购进的两款服装售完后，该服装店计划再次购进长、短两 款服装共200件（进货价和销售价都不变），且第二次进货总价不高于 16 800元.服装店这次应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润？ 最大销售利润是多少？ 1 星题 夯实四基 7 解：设第二次购进件短款服装，则购进 件长款服装， ， . 设服装店获得的销售利润为 元， 则 . ，随 的增大而减小. 当时，最大，最大值为 . 答：当服装店购进120件短款服装，80件长款服装时才能获得最大销售 利润，最大销售利润是4800元. 1 星题 夯实四基 8 4. “这么近，那么美，周末到河北”，河北某文化旅游公司 推出野外宿营活动，有两种优惠方案.方案一：以团队为单位办理会员 卡（会员卡花费 元），所有人都按半价优惠；方案二：所有人都按六 折优惠.某团队有人参加该活动，购票总花费为元，这两种方案中 关 于 的函数图象如图所示，则下列说法不正确的是( ) 2 星题 提升四能 9 A. B.原票价为400元/人 C.方案二中关于的函数解析式为 D.若方案一比方案二更优惠，则 √ 2 星题 提升四能 10 5.[2024石家庄校级调研] 某游泳馆夏季推出两种游泳付费方式.方式一： 先购买会员证，每张会员证100元，只限本人当年使用，凭证游泳每次 再付费15元；方式二：不购买会员证，每次游泳付费20元.设小明计划 今年夏季游泳次数为次（ 为正整数）. （1）根据题意，将表格填写完整； 游泳次数 10 15 20 … 方式一的总费用/元 250 325 _____ … 方式二的总费用/元 200 _____ 400 … 400 300 2 星题 提升四能 11 （2）设方式一的总费用为元，方式二的总费用为元，用表示 和 ； 解：由题意，得， . 2 星题 提升四能 12 （3）通过计算说明，当和 时，分别选择哪种付费方式较 合算. 解：当时， ， ， ， 选择方式二较合算； 当时， ， ， ， 选择方式一较合算. 综上所述，当时，选择方式二较合算，当 时，选择方式一 较合算. 2 星题 提升四能 13 6. 某零售店销售甲、乙两种蔬菜，甲种蔬菜每千克获 利1元，乙种蔬菜每千克获利1.5元，该店计划一次购进这两种蔬菜共50 千克，并能全部售出.设该店购进甲种蔬菜 千克，销售这50千克蔬菜获 得的总利润为 元. （1）求与 之间的关系式； 解：根据题意得 ， 与之间的关系式为 . 3 星题 发展素养 14 （2）若乙种蔬菜的进货量不超过甲种蔬菜的 ，则该店购进甲、乙两种 蔬菜各多少千克时，获得的总利润最大？ 解： 乙种蔬菜的进货量不超过甲种蔬菜的 ， ，解得 ， 在中，随 的增大而减小， 当时， 取最大值， 此时 ， 该店购进甲种蔬菜20千克，乙种蔬菜30千克时，获得的总利润最大. 3 星题 发展素养 15 （3）由于蔬菜自身的特点，有 的乙种蔬菜需要保鲜处理，每千克的保 鲜费用是元，若获得的总利润随的增大而减小，请求出 的取 值范围. 解：根据题意得 . 随 的增大而减小， ，解得 . 又，的取值范围是 . 3 星题 发展素养 16 $$第十九章 一次函数 培优拔高练 一次函数的新探究问题 1 类型1 任务式学习 1.[2024深圳中考] 背景 【缤纷618，优惠送大家】 今年618各大电商平台促销火热，线下购物中心也亮出大招，年 中大促进入“白热化”.深圳各大购物中心早在5月就开始推出618 活动，进入6月更是持续加码，某商场为迎接即将到来的618优 惠节，采购了若干辆购物车. 素材 如图为购物车叠放在一起的示意图， 若一辆购物车车身长 ，每增加一辆 购物车，车身增加 . ______________________________________ 2 问题解决 任务1 若该商场采购了辆购物车，求车身总长与购物车辆数 之间的 函数解析式； 解：根据题意，得 ， 车身总长与购物车辆数之间的函数解析式为 . 3 任务2 若该商场用直立电梯从一楼运输该批购物车到二楼，已知该商场 的直立电梯长为 ，且一次可以运输两列购物车，求直立电梯一次 性最多可以运输多少辆购物车； 解：当时，，解得 ， （辆）. 直立电梯一次性最多可以运输18辆购物车. 4 任务3 若该商场扶手电梯一次性可以运输24辆购物车，若要运输100辆 购物车，且共使用电梯5次，求共有多少种运输方案. 解：设用扶手电梯运输次，直立电梯运输 次， 根据题意得解得 . 为正整数，且， 或3或4或5， 共有4种运输方案. 5 类型2 动态问题 2.在平面直角坐标系中，直线与 轴正半轴交于点 ，与轴交于点，过点作 的垂线交 直线于点 . （1）如图，当时，求点 的坐标； 6 解：作于点 ，如图①， ，点在直线 上， . ， ， ， ， . 又易知 ， ， ， ， 点的坐标为 . 7 （2）点是轴正半轴上一点，且，连接 . ①当线段的长为8时，求 的值； [答案] 如图②，作于点 ， ，点在直线 上， ， ， ， ， ， ， 8 又易知 ， ， ， 在中，， ， ， 又， ， . 9 ②试探究直线 是否经过某一定点.若是，请求出该定点坐标；若不是， 请说明理由. [答案] 直线 经过定点. ，点在直线上， ， ， ， 设直线的解析式为 ， 将， 代入， 得解得 10 直线的解析式为 ， 即 ， 当时，，则 ， 直线必经过点 . $$第十九章 一次函数 19.1 函数 19.1.1 变量与函数 第1课时 常量与变量 1 知识点 常量与变量 1. [2024承德期末] 刘师傅到加油站加油,如图是所用 的加油机上的数据显示牌,则其中的变量是( ) D A.金额 B.单价 C.油量 D.金额和油量 1 星题 夯实四基 2 2.[2024石家庄期末] 一支冰激凌的价格是5元,买支冰激凌共支付 元, 则5和 分别是( ) C A.常量,常量 B.变量,变量 C.常量,变量 D.变量,常量 1 星题 夯实四基 3 3.[教材P练习变式]球的体积与半径之间的关系式是 . (1)在这个式子中,常量、变量分别是什么? 解:在这个式子中,常量是 , 变量分别是球的半径,球的体积 . 1 星题 夯实四基 4 (2)利用这个式子分别求出当球的半径为,, 时球的体积. 解:当球的半径为时,球的体积是 ; 当球的半径为时,球的体积是 ; 当球的半径为时,球的体积是 . (3)当球的半径增大时,球的体积如何变化? 解:当球的半径增大时,球的体积也随之增大. 1 星题 夯实四基 5 4.[2024唐山校级期末] 如图,把两根木条和的一端 用螺栓固定 在一起,木条自由转动至 的位置.在转动过程中,下面的量是常量 的为( ) D A.的度数 B.的长度 C.的面积 D. 的长度 2 星题 提升四能 6 5.[2024北京通州区期中] 学校为培育学生的爱国情怀,组织学生到北京 天安门广场参观升国旗仪式.在奏响国歌的第一个音符时,旗手将国旗 展开抛出,到国歌的最后一个音符终止,时间是2分07秒,国旗同时到 达30米高的旗杆顶端.国旗上升的高度随着演奏国歌时间的变化而变化. 下列说法:①旗杆的高度30米是常量;②国旗上升过程中的时间是常量; ③国旗上升过程中的高度是变量.其中正确的是_(只填写序号). ①③ 2 星题 提升四能 7 6. [2024青岛即墨区期中] 一辆汽车油箱里有油 , 在行驶过程中,每小时耗油 ,回答下列问题: (1)汽车行驶后油箱里还有油_,汽车行驶 后油箱里还有 油_ ; (2)这一变化过程中,_是变量,_是常量; 37.5 25 解:油箱里剩下的油量和行驶的时间;每小时耗油量 (3)设汽车行驶的时间为,油箱里剩下的油为,请用含 的式子 表示 _. 3 星题 发展素养 8 $$第十九章 一次函数 19.1 函数 19.1.2 函数的图象 第2课时 函数的表示法 1 知识点1 解析式法 1.已知，两地相距，佳佳从地到地，平均速度为 ， 则余下的路程与行驶时间 之间的关系式为( ) C A. B. C. D. 1 星题 夯实四基 2 2.栽一棵1.8米高的小树，假设以后每年生长0.3米，年后的树高 与年 数 之间的函数关系式是_______________. 1 星题 夯实四基 3 3. “十一”期间，小明和父母一起开车到距家 的 景点旅游，出发前，汽车油箱内储油，当行驶 时，发现油 箱余油量为 .（假设行驶过程中汽车的耗油量是均匀的） （1）求该车平均每千米的耗油量，并写出行驶路程 与剩余油量 的关系式； 解：该车平均每千米的耗油量为 ， 行驶路程与剩余油量的关系式为 . 1 星题 夯实四基 4 （2）当时，求剩余油量 . 解：当时，剩余油量 . 1 星题 夯实四基 5 知识点2 列表法 4. [2024唐山校级期中] 父亲告诉小明，温度与海拔 高度有关系，并给小明出示了下面的表格： 海拔高度/ 0 1 2 3 4 5 … 温度/ 20 14 8 2 … 下列有关表格的分析中，不正确的是( ) D A.表格中的两个变量是海拔高度和温度 B.自变量是海拔高度 C.海拔高度越高，温度就越低 D.海拔高度每增加，温度升高 1 星题 夯实四基 6 5.[2024石家庄栾城区期中] 某科研小组在网上获取了声音在空气中传播 的速度与空气温度的关系的一些数据（如表） 温度/ 0 10 20 30 声速/ 318 324 330 336 342 348 当空气温度为时，声音经过可以传播的路程是_______ . 1 620 1 星题 夯实四基 7 6.[2024邢台期中] 在一次实验中，小强把一根弹簧的上端固定，在其下 端悬挂物体.下表是他测得的弹簧的长度与所挂物体的质量 的一组对应值： 所挂物体的质量 0 1 2 3 4 5 弹簧的长度 20 22 24 26 28 30 （1）上表反映了哪两个变量之间的关系？ 解：表格反映了弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系. 1 星题 夯实四基 8 （2）不挂重物时，弹簧的长度是多少？ 解：由表可知，当时， ， 不挂重物时，弹簧的长度是 . 1 星题 夯实四基 9 知识点3 图象法 7.某蓄水池横断面的示意图如图所示，分深水区 和浅水区，如果以固定的注水流量将蓄水池蓄满 水，下面的图象能大致表示水的深度 和注水时 间 之间关系的是( ) C A. B. C. D. 1 星题 夯实四基 10 （第8题） 8.[2024石家庄桥西区期中] 小张骑车从图书馆回家， 中途在文具店买笔耽误了1分钟，然后继续骑车回 家.若小张骑车的速度始终不变，从出发开始计时， 小张离家的距离（单位：米）与时间 （单位：分 钟）的对应关系如图所示，则文具店与小张家的 距离为( ) B A.400米 B.300米 C.200米 D.100米 1 星题 夯实四基 11 （第9题） 9.[2024威海中考] 同一条公路连接，， 三地，地在， 两地之间.甲、乙两车分别 从地、地同时出发前往 地.甲车速度始终 保持不变，乙车中途休息一段时间，继续行 驶.如图表示甲、乙两车之间的距离 与 时间 的函数关系.下列结论正确的是 ( ) A A.甲车行驶与乙车相遇 B.，两地相距 C.甲车的速度是 D.乙车中途休息 2 星题 提升四能 12 10.某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价 （元）与产品的 日销售量（件）之间的关系如下表，下面能表示日销售量 （件）与销 售价 （元）的关系式的是( ) 元 15 20 25 … 件 25 20 15 … D A. B. C. D. 2 星题 提升四能 13 11.如图，某品牌自行车每节链条的长度为 ，交叉重叠部分的圆 的直径为.设链条长度为，链条节数为 . （1）观察图形，填写下表： 链条节数 2 3 4 … 链条长度 4.2 ____ ____ … 5.9 7.6 （2）上表的两个变量中，自变量是___________； 链条节数 2 星题 提升四能 14 （3）请写出与 之间的函数关系式； 解：由题可得 节链条长为 ， 与之间的函数关系式为 . 2 星题 提升四能 15 （4）如果一辆自行车的链条（安装前）共由60节链条组成，那么这根 链条安装到自行车上后，总长度是多少？ 解： 自行车上的链条为环形， 还要在安装前60节链条长度的基础上缩短 ， 这根链条安装到自行车上后的总长度为 . 2 星题 提升四能 16 12. 已知动点以 的速度沿如图①所示的边框 以的路径运动，记的面积为， 与 运动时间的关系如图②所示，若 ，请回答下列问题： （1）图①中___，___，___ ； 8 4 6 3 星题 发展素养 17 （2）求图②中， 的值； 解： ， . 3 星题 发展素养 18 （3）分别求出当点在线段和上运动时与 的关系式. 解：由题图②知，点在上运动时， ， ，即 ； 由题图②知，点在上运动时， ， ，即 . 3 星题 发展素养 19 $$第十九章 一次函数 专项突破练11 函数图象与实际问题 19.2.3 一次函数与方程、不等式 第1课时 一次函数与一元一次方程、 不等式 1 知识点1 一次函数与一元一次方程 1.下表是一次函数中与的几组对应值，则方程 的解为( ) … 0 1 2 … … 1 7 13 19 … A A. B. C. D. 1 星题 夯实四基 2 2.如图，已知直线，为常数，，则关于 的方程 的解是 ( ) A （第2题） A. B. C.0 D. 1 星题 夯实四基 3 3.[2024扬州中考] 如图，已知一次函数 的图象分别与 ，轴交于，两点，若，，则关于 的方程 的解为________. （第3题） 1 星题 夯实四基 4 4.已知一次函数 . （1）求该函数图象与 轴的交点坐标； 解：当时， ， 所以该函数图象与轴的交点坐标为 . 1 星题 夯实四基 5 （2）在如图所示的平面直角坐标系中画出该一次函数的图象； 解：如图所示. （3）由图可知，方程 的解为______. 1 星题 夯实四基 6 知识点2 一次函数与一元一次不等式 5.函数的图象如图所示，当时， 的取值范围为( ) C （第5题） A. B. C. D. 1 星题 夯实四基 7 （第6题） 6.如图，直线过点， ， 则不等式 的解集是( ) B A. B. C. D. 1 星题 夯实四基 8 7.[2024广东中考] 已知不等式的解集是 ，则一次函数 的图象大致是( ) B A. B. C. D. 1 星题 夯实四基 9 8.[2024廊坊安次区期末] 如图，一次函数 的图象经过点 ，则不等式 的解集为______. 1 星题 夯实四基 10 9.已知一次函数 ，完成下列问题： （1）在如图所示的平面直角坐标系中画出此函数的图象； 解：如图所示. 1 星题 夯实四基 11 （2）根据函数图象回答： ①不等式 的解集是______； ②当_____时， ； ③当时， 的取值范围是__________. 1 星题 夯实四基 12 10.关于的方程的解为，则直线 一定过点 ( ) D A. B. C. D. 2 星题 提升四能 13 11.若不等式的解集是 ，则下列各点可能在一次函数 图象上的是( ) D A. B. C. D. 2 星题 提升四能 14 12.若一次函数 的图象如图所示， 则下列说法正确的是( ) B A.关于的不等式的解集是 B.关于的不等式的解集是 C.关于的方程的解是 D.当时，的取值范围是 2 星题 提升四能 15 13.如图，已知一次函数的图象经过点， . 2 星题 提升四能 16 （1）求一次函数的解析式； 解：把点，的坐标代入，得 解 得 一次函数的解析式为 . （2）观察图象，直接写出方程 的解为______； 2 星题 提升四能 17 （3）求 的面积. 解：，， ， ， . 2 星题 提升四能 18 14. 学习完一次函数后，小荣遇到了这样一个新函 数：；小荣根据学习函数的经验，对函数 的图象 与性质进行了探究.下面是小荣的探究过程，请补充完整. （1）列表：下表是与 的几组对应值，请补充完整； … 0 1 2 3 … … 4 ___ 2 ___ ___ 1 ___ … 3 1 0 2 3 星题 发展素养 19 （2）描点连线：在如图所示的平面直角坐标系 中，描出以上表中 各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象； 解：函数图象如图. 3 星题 发展素养 20 （3）观察图象并直接写出 的解集. 解：的解集为或 . 3 星题 发展素养 21 $$第十九章 一次函数 章末整合练 1 知识结构 发生变化 始终不变 唯一确定 自变量 解析式 图象 列表 列表 描点 连线 2 原点 一、三 上升 增大 二、四 下降 减小 上 下 增大 减小 横坐标 交点坐标 3 核心考点巩固 考点1 函数的有关概念 1.[2024唐山校级期末] 下列关于两个变量的关系，表述不正确的是 ( ) D A.圆的面积公式中，是 的函数 B.同一物质，物体的体积是质量的函数 C.光线照到平面镜上，入射角为 ，反射角为 ，则 是 的函数 D.解析式中，是 的函数 4 2.已知函数是关于的一次函数，则 的值为 ( ) A A. B.3 C. D.9 5 3.[2024深圳南山区二模] 函数中的自变量 的取值范围是( ) D A. B. C.且 D.且 6 考点2 函数图象的应用 4. [2024邯郸模拟] 小花在用洗衣机洗涤衣服时经历三 个连续过程：注水、清洗、排水.若洗衣服前洗衣机内无水，清洗时停 止注水，则在这三个过程中洗衣机内的水量（升）与时间 （分）之间 的函数关系对应的图象大致为( ) C A. B. C. D. 7 5.如图①，平行四边形中， ，两动点，同时从点 出发，点在边上以的速度匀速运动，到达点 时停止运动， 点沿的路径匀速运动，到达点时停止运动. 的 面积与点的运动时间 的关系图象如图②所示，已知 . 8 （1）点的运动速度是___ ； （2） 的值为____. 1 10 9 考点3 一次函数的图象与性质 6.[2024唐山校级期末] 关于一次函数 的图象，下列结论正确 的是( ) A A.点 在图象上 B.图象经过第二、三、四象限 C.若点，点在函数图象上，则 D.图象与轴的交点坐标为 10 7.将函数的图象沿 轴向上平移6个单位长度后，所得图象 对应的函数解析式是_____________. 11 8.[2024承德期末] 平面直角坐标系中有一动点 . （1）若动点在直线上，则 ____； （2）不论为何值，动点 始终在一条直线上，则该直线的解析式为 ___________. 12 9.[2024秦皇岛期末] 如图，平面直角坐标系 中， ， . （1）求直线 的解析式； 解：设直线的解析式为 ， 直线过点 ， ， ， 直线的解析式为 . 13 （2）求直线的解析式，并直接写出直线与轴的交点 的坐标； 解：设直线的解析式为 ， 直线过点， ， 解得 直线的解析式为 . 直线与轴的交点的坐标为 . （3）求 的面积. 解：的面积为 . 14 考点4 一次函数与方程（组）、不等式 10.如图，函数 的图象经过点 ，与函数的图象交于点 ， 则不等式 的解集为( ) C A. B. C. D. 15 11.已知关于，的方程组的解为则直线 与 直线，为常数，且 的交点坐标是( ) A A. B. C. D. 16 12.[2024秦皇岛海港区期末] 如图，已知一次函 数的图象与轴、 轴分别相交于点 和点，直线的解析式为 . （1）求点和点 的坐标； 解：对于 ， 当时，，当时， ， ， . 17 （2）当直线经过原点时，求直线与直线 的交点坐标，并直接写出 方程 的解； 18 解：当直线 经过原点时， 将代入其解析式，得，解得 ， 此时直线的解析式为 . 联立解得 直线与直线的交点坐标为 ， 方程的解为 . （3）当直线与线段有交点时，直接写出 的取值范围. 解： . 考点5 一次函数的应用 13.某通信公司提供一种移动通信服务，当通话时间不少于150分钟时， 每个月的话费（元）与每月通话时间 （分钟）之间的函数解析式为 ，若一个月的通话时间为250分钟，那么这个月 的话费为( ) D A.40元 B.60元 C.80元 D.100元 21 14.[2024长春中考] 区间测速是指在某一路段前后 设置两个监控点，根据车辆通过两个监控点的时 间来计算车辆在该路段上的平均行驶速度.小春驾 驶一辆小型汽车在高速公路上行驶，其间经过一 （1） 的值为_ _； 段长度为20千米的区间测速路段，从该路段起点开始，他先匀速行驶 小时，再立即减速以另一速度匀速行驶（减速时间忽略不计），当他到 达该路段终点时，测速装置测得该辆汽车在整个路段行驶的平均速度为 100千米/时.汽车在区间测速路段行驶的路程 （千米）与在此路段行驶 的时间 （小时）之间的函数图象如图所示. 22 （2）当时，求与 之间的函数关系式； 解：设当时，与之间的函数关系式为 ， 则解得 当时，与之间的函数关系式为 . 23 （3）通过计算说明在此区间测速路段内，该辆汽车减速前是否超速. （此路段要求小型汽车行驶速度不得超过120千米/时） 解：对于，当时， ， 先匀速行驶小时的速度为 （千米/时）， ， 该辆汽车减速前没有超速. $$第十九章 一次函数 河北特色题型专练四 1 题型1 生活情境类 1.[2024石家庄校级期末] 如图是某 机场监控屏显示的两架飞机的飞行 图象，1号指挥机（看成点 ）始终 以的速度在离地面 高的上空匀速向右飞行，2号试飞机 （看成点）一直保持在1号机的正下方.2号机从原点处沿 角爬升， 到高的处便立刻转为水平飞行，再过到达 处开始沿直线 降落，要求后到达 处. 2 （1）求的关于 的函数解析式，并直接写出2号机的爬升速度； 解：号机爬升角度为 ， 易得上的点的横、纵坐标相同， . 设的关于的函数解析式为 ， ， ， 的关于的函数解析式为 . 2号机的爬升速度为 . 3 （2）求的关于 的函数解析式，并预计2号机着陆点的坐标； 解：设的关于的函数解析式为 ， 由题意易得，又 ， 解得 的关于的函数解析式为 . 令，则 ， 预计2号机着陆点的坐标为 . 4 （3）通过计算说明两机距离不超过 的时长是多少. 【注】（1）及（2）中不必写 的取值范围. 解：不超过， ， 解得 . 两机距离不超过的时长是 . 5 题型2 函数图象中的动态问题 2.[2024廊坊安次区二模] 如图，在平面直角坐标系 中有，两点，在线段 处放置一平 面镜，从点发出一束光线照向平面镜 上 的动点 . 6 （1）求 所在直线的解析式； 解：设所在直线的解析式为 ， ， ， 解得 所在直线的解析式为 . （2）若光线的解析式为,求出点 的坐标； 解： 光线过点 ， ， ， 光线的解析式为 . 联立解得 点的坐标为 . （3）若光线经过的反射后落在轴上的点 处，直接写出 光线从点出发经点反射后到达点 的路径长. 解：光线从点出发经点反射后到达点 的路径长为5. 8 $$第十九章 一次函数 19.1 函数 19.1.1 变量与函数 第2课时 函数 1 知识点1 函数的概念 1.[2024长沙期末] 下列关系式中，不是 的函数的是( ) A A. B. C. D. 1 星题 夯实四基 2 2.[2024北京海淀区期中] 如图，用一根长 的铁丝围成一个矩形，小 北发现矩形的邻边长，（单位：）及面积（单位： ）是三个 变量，下面有三个说法：是的函数；是的函数；是 的函 数.其中所有正确说法的序号是______. ①② 1 星题 夯实四基 3 知识点2 确定自变量取值范围 3.[2024巴中中考] 函数 自变量的取值范围是( ) C A. B. C. D. 1 星题 夯实四基 4 4.在函数中，自变量 的取值范围是______. 1 星题 夯实四基 5 5.一辆电动汽车的电量为，该车行驶时每小时耗电 ， 该车的剩余电量与行驶时间 之间的函数关系式为 ，其中自变量的取值范围为__________. 1 星题 夯实四基 6 知识点3 函数解析式及其函数值 6.变量与之间的函数关系式是，则自变量 时的函 数值为___. 1 1 星题 夯实四基 7 7. [2024邢台模拟] 打出租车是城市中一种常见的交通方式.若出 租车以内（含 ）的起步价是9元，之后的每千米车程需要支付 2元（不足的按计），则打出租车价格（元）和里程 （里程大于 ）对应的函数解析式是___________（不考虑自变量取 值范围）. 1 星题 夯实四基 8 8.自变量 的取值范围是_______________. 且 2 星题 提升四能 9 9.[2024唐山校级期末] 当____时，函数 与函数 的函数值相等. 2 星题 提升四能 10 10.若等腰三角形的腰长为，底边长为，，满足 ，该 等腰三角形的周长为 . 则关于的函数解析式为___________， 的取值范围为____________. 2 星题 提升四能 11 11.［教材P练习T变式］如图，在矩形中，， ， 延长到点，使，连接.动点从点 出发，以每秒2个单位长 度的速度沿折线向终点运动，设点运动的时间为秒 . 3 星题 发展素养 12 （1） ___； 5 （2）连接，，设四边形的面积为 ， 求与 之间的函数关系式. 解：如图①，当点在上时， ， ， ； 3 星题 发展素养 13 如图②，当点在上时，， ， . 综上所述，与 之间的函数关系式为 3 星题 发展素养 14 $$第十九章 一次函数 阶段练习（19.2） 1 建议用时：45分钟 一、选择题（每小题5分，共40分） 1.下列函数中是一次函数的是( ) D A. B. C. D. 2 2.已知，若是的正比例函数，则 的值为( ) A A.1 B. C.1或 D.0 3 3.如果正比例函数的图象经过点 ，那么该函数的图象经过( ) C A.第一、三象限 B.第一、二象限 C.第二、四象限 D.第三、四象限 4 4.[2024承德校级期末] 已知一次函数的函数值随 的 增大而增大，且图象经过第一、二、三象限，则 的取值范围是( ) C A. B. C. D. 5 5.[2024唐山路南区月考] 将直线 向下平移2个单位长度后所 得直线的解析式为( ) D A. B. C. D. 6 （第6题） 6.如图，一次函数与 的图象 相交于点，则关于的方程 的解 是( ) D A. B. C. D. 7 7.如图，关于一次函数与 ，下列 说法正确的是( ) （第7题） ， ； ②由函数的图象可知，随自变量 的 增大而减小； ③不论为何值，一次函数 的 图象都经过定点 ； 8 ④方程组的解是 A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②③④ √ 9 8.[2024廊坊调研] 在平面直角坐标系中，将点 向左平移4个单位 长度，得到点，点在直线上.如果一次函数 的 图象与线段有公共点，则 的取值范围为( ) A A. B. C. D. 10 二、填空题（每空5分，共25分） 9.[2024邯郸永年区期末] 已知一次函数 的图象经过点 ，，则___ . （填“ ”“ ”或“ ”） 11 10.已知函数的部分对应值如表所示，则关于 的方程 的解为________. … 1 … … 5 3 … 12 11.[2024广安中考] 如图，直线与轴、轴分别相交于点 ， ，将绕点逆时针旋转 得到，则点 的坐标为 ________. 13 12.