离心率的范围，圆锥曲线中的设点、设线技巧课堂训练-2025届高三数学二轮专题复习

作业案 离心率的范围，圆锥曲线中的设点、设线技巧 时间：40分钟 总分：45分 姓名： 班级： 学号： 1、 选择题（5×2＝10分） 1.（2024·商丘模拟）若动直线mx＋ny＝2m＋n（m，n∈R）始终与椭圆C：＋＝1（a＞0且a≠）有公共点，则C的离心率的取值范围是（　　） A.（0，） B.（0，） C.［，1） D.［，1） 2.（2024·南昌三模）已知双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2.过F2作直线l与双曲线C的右支交于A，B两点，若△F1AB的周长为10b，则双曲线C的离心率的取值范围是（　　） A.［，］ B.［，］ C.［，2］ D.[2，＋∞） 2、 填空题（5×1＝5分） 3.（24-25重庆期中）已知椭圆的左焦点为，过原点的直线与椭圆交于，两点，，，则椭圆的离心率为 . 三、解答题(共30分，每题15分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 4.（2023新高考Ⅱ卷）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为． (1)求C的方程； (2)记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P．证明:点在定直线上. 5.（2024·济南模拟）已知双曲线C：－y2＝1的左、右顶点分别为A1，A2，过点P（4，0）的直线l与双曲线C的右支交于M，N两点. （1）若直线l的斜率k存在，求k的取值范围； （2）记直线A1M，A2N的斜率分别为k1，k2，求的值； （3）设G为直线A1M与直线A2N的交点，△GMN，△GA1A2的面积分别为S1，S2，求的最小值. 高三数学 第 1 页（共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 作业案 离心率的范围，圆锥曲线中的设点、设线技巧 时间：40分钟 总分：45分 姓名： 班级： 学号： 1、 选择题（5×2＝10分） 1.（2024·商丘模拟）若动直线mx＋ny＝2m＋n（m，n∈R）始终与椭圆C：＋＝1（a＞0且a≠）有公共点，则C的离心率的取值范围是（　　） A.（0，） B.（0，） C.［，1） D.［，1） 【解析】C　由直线m（x－2）＋n（y－1）＝0得，直线过定点（2，1），由题意得，点（2，1）在椭圆上或椭圆内部，所以＋≤1，则a2≥6，所以椭圆焦点在x轴上，所以e＝＝∈［，1），故选C. 2.（2024·南昌三模）已知双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2.过F2作直线l与双曲线C的右支交于A，B两点，若△F1AB的周长为10b，则双曲线C的离心率的取值范围是（　　） A.［，］ B.［，］ C.［，2］ D.[2，＋∞） 【解析】解析：A　由双曲线的定义可得｜AF1｜－｜AF2｜＝2a，｜BF1｜－｜BF2｜＝2a，两式相加可得｜AF1｜＋｜BF1｜＝4a＋｜AB｜，则△F1AB的周长为｜AF1｜＋｜BF1｜＋｜AB｜＝4a＋2｜AB｜＝10b，即｜AB｜＝5b－2a，再由｜AB｜≥，可得5ab－2a2≥2b2，解得≤≤2，故e＝＝∈［，］.故选A. 2、 填空题（5分） 3.（24-25重庆期中）已知椭圆的左焦点为，过原点的直线与椭圆交于，两点，，，则椭圆的离心率为 . 【解析】设是椭圆的右焦点，连接，，由对称性可知：，，则四边形为平行四边形，则，即，且，因为，则，，在中，由余弦定理可得， 即，解得，所以椭圆的离心率为. 三、解答题(共30分，每题15分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 4.（2023新高考Ⅱ卷）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为． (1)求C的方程； (2)记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P．证明:点在定直线上. 【解析】（1）设双曲线方程为，由焦点坐标可知， 则由可得，，双曲线方程为. （2）由(1)可得，设，显然直线的斜率不为0，所以设直线的方程为，且，与联立可得，且，则，   直线的方程为，直线的方程为， 联立直线与直线的方程可得： ，由可得，即， 据此可得点在定直线上运动. 5.（2024·济南模拟）已知双曲线C：－y2＝1的左、右顶点分别为A1，A2，过点P（4，0）的直线l与双曲线C的右支交于M，N两点. （1）若直线l的斜率k存在，求k的取值范围； （2）记直线A1M，A2N的斜率分别为k1，k2，求的值； （3）设G为直线A1M与直线A2N的交点，△GMN，△GA1A2的面积分别为S1，S2，求的最小值. 【解析】（1）设M（x1，y1），N（x2，y2），直线l的方程为x＝my＋4（m≠0）， 联立x＝my＋4与－y2＝1，消去x可得（m2－4）y2＋8my＋12＝0. 由可得－2＜m＜0或0＜m＜2.由k＝可得k的取值范围为（ －∞，－）∪（ ，＋∞）. （2）由题意得A1（－2，0），A2（2，0）. 由根与系数的关系可知y1＋y2＝－，y1y2＝. 于是2my1y2＝－3（y1＋y2）. 因此＝＝＝＝＝＝＝－. （3）由（2）可知k2＝－3k1， 于是直线A1M与直线A2N的方程分别为y＝k1（x＋2），y＝－3k1（x－2）， 由可得交点G的横坐标为xG＝1， 如图，于是＝＝·＝·＝＝＝＝－1＋≥－1＋＝3， 故的最小值为3，当且仅当m＝0时等号成立. 高三数学 第 1 页（共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $$