6.1平面向量的概念（五个重难点突破）-2024-2025学年高一下学期数学重难点突破及易错点分析（人教A版2019必修第二册）

6.1 平面向量的概念 一、平面向量概念的理解 四、相等向量与共线向量 二、向量的模与几何表示 五、用向量关系求证几何图形性质 三、零向量与单位向量 知识点1向量的概念及表示 1.定义:既有大小又有方向的量叫做向量. 2.表示: （1）有向线段:具有方向的线段叫做有向线段.它包含三个要素:起点、方向、长度. （2）向量的表示： ①几何表示:用有向线段表示,记作向量.有向线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向.向量的大小称为向量的长度(或称模),记作. ②字母表示:书写时用表示,还可用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示,如以为起点,以为终点的向量记作. 3.两个特殊向量: （1）零向量与非零向量: 长度为0的向量叫做零向量.印刷时用加粗的阿拉伯数字零表示,即0;书写时,写为，长度不为0的向量称为非零向量. （2）单位向量:长度等于1个单位长度的向量,叫做单位向量. 重难点一、平面向量概念的理解 【例1】下列量中是向量的为（   ） A．体积 B．距离 C．拉力 D．质量 【例2】针对以下命题： ①数量可以比较大小，向量也可以比较大小；②方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小；③向量的大小与方向有关；④向量的模可以比较大小 说法正确的是 （填序号）. 【变式1-1】下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度.其中是向量的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式1-2】关于平面向量，下列说法正确的是（    ） A．向量可以比较大小 B．向量的模可以比较大小 C．速度是向量，位移是数量 D．零向量是没有方向的 【变式1-3】（多选）下列说法中正确的有（    ） A．向量的长度与向量的长度相等 B．有向线段就是向量，向量就是有向线段 C．两向量的大小与其方向有关 D．向量的模可以比较大小 重难点二、向量的模与几何表示 【例3】在如图的方格纸中，小方格的边长为1，画出下列向量． (1)，点A在点O的正西方向； (2)，点B在点O的北偏西方向； (3)根据（1）（2），作出向量并求出的值． 【例4】已知点在所在平面内，满足，则点是的（    ） A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心 【变式2-1】已知边长为3的等边三角形，求边上的中线向量的模. 【变式2-2】如果一架飞机向西飞行，再向南飞行，记飞机飞行的路程为，位移为，则（    ）． A． B． C． D．与不能比较大小 【变式2-3】在平面直角坐标系中，已知，与x轴的正方向所成的角为30°，与y轴的正方向所成的角为120°，试作出. 重难点三、零向量与单位向量 【例5】下列命题正确的个数是（    ） （1）向量就是有向线段；（2）零向量是没有方向的向量； （3）零向量的方向是任意的；（4）零向量的长度为0． A．1 B．2 C．3 D．4 【例6】下列命题中正确的个数是 ①向量就是有向线段           ②零向量是没有方向的向量 ③零向量的方向是任意的         ④任何向量的模都是正实数 A．0 B．1 C．2 D．3 【变式3-1】把所有单位向量的起点平移到一点,则其终点构成的图形是 . 【变式3-2】若为单位向量，，则可用表示 . 【变式3-3】下列说法中，正确的是（    ） ①长度为0的向量都是零向量；②零向量的方向都是相同的； ③单位向量都是同方向；④任意向量与零向量都共线． A．①② B．②③ C．②④ D．①④ 知识点2向量间的关系 1.平行向量（共线向量）:方向相同或相反的非零向量叫做平行向量,向量平行,记作.规定:零向量与任意向量平行,即对于任意向量,都有. 2.相等向量:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量;向量与相等,记作. 重难点四、相等向量与共线向量 【例7】若，，则．( ) 【例8】如图，在正中，，，均为所在边的中点，则以下向量和相等的是（　　） A． B． C． D． 【变式4-1】如图，四边形ABCD是平行四边形，四边形ABDE是矩形. (1)找出与相等的向量； (2)找出与共线的向量. 【变式4-2】（多选）关于非零向量，下列命题中正确的是（    ） A．若，则. B．若，则. C．若，则. D．若，则. 【变式4-3】（多选）已知，为两个单位向量，则下列四个命题中错误的是（    ） A．与相等 B．如果与平行，那么与相等 C．与共线 D．如果与平行，那么或 重难点五、用向量关系求证几何图形性质 【例9】如图所示，在平行四边形中，，分别是，的中点. (1)写出与向量共线的向量； (2)求证：. 【例10】已知点，，，分别是平面四边形的边，，，的中点，求证：． 