[2024保定校级期末] 如图，在平面直角坐标系 中，线段的端点为， . （1）直线 的函数解析式为___________； （2）某同学设计了一个动画：在函数 中，输入的值，得到直线 的解析式，其 中点在轴上，点在轴上.当直线与线段有交点时，直线 就 会发红光，则此时输入的 的取值范围是____________. 14 三、解答题（共35分） 13.（10分）在平面直角坐标系 中，已知一 次函数的图象与轴、 轴分别交 于点， . 15 （1）求， 两点的坐标； 解：当时，，解得 ， 点的坐标为 . 当时， ， 点的坐标为 . 16 （2）在如图所示的平面直角坐标系中，画出该函数的图象； 解：如图. 17 （3）结合图象直接写出当时， 的取值范围. 解：当时，的取值范围为 . 18 14.（10分）[2024沧州期末] 如图，在平面直角坐 标系中，一次函数的图象与 轴的交点 为，与轴的交点为 ，且与正比例函数 的图象交于点 . 19 （1）求的值及一次函数 的解析式； 解： 点在正比例函数 的图象上， ，，即点的坐标为 . 一次函数的图象经过点，点 ， 解得 一次函数的解析式为 . 20 （2）若点是轴上一点，且的面积为6，请直接写出点 的坐标. 解：点的坐标为或 . [解析] 点拨：当时，， . 的面积为6， ， ， 点的坐标为或 . 21 15.（15分）[2024石家庄桥西区模拟] 在平面直角坐标系中，线段 的 端点分别为， . （1）求 所在直线的解析式； 解：设所在直线的解析式为，将， 的坐标 代入，得解得 所在直线的解析式为 . 22 （2）如图，点，，点从点出发，沿 以每秒2个单 位长度的速度运动到点，设运动时间为 秒. ①连接，，当的周长最短时，求点 的坐标； 23 [答案] 作点关于直线的对称点，连接交于点 ，此时 的周长最短. 点，， 直线的解析式为 . ， 点关于直线的对称点为 . 设直线的解析式为，将， 的坐标代入， 得解得 直线的解析式为 ， 当时，，解得， . 24 ②当直线与线段有交点时，直接写出 的取值范围. [答案] . [解析] 点拨：设直线的解析式为，将 的坐标代入， 得 ， 直线的解析式为 . 令，则，解得，此时 ， 点从点出发，沿 以每秒2个单位长度的速度运动， 25 . 同理得到直线的解析式为 ， 令，则，解得，此时 ， . 当直线与线段有交点时，的取值范围为 . $$第十九章 一次函数 专项突破练12 一次函数与面积问题 1 类型1 直接利用面积公式求面积 1.如图，在平面直角坐标系中，直线 的解析式为 ，直线的解析式为，与轴、 轴分别交于点，，直线与交于点 . （1）求出点， 的坐标； 解：当时， ， . 令，解得， . 2 （2）求 的面积. 解：联立方程，，解得， ， . 3 2.如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与轴交点为，与 轴 交点为，且与正比例函数 的图象交于点 . 4 （1）求的值及一次函数 的解析式； 解：在中，当时，， ， . 把，代入 ， 得 一次函数的解析式为 . （2）求 的面积. 解：在中，当时， ， ， ， . 6 类型2 已知图形面积求点的坐标 3.如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与 轴交于点 ，与轴交于点，与正比例函数 的图象交于点 . （1）直线 的函数解析式为______________； 解： 7 （2）点是直线上的一点，若的面积为4，求点 的坐标. [答案] 设 ， 令，则，解得，， . ， ， 解得或 ， 点的坐标为或 . 8 4.[2024秦皇岛一模] 如图，在平面直角坐标系中，直线 的解析式为 ，直线的解析式为，与轴、 轴分别交于 点， . （1）点 的坐标为______； 9 （2）若直线与直线的交点为，求 的面积； 解： 直线经过点 ， ，解得 ， 直线的解析式为 ， 令，则， 点的坐标为 ， 的面积 . 10 （3）在（2）的条件下，轴上是否存在一点，使得 的面积与 的面积相等，若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说 明理由. 解：存在. 点的坐标为或 . 11 $$第十九章 一次函数 19.2 一次函数 19.2.1 正比例函数 第2课时 正比例函数的图象和性质 1 知识点1 正比例函数的图象 1.[2024张家口桥西区期末] 正比例函数 的图象是经过原 点的一条( ) D A.射线 B.双曲线 C.线段 D.直线 1 星题 夯实四基 2 2.经过以下一组点可以画出函数 的图象的是( ) B A.和 B.和 C.和 D.和 1 星题 夯实四基 3 3.[2024德阳中考] 正比例函数 的图 象如图所示，则 的值可能是( ) A A. B. C. D. 1 星题 夯实四基 4 4.[2024天津中考] 若正比例函数是常数， 的图象经过第 一、三象限，则 的值可以是_________________（写出一个即可）. 1（答案不唯一） 1 星题 夯实四基 5 5.［教材P 练习变式］在同一平面直 角坐标系中，用你认为最简单的方法 分别画出函数和 的图 象. 1 星题 夯实四基 6 解：过点和 画一条直线，即 为的图象；过点和 画一条直线，即为 的图象.如图 所示. 1 星题 夯实四基 7 知识点2 正比例函数的性质 6.在直角坐标系中，是正比例函数的图象，且的值随 的增大而 增大的是( ) B A. B. C. D. 1 星题 夯实四基 8 7.关于正比例函数 ，下列说法错误的是( ) C A.其图象是一条经过原点的直线 B.其图象经过第二、四象限 C.随的增大而增大 D.点 在其图象上 1 星题 夯实四基 9 8.已知和是直线上的两点，且，则 与 的大小关系是( ) B A. B. C. D.以上都有可能 1 星题 夯实四基 10 9.[2024上海中考] 若正比例函数的图象经过点，则 的 值随 的增大而______. （选填“增大”或“减小”） 减小 1 星题 夯实四基 11 10.在函数中，若自变量的取值范围是 ，则函数值 的取值范围为_______________. 1 星题 夯实四基 12 11.已知关于的函数 ，且该函数是正比例函数. （1）求 的值； 解： 函数 是正比例函数， 解得 . （2）若点，在该函数的图象上，请直接写出， 的大小关系. 解： . 1 星题 夯实四基 13 12.正比例函数的图象经过第一、三象限，则直线 经过( ) C A.第一、三象限 B.第二、三象限 C.第二、四象限 D.第三、四象限 2 星题 提升四能 14 （第13题） 13.如图，正比例函数，， 在同 一平面直角坐标系中的图象如图所示，则比例系数 ，， 的大小关系是___________.