精品解析： 重庆市巴蜀中学2024-2025学年 八年级上学期期末数学试卷

重庆市巴蜀中学教育集团初2026届初二（上）期末考试数学 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分，在每个小题的下面，都给出代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡题号右侧的正确答案所对应的方框涂黑） 1. 下列各式中，是分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式的定义．根据分式的定义逐项分析即可，一般地，如果、（不等于零）表示两个整式，且中含有字母，那么式子就叫做分式，其中称为分子，称为分母． 【详解】解：，，中，分母都不含字母，都不是分式； 中，分母含字母，是分式； 故选：C． 2. 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、B、C选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； D选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； 故选：D． 3. 如图，在中，点为上一点，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据等边对等角得出，然后利用三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：， ， ，， ， 故选A． 4. 如图，已知四边形，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. B. ， C. ， D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定定理．根据平行四边形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：由，，可以根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形判定四边形是平行四边形，故选项A不符合题意； ，，可以根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形判定四边形是平行四边形，故选项B不符合题意； 由，结合，可得，则，，可以根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形判定四边形是平行四边形，故选项C不符合题意； 由，则四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形，故选项D符合题意； 故选：D． 5. 若直角三角形的两直角边长分别为，，且满足，则该直角三角形的第三边长为（ ） A. 3 B. 4 C. D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了非负数的性质，勾股定理．先根据非负数的性质求出m与n的长，再根据勾股定理计算即可． 【详解】解：由题意得，，， 解得：，， ∵，是直角三角形的两直角边， ∴直角三角形的第三条边长为． 故选D． 6. 估计的结果应在（ ） A. 5和6之间 B. 6和7之间 C. 7和8之间 D. 8和9之间 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的估算．先估算的大小，再估算的大小即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：C． 7. 七件甲商品和八件乙商品共重48千克，甲商品比乙商品重，互换其中一件，恰好一样重，设每件甲商品重千克，每件乙商品重千克，根据题意可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用．设每件甲商品重千克，每件乙商品重千克，根据七件甲商品和八件乙商品共重48千克可得方程，根据互换其中一件，恰好一样重可得方程，据此列出方程组即可． 【详解】解：由题意得，， 故选：A． 8. 如图，在中，，，是的中点，过点作的垂线，垂足为点，点为直线上的任意一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查中垂线的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质．在的延长线上取点，使，连接交直线于点，此时的最小值为的长，利用勾股定理结合等腰直角三角形的判定和性质，求解即可． 【详解】解：在的延长线上取点，使，连接交直线于点，此时的最小值为的长， ∴直线垂直平分， ∴， ∴， 作于点， ∵，， ∴，，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故选：C． 9. 如图，在中，，，，点为上一点，连接，将沿翻折得到，过点作交于点，交于点，若，则的长为（ ） A. 4 B. C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．