【变式5-1】如图，四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，且，．求证：四边形ABCD是平行四边形．    【变式5-2】如图所示，点D在的边上，且与点B，C不重合，点E，F分别在，上，.求证：. 【变式5-3】在平行四边形中，，分别为边、的中点，如图． (1)写出与向量共线的向量； (2)求证：． 一、单选题 1．下列各量中是向量的为（    ） A．海拔 B．压强 C．重力 D．温度 2．下列命题中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．设，为非零向量，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．下列结论中，正确的是（    ） A．零向量的大小为0，没有方向 B． C．起点相同的单位向量，终点必相同 D．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等 5．如图，等腰梯形中，对角线与交于点，点、分别在两腰、上，过点，且，则下列等式中成立的是（　　）    A． B． C． D． 6．下列命题： ①若，则； ②的充要条件是且 ③若，则； ④若是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件. 其中，真命题的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、多选题 7．（多选）下列命题中错误的有（    ） A．平行向量就是共线向量 B．相反向量就是方向相反的向量 C．与同向，且，则 D．两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件 8．如图，在菱形中，，则以下说法正确的是（    ）    A．与相等的向量只有1个（不含） B．与的模相等的向量有9个（不含） C．的模恰为的模的倍 D．与不相等 三、填空题 9．已知、是任意两个向量，下列条件：①；②；③、的方向相反；④或；⑤与都是单位向量，其中与平行的充分不必要条件是 . 10．已知在四边形中，且，则该四边形内切圆的面积是 . 11．下列说法正确的是 （写序号）． ①若与共线，则点A、B、C、D共线； ②四边形为平行四边形，则； ③若，则； ④四边形中，，则四边形为正方形． 四、解答题 12．设O是正六边形的中心，写出满足条件的向量.    (1)与相等的向量； (2)与相等的向量； (3)与的模相等且平行的向量（除外）. 13．在如图所示的网格图中，每个小方格的边长为1个单位长度，请你用直尺和圆规画出下列向量．    (1)； (2)，使； (3)，使； (4)，使． 14．在平行四边形ABCD中，E、F分别是CD、AB的中点，如图所示． (1)写出与向量平行的向量； (2)求证：． 4 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.1 平面向量的概念 一、平面向量概念的理解 四、相等向量与共线向量 二、向量的模与几何表示 五、用向量关系求证几何图形性质 三、零向量与单位向量 知识点1向量的概念及表示 1.定义:既有大小又有方向的量叫做向量. 2.表示: （1）有向线段:具有方向的线段叫做有向线段.它包含三个要素:起点、方向、长度. （2）向量的表示： ①几何表示:用有向线段表示,记作向量.有向线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向.向量的大小称为向量的长度(或称模),记作. ②字母表示:书写时用表示,还可用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示,如以为起点,以为终点的向量记作. 3.两个特殊向量: （1）零向量与非零向量: 长度为0的向量叫做零向量.印刷时用加粗的阿拉伯数字零表示,即0;书写时,写为，长度不为0的向量称为非零向量. （2）单位向量:长度等于1个单位长度的向量,叫做单位向量. 重难点一、平面向量概念的理解 【例1】下列量中是向量的为（   ） A．体积 B．距离 C．拉力 D．质量 【答案】C 【分析】由向量的定义即可判断 【详解】A，B，D只有大小，C既有大小又有方向 故选:C 【例2】针对以下命题： ①数量可以比较大小，向量也可以比较大小；②方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小；③向量的大小与方向有关；④向量的模可以比较大小 说法正确的是 （填序号）. 【答案】④ 【详解】解：向量是既有大小，又有方向的量，它不能比较大小，但向量的模是可以比较大小的. 则只有④正确， 故答案为：④ 【变式1-1】下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度.其中是向量的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【详解】是向量的有②速度；③位移；④力；⑤加速度；是数量的有①质量；⑥路程；⑦密度. 故选：C. 【变式1-2】关于平面向量，下列说法正确的是（    ） A．向量可以比较大小 B．向量的模可以比较大小 C．速度是向量，位移是数量 D．零向量是没有方向的 【答案】B 【详解】向量不可以比较大小，但向量的模是数量，可以比较大小，A错误，B正确； 速度和位移都有方向和大小，是向量，C错误； 零向量方向任意，D错误. 故选：B 【变式1-3】（多选）下列说法中正确的有（    ） A．向量的长度与向量的长度相等 B．有向线段就是向量，向量就是有向线段 C．两向量的大小与其方向有关 D．向量的模可以比较大小 【答案】AD 【详解】向量的长度与向量的长度都等于线段AB的长度，故A选项正确；有向线段是向量的几何表示，两个并不相同，故B选项错误；向量不能比较大小，故C选项错误；向量的模就是有向线段的长度，可以比较大小，故D选项正确. 故选：AD 重难点二、向量的模与几何表示 【例3】在如图的方格纸中，小方格的边长为1，画出下列向量． (1)，点A在点O的正西方向； (2)，点B在点O的北偏西方向； (3)根据（1）（2），作出向量并求出的值． 【答案】(1)图象见解析 (2)图象见解析 (3)图象见解析， 【详解】（1）因为，点A在点O的正西方向，故向量如图所示． （2）因为，点B在点O的北偏西方向，故向量如图所示． （3）向量如图所示，． 【例4】已知点在所在平面内，满足，则点是的（    ） A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心 【答案】A 【详解】因为，即点到的距离相等， 所以点是的外心. 故选：A 【变式2-1】已知边长为3的等边三角形，求边上的中线向量的模. 【答案】/ 【详解】根据正三角形的性质，求得边上的中线长，即可求解. 【解答】如图所示，因为是正三角形，所以边上的中线向量的模就是三角形的高， 即：，所以边上的中线向量的模为. 【变式2-2】如果一架飞机向西飞行，再向南飞行，记飞机飞行的路程为，位移为，则（    ）． A． B． C． D．与不能比较大小 【答案】A 【详解】由题意，作图如下： 则该飞机由先飞到，再飞到，则，，， 则飞机飞行的路程为，， 所以. 故选：A. 【变式2-3】在平面直角坐标系中，已知，与x轴的正方向所成的角为30°，与y轴的正方向所成的角为120°，试作出. 【答案】答案见解析 【详解】如图，根据方位角及长度来确定. 重难点三、零向量与单位向量 【例5】下列命题正确的个数是（    ） （1）向量就是有向线段；（2）零向量是没有方向的向量； （3）零向量的方向是任意的；（4）零向量的长度为0． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】（1）向量可以用有向线段表示，但不能把两者等同，故错误； （2）根据对零向量的规定零向量是有方向的，是任意的，故错误； （3）根据对零向量的规定，零向量的方向是任意的，故正确； （4）根据对零向量的规定，零向量的大小为0，所以零向量的长度为0，故正确． 故选：B 【例6】下列命题中正确的个数是 ①向量就是有向线段           ②零向量是没有方向的向量 ③零向量的方向是任意的         ④任何向量的模都是正实数 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】根据平面向量的基本概念，对每一个命题进行分析、判断即可． 【详解】有向线段只是向量的一种表示形式，但不能把两者等同起来，故①错； 零向量有方向，其方向是任意的，故②错，③正确； 零向量的模等于0，故④错. 故选：B. 【点睛】本题考查了平面向量的基本概念的应用问题，属于基础题． 【变式3-1】把所有单位向量的起点平移到一点,则其终点构成的图形是 . 【答案】以O为圆心的单位圆 【详解】设终点为，则，则终点构成的图形是以为圆心的单位圆. 故答案为：以为圆心的单位圆. 【点睛】本题考查了单位向量，意在考查学生的推断能力. 【变式3-2】若为单位向量，，则可用表示 . 【答案】 【详解】∵为单位向量,∴,又∵,∴, 故答案为: . 【变式3-3】下列说法中，正确的是（    ） ①长度为0的向量都是零向量；②零向量的方向都是相同的； ③单位向量都是同方向；④任意向量与零向量都共线． A．①② B．②③ C．②④ D．①④ 【答案】D 【详解】①长度为0的向量都是零向量，正确； ②零向量的方向任意，故错误； ③单位向量只是模长都为1的向量，方向不一定相同，故错误； ④任意向量与零向量都共线，正确； 故选：D 知识点2向量间的关系 1.平行向量（共线向量）:方向相同或相反的非零向量叫做平行向量,向量平行,记作.规定:零向量与任意向量平行,即对于任意向量,都有. 2.相等向量:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量;向量与相等,记作. 重难点四、相等向量与共线向量 【例7】若，，则．( ) 【答案】错误 【详解】因为,满足，，但是不一定平行． 故答案为：错误. 【例8】如图，在正中，，，均为所在边的中点，则以下向量和相等的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵，，与方向不同， ∴，，与均不相等； ∵与方向相同，长度相等，∴＝. 故选：D. 【变式4-1】如图，四边形ABCD是平行四边形，四边形ABDE是矩形. (1)找出与相等的向量； (2)找出与共线的向量. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由四边形ABCD是平行四边形，四边形ABDE是矩形知， 与的长度相等且方向相同，所以与相等的向量为. （2）由题干图可知，与方向相同，与方向相反， 所以与共线的向量有. 【变式4-2】（多选）关于非零向量，下列命题中正确的是（    ） A．若，则. B．若，则. C．若，则. D．若，则. 【答案】BD 【详解】对于A，不能得到的方向，故A错误， 对于B，若，则，B正确， 对于C，向量不能比较大小，故C错误， 对于D，若，则，D正确， 故选：BD 【变式4-3】（多选）已知，为两个单位向量，则下列四个命题中错误的是（    ） A．与相等 B．如果与平行，那么与相等 C．与共线 D．如果与平行，那么或 【答案】ABC 【详解】A选项，与为两个单位向量，它们模长相等，但方向不一定相同，A选项错误； B选项，如果与平行，即与共线，根据共线向量性质，此时它们可能同向共线或者反向共线， 当它们反向共线时，与不相等，B选项错误； C选项，两个单位向量的夹角为或，它们才共线，但这是不一定的，C选项错误； D选项，如果与平行，即与共线，根据共线向量性质，此时它们可能同向共线或者反向共线， 即或，D选项正确. 故选：ABC. 重难点五、用向量关系求证几何图形性质 【例9】如图所示，在平行四边形中，，分别是，的中点. (1)写出与向量共线的向量； (2)求证：. 【答案】(1)，，； (2)证明见解析. 【详解】（1）解：因为在平行四边形中，，分别是，的中点，，， 所以四边形为平行四边形，所以. 所以与向量共线的向量为：，，. （2）证明：在平行四边形中，，. 因为，分别是，的中点， 所以且， 所以四边形是平行四边形， 所以，， 故. 【例10】已知点，，，分别是平面四边形的边，，，的中点，求证：． 【答案】证明见解析 【详解】证明：如图，连接AC，    因为，分别是，的中点，所以为的中位线， 所以，且， 同理，因为，分别是，的中点，所以，且， 所以，且， 因为向量与方向相同，所以. 【变式5-1】如图，四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，且，．求证：四边形ABCD是平行四边形．    【答案】答案见解析 【详解】因为四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，且，． 所以四边形ABCD的对角线AC、BD互相平分， 所以四边形ABCD是平行四边形． 即证. 【变式5-2】如图所示，点D在的边上，且与点B，C不重合，点E，F分别在，上，.求证：. 【答案】证明见解析 【解析】根据相等向量的定义，可以得到一个平行四边形，根据平行四边形的性质得到线线平行，再根据已知的向量相等，可得到一组平行线，这样可以得到两组角对应相等，利用相似三角形的判定理可以证明. 【详解】证明：∵，∴且， ∴四边形是平行四边形，∴，∴. 由，得.∴ 【点睛】本题考查了相等向量的定义，考查了平行四边形的判定定理和性质定理，考查了平行线的性质定理，考查了三角形相似的判定定理，考查了推理论证能力. 【变式5-3】在平行四边形中，，分别为边、的中点，如图． (1)写出与向量共线的向量； (2)求证：． 【答案】(1), (2)证明见解析 【详解】（1）据题意，与向量共线的向量为：, ； （2）证明：是平行四边形，且，分别为边，的中点， ，且， 四边形是平行四边形， ，且， ． 一、单选题 1．下列各量中是向量的为（    ） A．海拔 B．压强 C．重力 D．温度 【答案】C 【详解】向量是既有大小，又有方向的量， 因为海拔，压强，温度只有大小，没有方向，重力既有大小，又有方向， 所以重力是向量， 故选：． 2．下列命题中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【详解】对于A：若，则只是大小相同，并不能说方向相同，A错误； 对于B：向量不能比较大小，B错误； 对于C：若，则方向相同，C正确； 对于D：若，如果为零向量，则不能推出平行，D错误. 故选：C. 3．设，为非零向量，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】若，则，模长相等，但它们的方向可以不同，故不一定成立， 故得不到， 若，则， 故“”是“”的必要不充分条件， 故选：B. 4．下列结论中，正确的是（    ） A．零向量的大小为0，没有方向 B． C．起点相同的单位向量，终点必相同 D．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等 【答案】B 【详解】对A，既有大小又有方向的量叫向量，则零向量既有大小又有方向，故A错误； 对B，由于与方向相反，长度相等，故B正确； 对C，起点相同的单位向量，终点不一定相同，故C错误； 对D，若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等或相反，故D错误． 