（按从大到小 的顺序用“ ”连接） 2 星题 提升四能 15 （第14题） 14.将 的正方形网格按如图所示的方式放置 在平面直角坐标系中，每个小正方形的顶点称 为格点，每个小正方形的边长都是1，正方形 的顶点都在格点上，若直线 与正方形 有两个公共点， 则 的取值范围是_ _________. 2 星题 提升四能 16 15.已知与成正比例函数关系，且当时， . （1）求出与 之间的函数解析式； 解：设 ， 将，代入，得，解得 ， ，即 . （2）若点在这个函数的图象上，求 的值； 解：将点的坐标代入，得 ， 解得 . 2 星题 提升四能 17 （3）若的取值范围为，求 的取值范围. 解：当时，，解得 ， 当时，，解得 ， 的取值范围是 . 2 星题 提升四能 18 16.已知如下三个正比例函数： ，， . （1）写出这三个正比例函数的图象都具有的一条性质； 解：都是直线.（答案不唯一） 2 星题 提升四能 19 （2）如果直线与，，顺次交于点，点，点 ， 且，求 的值. 解：由题知，， . ， ，解得 . 2 星题 提升四能 20 17.如图，已知正比例函数的图象经过点，点 在第四象限，过 点作轴，垂足为点，点的横坐标为6，且 的面积为12. 3 星题 发展素养 21 （1）求该正比例函数的解析式； 解： 点的横坐标为6，且 的面积为12， ，解得 ， ， 把点的坐标代入，得 ，解得 ， 该正比例函数的解析式为 . 3 星题 发展素养 22 （2）在轴上是否存在一点，使 的面积为10？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由. 解：存在.设 ， 的面积为10， ， 或， 点的坐标为或 . 3 星题 发展素养 23 $$第十九章 一次函数 专项突破练11 函数图象与实际问题 19.2.3 一次函数与方程、不等式 第2课时 一次函数与二元一次方程组 1 知识点1 一次函数与二元一次方程（组）的关系 1.[2024唐山期末] 下列图形是以方程 的解为坐标的点组成的 图象的是( ) C A. B. C. D. 1 星题 夯实四基 2 2.已知一次函数与相交于点 ，则方程组 的解是( ) A A. B. C. D. 1 星题 夯实四基 3 3.点在直线上，坐标 是二元一次方程 的解，则点 的位置在( ) D A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 1 星题 夯实四基 4 4.[2024邢台调研] 根据如图所示的函数图象可得关于， 的二元一次方 程组 的解为_ _______. 1 星题 夯实四基 5 知识点2 利用二元一次方程组求两个一次函数图象的交点坐标 5.如图，直线， 的交点坐标可以看作下列哪个方程组的解？( ) A A. B. C. D. 1 星题 夯实四基 6 6.已知一次函数与的图象相交于点，则点 的 坐标为________. 1 星题 夯实四基 7 知识点3 由两个一次函数图象的交点求不等式的解集 7.[2024沧州校级期末] 如图，函数 和 的图象相交于点 ，则不等式 的解集为( ) B A. B. C. D. 1 星题 夯实四基 8 8.一次函数与的图象如图所示，则 的 解集是______. 1 星题 夯实四基 9 9.在平面直角坐标系中，以方程组 的解为坐标的点位于第 三象限，则 的取值范围是( ) A A. B. C. D. 2 星题 提升四能 10 10.若函数和 的图象如图所示， 则关于的不等式 的解集是( ) B A. B. C. D. 2 星题 提升四能 11 11.若是关于，的二元一次方程 的一组解，则一 次函数 的图象不经过第____象限. 三 2 星题 提升四能 12 12.[2024北京中考] 在平面直角坐标系中，函数 与的图象交于点 . （1）求， 的值； 解：由题意，将代入 ， 得 ， 解得，则即为 ， 将代入 ， 得，解得 ， ， . 2 星题 提升四能 13 （2）当时，对于的每一个值，函数 的值既大于 函数的值，也大于函数的值，直接写出 的取 值范围. 解： . 2 星题 提升四能 14 13. 在一条笔直的公路上依 次有，，三地，甲车从 地出 发匀速行驶到 地，停留1小时后掉 头（掉头时间忽略不计）按原路原 速到达地，在甲车从地出发的同时，乙车从地出发匀速行驶到 地. 在两车行驶的过程中，甲、乙两车距地的距离 （单位：千米）与甲 车行驶时间 （单位：小时）之间的函数图象如图所示，请结合图象解 决下列问题： 3 星题 发展素养 15 （1）乙车的速度为____千米/时，地与 地之间的距离为_____千米； 50 500 （2）求甲车从地返回到地的过程中与 的函数解析式，并直接写出 自变量 的取值范围； 3 星题 发展素养 16 解：设甲车从地返回到地的过程中与的函数解析式为 ， 由题图及题意可得，甲车由地返回到 地需要的时间为5小时， 甲车返回到地时距离甲车出发的时间为 （小时）， 把，代入 ，得 解得 所求的函数解析式为 . 3 星题 发展素养 17 （3）在两车行驶过程中，甲车行驶多长时间甲、乙两车距 地的距离相 等？请直接写出答案. 解：甲车行驶小时或2小时或8小时，甲、乙两车距 地的距离相等. [解析] 点拨：设甲车行驶小时，甲、乙两车距 地的距离相等， ①甲、乙两车相遇前， 由题意得， ， 解得 ； 3 星题 发展素养 18 ②甲、乙两车第一次相遇时， 由题意得， ， 解得 ； ③甲、乙两车第二次相遇时， 由题意得，，解得 . 综上可得，甲车行驶小时或2小时或8小时，甲、乙两车距 地的距离相等. 3 星题 发展素养 19 $$第十九章 一次函数 专项突破练11 函数图象与实际问题 第3课时 一次函数解析式的确定 1 知识点 用待定系数法求一次函数解析式 （第1题） 1.[2024石家庄期中] 已知正比例函数的图象如图所 示，则这个函数的解析式为( ) B A. B. C. D. 1 星题 夯实四基 2 2.若直线经过和 两点，那么这个一次函数的解 析式是( ) B A. B. C. D. 1 星题 夯实四基 3 （第3题） 3.直线如图所示，过点 作与它平行的 直线，则， 的值是( ) B A.2，3 B.2， C.2， D.， 1 星题 夯实四基 4 4.[2024唐山期末] 若一次函数的图象关于 轴对称的图象经 过点，则 的值是( ) A A. B.3 C. D.5 1 星题 夯实四基 5 5.[2024邯郸三模节选] 如图，在平面直角坐标系中， 线段的端点为，.求 所在直 线的解析式. 解：设所在直线的解析式为 ， 把和 的坐标代入， 得解得 所在直线的解析式为 . 1 星题 夯实四基 6 6.[2024邢台校级期末] 如图，已知中的实数与 中的实数之间的对应 关系是某个一次函数. 1 星题 夯实四基 7 （1）若用表示中的实数，用表示中的实数，求与 之间的函数解 析式； 解：设与之间的函数解析式为 ， 将，代入 ， 得 解得 与之间的函数解析式为 . 1 星题 夯实四基 8 （2）求 的值. 解：在中，当时， ； 当时，，， ， . 1 星题 夯实四基 9 7.已知与成正比例，且当时， . （1）求与 的函数解析式； 解：设 ， 把，代入，得，解得 ， 所以，所以 . （2）当时，求 的值； 解：当时， . 1 星题 夯实四基 10 （3）将（1）中所得函数的图象平移，使它过点 ，求平移后直线 的解析式. 解：设平移后直线的解析式为 ， 把代入，得，解得 ， 所以平移后直线的解析式为 . 1 星题 夯实四基 11 8.[2024沈阳期中] 如图，将8个边长均为1的小正方 形摆放在平面直角坐标系中，直线 经过小正方形的 顶点，，则直线 的解析式为( ) A A. B. C. D. 2 星题 提升四能 12 9.[2024邢台期中] 已知一次函数 的图象与两坐标轴所 围成的三角形的面积等于8，则该一次函数的解析式为( ) A A. B. C. D. 2 星题 提升四能 13 10. 一次函数，是常数， ，自变量的取值 范围为，对应的函数值的取值范围为 ，则这个 函数的解析式为______________________. 或 2 星题 提升四能 14 11.如图，在平面直角坐标系中，直线 经过点和点，与 轴交于点，经过点的另一条直线与 轴的正 半轴交于点 . 2 星题 提升四能 15 （1）求点的坐标及直线 的解析式； 解：将点的坐标代入 ， 得， ， . 将点的坐标代入，得 ， ， 点的坐标为 . 设直线的解析式为 ， 2 星题 提升四能 将点和的坐标代入 ，得 解得 直线的解析式为 . 2 星题 提升四能 （2）求四边形 的面积. 解： 当时，， ， ， ， . 2 星题 提升四能 18 12.[2024石家庄模拟] 如图，在平面直角坐标 系中，已知直线与 轴交于 点，矩形 的顶点坐标分别为 ，， . （1）若点在直线上，求 的值； 解：由题意易得点 ， 将点的坐标代入 ， 得，解得 . 2 星题 提升四能 19 （2）若直线将矩形分成面积相等的两部分，求直线 的函数解析式； 解： 矩形是中心对称图形，直线 将矩形分成面积相等的两部分， 直线 一定经过矩形的对称中心. 矩形顶点， ， 其对称中心的坐标为 . 将代入 ， 得，解得 ， 直线的函数解析式为 . 2 星题 提升四能 20 （3）若直线与矩形有交点（含边界），直接写出 的取值范围. 解：或 . 2 星题 提升四能 21 13.[2024沧州期末] 如图是某台阶的一部分，每 一级台阶的长度和高度之比都为 ，在平面 直角坐标系中，点的坐标是 .关于甲、 乙的说法，下列判断正确的是( ) D A.只有甲的说法正确 B.只有乙的说法正确 C.甲、乙的说法都不正确 D.甲、乙的说法都正确 甲：同时经过点，，，，的直线的解析式为 ； 乙：若点，，，，，平均分布在直线的两侧，则 的取 值范围为 . 3 星题 发展素养 22 $$第十九章 一次函数 专项突破练13 一次函数中的动点与整 点问题 1 类型1 一次函数中的整点问题 1.在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点叫做整点.直线 与坐标轴围成的三角形内部（不包含边界）有且只有 6个整点，则 的取值范围是( ) C A. B. C. D. 2 2.[2024沧州模拟] 如图，直线， ， 点是 上的整点（横、纵坐标都是整数），设线 段所在直线的解析式为 ， 则符合条件的整数 有( ) B A.4个 B.8个 C.7个 D.无数个 3 3.在平面直角坐标系中，直线 与坐标轴分别交于 ，两点.将直线在轴上方的部分沿 轴翻折，其余部分 保持不变，得到一个新的图形，这个图形与直线 交于点， . （1）求， 的值； 解： 直线与坐标轴分别交于， 两点， 解得 4 （2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点.记线段，， 围成的区 域（不含边界）为 . ①当时，区域 内有___个整点； 1 ②若区域内恰有3个整点，直接写出 的取值范围. [答案] . 5 类型2 一次函数中的动点问题 4.如图，在平面直角坐标系中，直线 分别 与轴、轴交于点，，，分别是， 的中 点，点是轴上的一个动点，当 的值最小时， 点 的坐标为( ) C A. B. C. D. 6 5.[2024衡水校级期末] 如图，在平面直角坐标系 中，直线 与轴、轴分别交于点、点，点在 轴的负半轴上， 若将沿直线折叠，点恰好落在轴正半轴上的点 处. 7 （1）求 的长； 解：令，得 ， ， ， 令，得，解得 ， ， . 在中， . 8 （2）求点和点 的坐标； 解：由折叠得 ， ， . 设，则易得 . 在中，，即 ， 解得， . 9 （3）轴上是否存在一点，使得 ？若存在，直接写 出点 的坐标；若不存在，请说明理由. 解：存在.点的坐标为或 . [解析] 点拨： ， . 点在轴上， ， ，即，解得 ， 点的坐标为或 . 10 6.[2024唐山丰南区模拟] 如图，直线 经过 ，两点，已知，点 是线 段上一动点（可与点， 重合），直线 （为常数）经过点，交 于点 . （1）求直线 的函数解析式； 解：设直线的函数解析式为 ， 直线经过， 两点， 解得 直线的函数解析式为 . 11 （2）当时，求点 的坐标； 解：当时，直线 ， 由解得 点的坐标为 . 12 （3）在点的移动过程中，直接写出 的取值范围. 解：或且 . 13 [解析] 点拨： ， 直线过点 ， 点是线段上一动点， 易知 ， 直线与相交， ， 把的坐标代入，得 ， 解得 ； 把的坐标代入，得 ， 解得 . 的取值范围是或且 . 14 7.[2024邯郸一模] 下面表格中的两组对应值满足一次函数 ， 现画出了一次函数的图象直线，如图.琪琪为观察， 对图 象的影响，将上面函数中的与 交换位置后得到另一个一次函数，设其 图象为直线 . 15 0 1 （1）求直线 的解析式； 解：对于，当时， ； 当时， ， 解得 直线的解析式为 . 16 （2）求直线的解析式，并在图中画出直线 ； 解：依题意可得直线的解析式为 ， 画出直线 如图. 17 （3）若是轴上的一个动点，过点作 轴的平行线，分别交直 线，于点，.当时，求出 的值； 解：把代入，得 ； 把代入，得 . ， ， 解得或 . 18 （4）若是轴上的一个动点，过点作 轴的平行线，分别与直 线，及 轴有三个不同的交点，且其中两点关于第三点对称，直接写 出 的值. 解：的值为或7或 . 19 [解析] 点拨：把代入，得，解得 ； 把代入，得，解得 . 分三种情况：①当第三点在轴上时，，解得 ； ②当第三点在直线上时，，解得 ； ③当第三点在直线上时，，解得 . 