作于点，证明，得到，，设的长为，在中，，，，利用勾股定理列式计算即可求解． 【详解】解：作于点， ∵，， ∴四边形是长方形，， ∴， 由折叠的性质得，，， ∵，，， ∴， ∴，， 设的长为，则，，， ∴， 在中，，，， ∴，即， 解得， 故选：B． 10. 方程，其中，对的系数作变化：得到方程，其中，称为对方程进行一次“偏移变化”，再对方程中的系数作变化：得到方程，其中，称为对方程进行二次“偏移变化”……，在变化过程中，记为偏移距离（为正整数），，则以下说法中，正确的个数是（ ） ①当时，是对方程进行三次“偏移变化”后得到方程的一组解； ②存在一个值，使得对方程进行偏移变化，偏移距离为； ③满足使为整数的的最小值为 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值．①当时，先求得，，的值，得到，将代入求解即可判断；②当时，推出，解得，据此可判断；③先求得，，的值，得到规律，求得，再求得，，的值，得到规律求得，求得，据此计算即可判断． 【详解】解：①当时，， ， ， ∴， 将代入，有， 解得， 故是方程的一组解；故①正确； ②当时， ， 令， 解得，故②正确； ③， ， ， ， ， ∴， ∵， ， ， ， ∴， ∴， 当时，，解得(舍去)； 当时，，解得(舍去)； 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得； ∴的最小值为，故③正确； 综上，①②③都是正确的， 故选：D． 二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分，请将每小题的正确答案直接填在答题卡中对应的横线上） 11. 用科学记数法表示0.0000061为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值较小的数．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为．与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：用科学记数法表示0.0000061为． 故答案为：． 12. 若式子有意义，则实数的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【详解】解：二次根式中被开方数，所以． 故答案为：． 13. 如图，在中，，，对角线，交于点，点是的中点，，则的周长为_____． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质，证明四边形是菱形得，，根据直角三角形斜边中线的性质得，进而可求出的周长． 【详解】解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵点是的中点，， ∴， ∴的周长为：． 故答案为：8． 14. 已知，，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的加减，完全平方公式的变形求值，整体代入法，由，求出，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：． 15. 如图，在中，过上的点作，，、、、均在平行四边形的边上，且，，则四边形的面积为_____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，先证明四边形都是平行四边形，然后证明，根据，求出即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴． ∵，， ∴四边形都是平行四边形， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：6． 16. 若关于的不等式组有且只有两个奇数解，且关于的分式方程有整数解，则所有满足条件的整数的值之积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查不等式组整数解问题及分式方程整数解，根据不等式组有且只有两个奇数解求出一个的取值范围，再根据分式方程有整数解求出的值，最后求和即可得到答案 【详解】解：解不等式组得， ， ∵不等式组有且只有两个奇数解， ∴，即， 解分式方程得， ， ∵关于的分式方程有整数解， ∴是3的整数倍，且， ∵， ∴或2， ∴所有满足条件的整数的值之积为， 故答案为：． 17. 如图，在中，，平分，点为线段上一点，连接，过点作交于点，连接，若，，，则的长为_____． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，多边形内角和定理，将绕点C顺时针旋转得，从而，证明N，D，E三点共线，然后利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，将绕点C顺时针旋转得， 则． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴N，D，E三点共线， ∴， ∵， ∴． 故答案为：5． 18. 