故选：B． 5．如图，等腰梯形中，对角线与交于点，点、分别在两腰、上，过点，且，则下列等式中成立的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在等腰梯形中，、不平行，、不平行，AB均错； 因为，则，则，则， 即，即， ，则，，即为的中点， 所以，，C错，D对. 故选：D. 6．下列命题： ①若，则； ②的充要条件是且 ③若，则； ④若是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件. 其中，真命题的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】解：对于①，若，则模相等，方向不一定相同，故错误； 对于②，当时也满足且，故错误； 对于③，当时，满足，但不一定成立； 对于④，若是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件，正确. 故真命题的个数是1个. 故选：B 二、多选题 7．（多选）下列命题中错误的有（    ） A．平行向量就是共线向量 B．相反向量就是方向相反的向量 C．与同向，且，则 D．两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件 【答案】BC 【详解】对于A，由平行向量和共线向量的定义可知，A正确； 对于B，因为相反向量是方向相反，长度相等的两个向量，所以B错误； 对于C，因为向量是既有大小又有方向的量，所以任何两个向量都不能比较大小，所以C错误； 对于D，因为两个向量平行不能推出两个向量相等，而两个向量相等可以推出这两个向量平行， 因此两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件，所以D正确． 故选：BC. 8．如图，在菱形中，，则以下说法正确的是（    ）    A．与相等的向量只有1个（不含） B．与的模相等的向量有9个（不含） C．的模恰为的模的倍 D．与不相等 【答案】ABC 【详解】由于，因此与相等的向量只有，而与的模相等的向量有，，，，，，，，，故A，B正确； 而在中，，，故，故C正确； 由于，因此与是相等的，故D错误． 故选：ABC 三、填空题 9．已知、是任意两个向量，下列条件：①；②；③、的方向相反；④或；⑤与都是单位向量，其中与平行的充分不必要条件是 . 【答案】①③④ 【详解】与平行则与方向相同或相反， 对于①：若，与方向相同，则；若，则与模长不一定相等，则与不一定相等，即①对； 对于②：若，与长度相等，与方向无关，则与不一定平行；若与平行，则与方向相同或相反，与模长无关，即②错； 对于③：若、的方向相反，则；若，则与方向相同或相反，即③对； 对于④：若或，则；若，则与方向相同或相反，即④对； 对于⑤：若与都是单位向量，则，方向不一定相同或相反；若，则模长不一定为1，即⑤错. 故答案为：①③④ 10．已知在四边形中，且，则该四边形内切圆的面积是 . 【答案】/ 【详解】由可知四边形为平行四边形，由 可知四边形为菱形，为等边三角形，故， 菱形的内切圆圆心O在对角线的中点处，令其半径为r， 则，所以. 故答案为： 11．下列说法正确的是 （写序号）． ①若与共线，则点A、B、C、D共线； ②四边形为平行四边形，则； ③若，则； ④四边形中，，则四边形为正方形． 【答案】③ 【详解】①若与共线，则点，，，共线，不正确，比如平行四边形的对边； ②若四边形为平行四边形，则，不正确； ③若，，则，正确； ④在四边形中，，且，则四边形为正方形或菱形，不正确； 故答案为：③. 四、解答题 12．设O是正六边形的中心，写出满足条件的向量.    (1)与相等的向量； (2)与相等的向量； (3)与的模相等且平行的向量（除外）. 【答案】(1) (2) (3)、、、、、. 【详解】（1）相等向量为大小相等方向相同的向量，所以； （2）相等向量为大小相等方向相同的向量，所以 （3）相等向量为大小相等方向相同的向量，所以、、、、、. 13．在如图所示的网格图中，每个小方格的边长为1个单位长度，请你用直尺和圆规画出下列向量．    (1)； (2)，使； (3)，使； (4)，使． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 (4)答案见解析 【详解】（1）    （2）答案不唯一，向量的终点在以为圆心2为半径的圆弧上即可.    （3）答案不唯一，向量只要和向量同向等长即可.    （4）答案不唯一，向量只要和向量平行即可.    14．在平行四边形ABCD中，E、F分别是CD、AB的中点，如图所示． (1)写出与向量平行的向量； (2)求证：． 【答案】(1)，，； (2)证明见解析. 【详解】（1）与向量平行的向量有，，． （2）在平行四边形ABCD中，，， 因为E，F分别是CD，AB的中点， 所以且， 所以四边形BFDE是平行四边形， 故． 4 2 学科网（北京）股份有限公司 $$