的值为或7或 . 20 $$第十九章 一次函数 19.2 一次函数 19.2.1 正比例函数 第1课时 正比例函数 1 知识点1 正比例函数的概念 1.[2024唐山期末] 下列函数中，是 的正比例函数的是( ) C A. B. C. D. 1 星题 夯实四基 2 2.[2024沧州校级调研] 若关于的函数 是正比例函数， 则， 应满足的条件是( ) D A. B. C.且 D.且 1 星题 夯实四基 3 3.正比例函数 的比例系数为____. 1 星题 夯实四基 4 4.下列函数中，哪些是正比例函数？请指出其中正比例函数的比例系数. （1）；（2）；（3） ； （4）；（5）；（6） . 解：（1），（3），（6）是正比例函数，比例系数分别是， ， . 1 星题 夯实四基 5 知识点2 求正比例函数的解析式 5.已知与成正比例，并且时，，那么与 之间的函数关系 式为( ) A A. B. C. D. 1 星题 夯实四基 6 6.已知与成正比例且当时， . （1）求与 之间的函数解析式； 解：设 ， 将，代入，得，， . （2）当时， 的值是多少？ 解：当时，，得 ， 当时， 的值为1. 1 星题 夯实四基 7 7.已知函数是正比例函数，则 的值为( ) A A. B.3 C. D.9 2 星题 提升四能 8 8. [2024湖北中考] 铁的密度为 ，铁块的 质量（单位：）与它的体积（单位： ）之间的函数关系式为 .当时，____ . 79 2 星题 提升四能 9 9.一辆汽车每小时行驶 . （1）把下表填写完整. 时间/ 1 2 3 4 5 6 路程/ 80 解： 时间/ 1 2 3 4 5 6 路程/ 80 160 240 320 400 480 3 星题 发展素养 10 （2）根据表中的数据，在如图中描出时间和路程所对应的点，再用一 条线把它们按顺序连接起来. 解：如图所示. 3 星题 发展素养 11 （3）设这辆汽车行驶的路程为，时间为，请直接写出与 之 间的函数解析式，并求出这辆汽车行驶 要花多少时间. 解：.当时，，解得 ，故这辆汽车行 驶要花的时间为 . 3 星题 发展素养 12 $$第十九章 一次函数 19.2 一次函数 19.2.2 一次函数 第2课时 一次函数的图象和性质 1 知识点1 一次函数图象的平移 1.[2024沧州校级调研] 若直线 向左平移2个单位长度，则得 到的直线的解析式是( ) A A. B. C. D. 1 星题 夯实四基 2 2.[2024秦皇岛期末] 将直线平移得到直线 ， 下列说法正确的是( ) A A.将向左平移3个单位长度得到 B.将向左平移6个单位长度得到 C.将向上平移2个单位长度得到 D.将向上平移4个单位长度得到 1 星题 夯实四基 3 3.［教材P93练习T变式］在同一平面直角坐标系内画出函数 ， ， 的图象，指出三个函数图象有什么关系. 解：过和作函数 的图象； 过和作函数 的图象； 过和作函数 的图象. 如图所示. 三个函数图象是三条直线，这三条直线互相 平行. 1 星题 夯实四基 4 知识点2 一次函数的图象 4.[2024兰州中考] 一次函数 的图象不经过( ) B A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 1 星题 夯实四基 5 5.如图，一次函数的图象与 轴相交于点 ，则点关于 轴的对称点是( ) A A. B. C. D. 1 星题 夯实四基 6 6.如图是一次函数 的图象. （1）点的坐标为______，点 的坐标为______； （2）若直线上有一点 ，求 的面积. 解：把代入，得 ， ， . 1 星题 夯实四基 7 知识点3 一次函数的性质 7.[2023沈阳中考] 一次函数（ ， ，为常数）的图象如图所示，则， 的取值范围 是( ) C A.， B.， C.， D.， 1 星题 夯实四基 8 8.[2024保定期末] 点，是一次函数 图 象上的两点，则与 的大小关系是( ) A A. B. C. D. 1 星题 夯实四基 9 9.[2024长春中考] 已知直线（，是常数）经过点 ，且 随的增大而减小，则 的值可以是_________________.（写出一个即可） 2（答案不唯一） 1 星题 夯实四基 10 10.[2024邢台期中] 已知一次函数 . （1）若随的增大而增大，求 的取值范围； 解：根据题意，得，解得 . （2）若图象经过第一、二、三象限，求 的取值范围； 解：根据题意，得解得 . 1 星题 夯实四基 11 （3）若，当时，求 的取值范围. 解：将代入，得 ， 当时，；当时， ； 因为，所以随 的增大而增大， 所以 . 1 星题 夯实四基 12 11.[2024邯郸校级调研] 把直线向上平移 个单位长度后， 与直线的交点在第二象限，则 的整数值可以是( ) B A.1 B.3 C.7 D.8 2 星题 提升四能 13 12.如图，在平面直角坐标系中， 轴， 轴，点在直线上，点 的坐 标是， ，， ， 将先向左平移2个单位长度，再向上平移 个单位长度，此时点恰好落在直线上，则 的 值是___. 6 2 星题 提升四能 14 13.已知一次函数 . （1）若图象经过原点，求 的值； 解： 一次函数 的图象经过原点， ， . （2）若图象平行于直线，求 的值； 解： 一次函数的图象平行于直线 ， ， . 2 星题 提升四能 15 （3）若图象交轴于正半轴，求 的取值范围； 解： 一次函数的图象交 轴于正半轴， 且，且 . （4）若图象经过第一、二、四象限，求 的取值范围； 解： 一次函数 的图象经过第一、二、四象 限，解得 . 2 星题 提升四能 16 （5）若随的增大而增大，求 的取值范围. 解：随 的增大而增大， ， . 2 星题 提升四能 17 14. 对于平面直角坐标系中的任意一点 ， 给出如下定义：如果，，那么点就是点 的 “关联点”. 例如，点的“关联点”是点 . （1）点 的“关联点”坐标是_ ______； 3 星题 发展素养 18 （2）将点 先向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后得到点 ，如果点的“关联点”与点重合，求点 的坐标； 3 星题 发展素养 19 解：设， 点 先向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长 度后得到点 ， ， 点的“关联点”是 ， 点的“关联点”与点 重合， ， ， ， ， . 3 星题 发展素养 20 （3）设点的“关联点”为点，连接，如果线段与 轴 有公共点，直接写出 的取值范围. 解：.点拨： 点 ， 点的“关联点”为 ， 线段与 轴有公共点， ， 两个点的横坐标异号， 或 解得 . 3 星题 发展素养 21 $$