如果一个各数位上的数字互不相等的四位数满足，则称这样的四位数为“错位平方差数”，并规定，，例如：5214，因为，所以5214是一个“错位平方差数”，，．若是一个“错位平方差数”，则_____；若（，，，是整数，且，，，）是一个“错位平方差数”且能被4整除，则所有满足条件的中的最大值为_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由错位平方差数得，结合，，即可求解；转化由新定义得，，，， ，由得，进行分式化简得 ， 能被4整除， ①当时，即，（ⅰ）当时，求得，，当时，，可得，，，，进行判断，即可求解； （ⅱ）当时，同理可求； （ⅲ）当时，同理可求； ②当时，即，（ⅰ）当时，同理可求；（ⅱ）当时，同理可求； ③当时，即，同理可求；，，，或，，，；分别代入求值并比较大小，即可求解． 【详解】解：是一个错位平方差数， ， ， ， ， 当时， ， ； ， ，，，， 一个“错位平方差数” ， ， ， ， ， ， 能被4整除， 能被4整除， ，， ，， ， ，， ①当时，即， （ⅰ）当时， ， ， ，， 当时，， ，，，， 各数位上的数字互不相等， 此种情况不符合题意； （ⅱ）当时， ， ， 此种情况不符合题意； （ⅲ）当时， ， ， 此种情况不符合题意； ②当时，即， （ⅰ）当时， ， ， ，， 当时，， ，，，， ， ， 此种情况符合题意； 故，，，； （ⅱ）当时， ， ， 此种情况不符合题意； ③当时，即， 当时， ， ， ，， 当时，， ，，，， ， ， 此种情况符合题意； 故，，，； 综上所述：，，，或，，，； 当，，，时， ； 当，，，时， ； ， 的最大值为； 故答案为：，． 【点睛】本题考查了新定义，一元一次不等式组的应用，分式化简，理解新定义，能熟练进行复杂分式化简是解题的关键． 三、解答题（本大题8个小题，第21题8分，其余每小题10分，共78分，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上） 19. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，乘法公式． （1）先根据单项式与单项式的乘法、积的乘方法则计算，再算单项式与单项式的除法，再合并同类项即可； （2）先根据乘法公式、单项式与多项式的乘法法则计算，再合并同类项． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 20. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键． （1）先算乘方和负整数指数幂，再算除法，最后算加减即可； （2）先算乘除，再算加减即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 21. 先化简，再求值：，其中是不等式组的整数． 【答案】，0 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，求一元一次不等式组的整数解；分式的分子分母能因式分解的进行因式分解，同时将除法变成乘法，约分后得到最简结果；然后解不等式组求出不等式组的整式解，得到m的值，再代入计算即可． 【详解】解： ； 解不等式得：， 解不等式得：， ∴不等式组的解集为：， ∴不等式组的整数解为或或0或1， ∵，， ∴， 当时，原式． 22. 北京时间12月4日，我国春节申遗成功，并被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．我国共有44个项目列入联合国教科文组织非物质文化遗产名录、名册，总数居世界第一！某校拟开展非遗绒花、书法灯笼、竹编画、插丝珐琅四项传统文化庆祝活动，为了解该校八年级学生对这四项活动的选择意向，现随机抽取了部分学生进行问卷调查，要求学生必须从四项活动中选择一项，学生会开展了以下工作：①抽取名学生作为调查对象；②整理数据并绘制统计图；③结合统计图分析数据并得出结论；④收集名学生对四项活动的选择意向的相关数据．根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图． （1）请将学生会开展的工作按收集整理数据的步骤排序_____；（填序号） （2）请补全条形统计图：并求出扇形统计图中，书法灯笼部分所占百分比； （3）若该校八年级有2000名学生，估计八年级想参加竹编画的学生有多少人？ 【答案】（1）①④②③ （2） （3）100人 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图综合，用样本估计总体． （1）根据收集数据的步骤解答即可； （2）根据非遗绒花求出调查的人数，用调查的总人数减去已知各部分的人数求出插丝珐琅的人数即可补全条形统计图，用书法灯笼的人数除以调查的人数即可求出书法灯笼部分所占百分比； （3）用2000乘以参加竹编画的学生所占的比例即可． 【小问1详解】 解：由题意得，整理数据的步骤为：①④②③． 故答案为：①④②③； 【小问2详解】 解：人， 人， ， 【小问3详解】 解：人． 23. 如图，在中，连接对角线． （1）用尺规完成以下基本作图：作的垂直平分线，垂足为，交于点，交于点； （2）在（1）所作的图形中，求证：，请完成下面的证明过程． 证明：垂直平分 ，①__________． 四边形是平行四边形， ，②__________． 在与中 ③__________． ， ． 通过进一步探究发现：经过平行四边形对角线中点的直线与平行四边形一组对边相交将平行四边形分为两个四边形，这两个四边形的面积以及周长都④_________． 【答案】（1） 解：如图， （2）；；； 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图－作线段的垂直平分线，全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质． （1）根据线段的垂直平分线的作图方法作图即可； （2）由线段垂直平分线的定义得，，由平行四边形的性质得，，然后根据证明，进而可得结论成立． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 证明：垂直平分 ，． 四边形是平行四边形， ，． 在与中 ． ， ． 24. 某公司需定制一批铜镜，每面铜镜需要铜条4.5米，镜面玻璃0.5平方米．现有甲、乙两个厂家给出了不同的铜条和镜面玻璃报价．其中，甲厂家的铜条单价是乙厂家铜条单价的，用2250元购买甲厂家的铜条长度比用2000元购买乙厂家的铜条长度多10米． （1）求甲、乙两个厂家每米铜条单价分别为多少元？ （2）甲、乙两个厂家给出的镜面玻璃报价如表所示．该公司决定选择其中一个厂家定制：而这批铜镜所需要的总镜面玻璃面积超过了5平方米，且选择甲厂家总价更低，请问这批铜镜至少有多少面？ 镜面玻璃（元/平方米） 甲厂家 不超过5平方米的部分80元/平方米，超过5平方米的部分60元/平方米 乙厂家 70元/平方米，每购买一平方米玻璃送0.8米铜条 【答案】（1）甲厂家的铜条单价为元/平方米，则乙厂家的铜条单价为元/平方米； （2）这批铜镜至少有面． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一次二次函数的应用，不等式的应用． （1）设甲厂家的铜条单价为元/平方米，则乙厂家的铜条单价为元/平方米，根据2250元购买甲厂家的铜条长度比用2000元购买乙厂家的铜条长度多10米，列分式方程求解即可； （2）设这批铜镜有面，求得甲，乙厂家所需费用，再列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：∵甲厂家的铜条单价是乙厂家铜条单价的， ∴设甲厂家的铜条单价为元/平方米，则乙厂家的铜条单价为元/平方米， 由题意得，解得， 经检验，是原方程的解， ，， ∴甲厂家的铜条单价为元/平方米，则乙厂家的铜条单价为元/平方米； 【小问2详解】 解：设这批铜镜有面，则总镜面玻璃面积为平方米， 甲厂家所需费用，， 乙厂家所需费用，， ∵选择甲厂家总价更低， ∴， 解得， ∵是整数， ∴至少是， 故，这批铜镜至少有面． 25. 阅读与理解： 勾股定理是初等几何的一个基本定理，我国清代数学家梅文鼎给出了其中一种证明方法，如图1所示：以的三边分别向外作三个正方形；延长和交于点，连接并延长分别交和于点，，延长交于点，延长交于点．然后，通过证明，得到，，所以，进一步得到四边形为平行四边形．因为，所以与正方形同底等高，与长方形等底等高，所以正方形与长方形的面积相等．同理可得正方形与长方形的面积相等．证得正方形与正方形的面积和等于正方形的面积，从而证得勾股定理． （1）如图2，以三边为直径向外分别作三个半圆，其半圆的面积分别表示为、、则它们的数量关系为_____；如图3，以三边为直角边分别作等腰直角三角形，等腰直角三角形，等腰直角三角形．若图中阴影部分的面积分别为、、、，则它们的数量关系为_____（用含、、、的式子表示）． 思考与拓展： 从梅文鼎的证明方法中，不难发现是以平行四边形的面积作为“桥梁”，用等积变换得到三个正方形的面积关系．进一步思考：将直角三角形三边上的正方形改成平行四边形，这三个平行四边形的作法如下（如图4）： ①分别以直角边、为边向外作和； ②分别延长，交于点； ③作射线与相交于点，在射线上截取； ④过点作的平行线，并在直线上截取，连接、，即得． （2）如图4，在和中，若，，，，，求的面积． 【答案】（1）图2：；图3：；（2） 【解析】 【分析】（1）图2：分别用表示出、、，然后根据即可得出、、的关系； 图3：设，，，由，可得，由此构建关系式，通过计算即可得到答案． （2）先证明当四边形，四边形，四边形均为矩形，且时，；再证当四边形，四边形，四边形均为平行四边形，且时，；然后分别求出和即可求解． 【详解】解：（1）图2： ， ∵， ∴， ∴； 图3，分别交、于点、点 ∵均是等腰直角三角形 ∴， 设，， ∵ ∴ ∵，， ∴ ∴； （2）如图5，当四边形，四边形，四边形均为长方形，且时，求证： 证明：过作交直线，于，，过作交，于，． ∵， ∴， ∴． ∵与等底等高， ∴ ∴； 同理可证，， ． 如图4，当四边形，四边形，四边形均为平行四边形，且时， 证明：过分别作的垂线， ∵，， ∴ ∴， 同理可得， ∵ ∴ ∵，， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴． 同理：， ∴， ∴， ． 【点睛】此题考查了勾股定理的应用，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的性质，平行线的性质，解题关键是熟练掌握勾股定理的公式． 26. 在中，，，为平面内任意一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得线段，连接交于点． （1）如图1，点为中点，若，求的长； （2）如图2，若点在线段上，连接并取中点，连接交于点，，与交于点，证明：． （3）如图3，若，点为的中点，连接，，，将沿直线翻折，点落在的位置，当的值最小且为等腰三角形时，请直接写出此时的面积． 【答案】（1） （2） 证明：延长至点，使得，连接,， 由（1）得， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴为中点， ∴为中位线， ∴， ∴，同（1）可得：，而 ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）或 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质结合旋转的性质证明，再对运用勾股定理求解； （2）延长至点，使得，连接,，先证明，再证明，再证明，可得为中位线，则，那么，同（1）可得：，而，那么，而，则，则，即可证明； （3）将绕点顺时针旋转至，连接，由翻折得，同（2）可证明：，则，那么，则当点在上时，取得最小值，如图，过点作于，同（1）可得，，由面积法求出，则，当时，设，则，在中，由勾股定理建立方程求解，即可求解面积；当时在中，由勾股定理得，即可求解面积． 【小问1详解】 解：∵，点为中点， ∴，， 由旋转得：，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴在中，由勾股定理得， ∴的长为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：将绕点顺时针旋转至，连接， 同（1）可得， 由翻折得， 同（2）可证明：， ∴， ∴， ∴当点在上时，取得最小值，如图，过点作于， ∴同（1）可得，， ∵， ∴， ∴， 当时，设，则， ∵在中，， ∴， 解得：， ∴； 当时，如图， 在中，由勾股定理得， ， 综上所述：的面积为或． 【点睛】本题考查了图形的几何变化，涉及旋转和翻折的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的中位线定理，等腰三角形的判定与性质角直角三角形的性质，难度较大，正确构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市巴蜀中学教育集团初2026届初二（上）期末考试数学 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分，在每个小题的下面，都给出代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡题号右侧的正确答案所对应的方框涂黑） 1. 下列各式中，是分式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，点为上一点，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知四边形，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. B. ， C. ， D. 5. 若直角三角形的两直角边长分别为，，且满足，则该直角三角形的第三边长为（ ） A. 3 B. 4 C. D. 5 6. 估计的结果应在（ ） A. 5和6之间 B. 6和7之间 C. 7和8之间 D. 8和9之间 7. 七件甲商品和八件乙商品共重48千克，甲商品比乙商品重，互换其中一件，恰好一样重，设每件甲商品重千克，每件乙商品重千克，根据题意可列方程组为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，是的中点，过点作的垂线，垂足为点，点为直线上的任意一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，，点为上一点，连接，将沿翻折得到，过点作交于点，交于点，若，则的长为（ ） A. 4 B. C. 5 D. 10. 方程，其中，对的系数作变化：得到方程，其中，称为对方程进行一次“偏移变化”，再对方程中的系数作变化：得到方程，其中，称为对方程进行二次“偏移变化”……，在变化过程中，记为偏移距离（为正整数），，则以下说法中，正确的个数是（ ） ①当时，是对方程进行三次“偏移变化”后得到方程的一组解； ②存在一个值，使得对方程进行偏移变化，偏移距离为； ③满足使为整数的的最小值为 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分，请将每小题的正确答案直接填在答题卡中对应的横线上） 11. 用科学记数法表示0.0000061为_____． 12. 若式子有意义，则实数的取值范围是____________． 13. 如图，在中，，，对角线，交于点，点是的中点，，则的周长为_____． 14. 已知，，则的值为_____． 15. 如图，在中，过上的点作，，、、、均在平行四边形的边上，且，，则四边形的面积为_____． 16. 若关于的不等式组有且只有两个奇数解，且关于的分式方程有整数解，则所有满足条件的整数的值之积为_____． 17. 如图，在中，，平分，点为线段上一点，连接，过点作交于点，连接，若，，，则的长为_____． 18. 如果一个各数位上的数字互不相等的四位数满足，则称这样的四位数为“错位平方差数”，并规定，，例如：5214，因为，所以5214是一个“错位平方差数”，，．若是一个“错位平方差数”，则_____；若（，，，是整数，且，，，）是一个“错位平方差数”且能被4整除，则所有满足条件的中的最大值为_____． 三、解答题（本大题8个小题，第21题8分，其余每小题10分，共78分，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上） 19. 计算： （1） （2） 20. 计算： （1） （2） 21. 先化简，再求值：，其中是不等式组的整数． 22. 北京时间12月4日，我国春节申遗成功，并被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．我国共有44个项目列入联合国教科文组织非物质文化遗产名录、名册，总数居世界第一！某校拟开展非遗绒花、书法灯笼、竹编画、插丝珐琅四项传统文化庆祝活动，为了解该校八年级学生对这四项活动的选择意向，现随机抽取了部分学生进行问卷调查，要求学生必须从四项活动中选择一项，学生会开展了以下工作：①抽取名学生作为调查对象；②整理数据并绘制统计图；③结合统计图分析数据并得出结论；④收集名学生对四项活动的选择意向的相关数据．根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图． （1）请将学生会开展的工作按收集整理数据的步骤排序_____；（填序号） （2）请补全条形统计图：并求出扇形统计图中，书法灯笼部分所占百分比； （3）若该校八年级有2000名学生，估计八年级想参加竹编画的学生有多少人？ 23. 如图，在中，连接对角线． （1）用尺规完成以下基本作图：作的垂直平分线，垂足为，交于点，交于点； （2）在（1）所作的图形中，求证：，请完成下面的证明过程． 证明：垂直平分 ，①__________． 四边形是平行四边形， ，②__________． 在与中 ③__________． ， ． 通过进一步探究发现：经过平行四边形对角线中点的直线与平行四边形一组对边相交将平行四边形分为两个四边形，这两个四边形的面积以及周长都④_________． 24. 某公司需定制一批铜镜，每面铜镜需要铜条4.5米，镜面玻璃0.5平方米．现有甲、乙两个厂家给出了不同的铜条和镜面玻璃报价．其中，甲厂家的铜条单价是乙厂家铜条单价的，用2250元购买甲厂家的铜条长度比用2000元购买乙厂家的铜条长度多10米． （1）求甲、乙两个厂家每米铜条单价分别为多少元？ （2）甲、乙两个厂家给出的镜面玻璃报价如表所示．该公司决定选择其中一个厂家定制：而这批铜镜所需要的总镜面玻璃面积超过了5平方米，且选择甲厂家总价更低，请问这批铜镜至少有多少面？ 镜面玻璃（元/平方米） 甲厂家 不超过5平方米的部分80元/平方米，超过5平方米的部分60元/平方米 乙厂家 70元/平方米，每购买一平方米玻璃送0.8米铜条 25. 阅读与理解： 勾股定理是初等几何的一个基本定理，我国清代数学家梅文鼎给出了其中一种证明方法，如图1所示：以的三边分别向外作三个正方形；延长和交于点，连接并延长分别交和于点，，延长交于点，延长交于点．然后，通过证明，得到，，所以，进一步得到四边形为平行四边形．因为，所以与正方形同底等高，与长方形等底等高，所以正方形与长方形的面积相等．同理可得正方形与长方形的面积相等．证得正方形与正方形的面积和等于正方形的面积，从而证得勾股定理． （1）如图2，以三边为直径向外分别作三个半圆，其半圆的面积分别表示为、、则它们的数量关系为_____；如图3，以三边为直角边分别作等腰直角三角形，等腰直角三角形，等腰直角三角形．若图中阴影部分的面积分别为、、、，则它们的数量关系为_____（用含、、、的式子表示）． 思考与拓展： 从梅文鼎的证明方法中，不难发现是以平行四边形的面积作为“桥梁”，用等积变换得到三个正方形的面积关系．进一步思考：将直角三角形三边上的正方形改成平行四边形，这三个平行四边形的作法如下（如图4）： ①分别以直角边、为边向外作和； ②分别延长，交于点； ③作射线与相交于点，在射线上截取； ④过点作的平行线，并在直线上截取，连接、，即得． （2）如图4，在和中，若，，，，，求的面积． 26. 在中，，，为平面内任意一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得线段，连接交于点． （1）如图1，点为中点，若，求的长； （2）如图2，若点在线段上，连接并取中点，连接交于点，，与交于点，证明：． （3）如图3，若，点为的中点，连接，，，将沿直线翻折，点落在的位置，当的值最小且为等腰三角形时，请直接写出此时的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $