6.2.1～6.2.3平面向量的加减、数乘运算（八个重难点突破）-2024-2025学年高一下学期数学重难点突破及易错点分析（人教A版2019必修第二册）

6.2.1~6.2.3平面向量的加减、数乘运算 一、向量的加法、减法法则 五、向量线性运算的几何应用 二、向量的加减法运算 六、向量共线问题 三、向量加法、减法的几何应用 七、三点共线问题 四、向量的数乘运算 八、向量共线定理的推论 知识点1向量的加法 三角形法则：已知非零向量,在平面内任取一点,作,再作向量,则向量叫做与的和,记作 平行四边形法则：已知不共线的两个向量,在平面内任取一点,以同一点为起点的两个已知向量,以为邻边作,则就是与的和 , 规定：零向量与任意向量的和,都有 运算律：①交换律：；②结合律： 知识点2相反向量 1.定义:与向量长度相等、方向相反的向量,叫做的相反向量,记作,与互为相反向量, 3.性质：①；②若互为相反向量,则； ③的相反向量是 知识点3向量的减法 1.向量的减法的定义:向量加上的相反向量,叫做与的差,即,求两个向量差的运算叫做向量的减法. 2.运算法则:在平面内取一点O,作,则. 3.几何意义表示从向量的终点指向的终点的向量. 4.向量减法的两个重要结论: ①如果把两个向量的始点放在一起,则这两个向量的差是以减向量的终点为始点,被减向量的终点为终点的向量； ②一个向量等于它的终点相对于点的位置向量减去它的始点相对于点的位置向量或简记“终点向量减去始点向量”. 重难点一、向量的加法、减法法则 【例1】如图，在平行四边形ABCD中，为对角线的交点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】. 故选：A 【例2】如图，在平行四边形中，记，，你能找到，吗？ 【答案】能．，． 【详解】能， 【变式1-1】已知正方形的边长为2，则为 ． 【答案】 【详解】. 故答案为： 【变式1-2】如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】以，为邻边作平行四边形，可知为所作平行四边形的对角线， 故由平行四边形法则可知对应的向量即所求向量． 故选：B 【变式1-3】如图所示，单位圆上有动点A，B，当取得最大值时，等于（    ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】D 【详解】因为，A，B是单位圆上的动点， 所以的最大值为2，此时与反向. 故选：D. 重难点二、向量的加减法运算 【例3】设A，B，C，D是平面上的任意四点，试化简： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）． （2）． （3）． 【例4】下列各式中不能化简为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】A：，不符合题意； B：因为，， 若，即，可得， 即点与点重合，显然这不一定成立， 所以与不一定相等，符合题意； C：，不符合题意； D：，不符合题意； 故选：B 【变式2-1】下列等式不正确的是(    ) ①； ②； ③. A．②③ B．② C．① D．③ 【答案】B 【详解】对于①，，正确； 对于②，，错误； 对于③，，正确. 故选：B 【变式2-2】下列四式不能化简为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， ， ， . 故选：A. 【变式2-3】在边长为1的正方形中，若，则等于（    ） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】C 【详解】. 故选：C 重难点三、向量加法、减法的几何应用 【例5】在正六边形中，（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，故D正确. 显然，，，故A、B、C均错误. . 故选：D 【例6】如图，在中，若D是边的中点，E 是所在平面内任意一点，则= .    【答案】. 【详解】. 因为D是边BC的中点，所以. 所以. 故答案为：. 【变式3-1】在中，，则是（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【详解】，，则， 是等边三角形. 故选：A 【变式3-2】如图所示，在平行四边形中，，分别为边和的中点，为与的交点． (1)若，则四边形是什么特殊的平行四边形？说明理由． (2)化简，并在图中作出表示该化简结果的向量． 【答案】(1)菱形，理由见解析 (2)答案见解析 【详解】（1）由条件知， 即，又四边形是平行四边形，故四边形是菱形． （2）由平行四边形及三角形中位线的性质可知． 所以． 作出向量如图所示． 【变式3-3】已知非零向量，满足：，作，，则 . 【答案】 【详解】构造如图所示的平行四边形，，, 则，， 则为正三角形， 故， 则平行四边形为菱形， 故OB平分， 则. 故答案为： 知识点4向量的数乘运算 1.定义:规定实数与向量的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作,它的长度和方向规定如下: ①; ②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时， 2.运算律:设为任意实数,则有①；②； ③ 特别地,有. (3)向量的线性运算:向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量以及任意实数恒有. 重难点四、向量的数乘运算 【例7】已知向量，如图，作向量. 【答案】答案见解析 【详解】如图，作法： 1. 任取一点O，作； 2. 作平行四边形OACB，于是即为所求作的向量. 【例8】已知向量、、满足关系式，那么可用向量、表示向量 【答案】 【详解】因为，所以，，则. 故答案为：. 【变式4-1】已知向量，化简（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】. 故选：C 【变式4-2】（1）已知向量，，计算：． （2）若向量，满足，，、为已知向量，求向量，． 【答案】（1）；（2）， 【详解】（1）根据向量的运算律，可得原式． （2）由方程组，解得，. 【变式4-3】已知平面内四个不同的点满足，则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【详解】, , 即, . 故选：D. 重难点五、向量线性运算的几何应用 【例9】已知，边、、的中点分别为D、E、F，则 ． 【答案】 【详解】边、、的中点分别为D、E、F ， 则 故答案为：. 【例10】在中，点为边的中点，点在上，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，因为点为边的中点，点在上，且， 所以，． 又，， 所以， 故选：D． 【变式5-1】如图，在四边形中，，，设，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 所以 . 故选：C. 【变式5-2】已知在平行四边形中，为的中点，为线段上靠近点的三等分点.设，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图所示，由题意得 ， 故选:A. 【变式5-3】如图，已知为直线外一点，点在直线上，且．求证：．    【答案】证明见解析 【详解】因为，， 又，所以， 即． 又因为，即， 所以． 知识点5共线向量定理 1.共线向量定理的内容：向量与共线的充要条件是存在唯一一个实数,使. 2.三点共线向量表示的两个结论 结论1：如图1，点共线的充要条件是存在唯一实数，使得. 结论2：设是平面内的任意一点，点A，B，C共线的充要条件是存在唯一实数使得. 重难点六、向量共线问题 【例11】已知向量与不共线，而且与共线，则的值为 . 【答案】/ 【详解】因为与共线，又向量与不共线， 所以，解得， 故答案为： 【例12】如图，在中，已知，，试判断向量与向量是否共线，并简述理由. 【答案】共线，理由见解析 【详解】由， 所以向量与向量共线. 【变式6-1】已知是两个不共线的向量，，若与共线，则 ． 【答案】/ 【详解】由已知，是两个不共线的向量，则， 又因为与共线，则，即， 即， 即，解得. 故答案为：. 【变式6-2】已知、、均为非零向量，其中的任意两个向量都不平行，且与是平行向量，与是平行向量，求证：与是平行向量． 【答案】证明见解析 【详解】由题意可设，， 则有，而不共线， 即有，即，则 ， 故与是平行向量. 【变式6-3】向量在正方形网格中的位置如图所示．若向量与共线，则实数λ＝ ．    【答案】2 【详解】由题中所给图可得， 因为向量与共线，所以存在唯一实数，使， 即， 因为不共线，所以，解得， 故答案为：2 重难点七、三点共线问题 【例13】设，为平面上两个不共线的单位向量，已知向量，，，若三点共线，则的值是（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】A 【详解】由题意， 且， 因为三点共线， 所以存在实数，使得, 所以， 即，解得. 故选：A. 【例14】如图，在中，已知．若，证明：三点共线．    【答案】证明见解析 【详解】因为， 所以． 又，所以． 因为， ， 所以， 又有公共点A，所以三点共线． 【变式7-1】已知两个非零向量不共线，且，则（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【答案】D 【详解】对于A，，， 不存在实数，使得成立， ∴三点不共线，故A错误； 对于B，由A知，又， 不存在实数，使得成立， 三点不共线，故B错误； 对于C，， 不存在实数，使得成立， 三点不共线，故C错误； 对于D，， 三点共线，故D正确． 故选：D． 【变式7-2】若A，B，C三点共线，对任意一点O，有（为锐角）成立，则 . 【答案】 【详解】因为A，B，C三点共线，所以存在使得， 即， 故，将其代入得， ， 即， 由于上式恒成立，，故，解得， 因为为锐角，所以. 故答案为： 【变式7-3】如图，在平行四边形中，为中点，为上靠近点的三等分点，求证：三点共线． 【答案】证明见解析 【详解】∵， ∴． ∵是上靠近点的三等分点， ∴． ∵在平行四边形中，， ∴．① ∵为的中点，∴．② 由①②可得． 由向量共线定理知．又∵与有公共点， ∴三点共线． 重难点八、向量共线定理的推论 【例15】在中，点是线段上任意一点（不包含端点），若，则的最小值为 ． 【答案】9 【详解】是线段上一点，三点共线， ，且， ， 当且仅当即时取等号． 的最小值为9． 故答案为：9． 【例16】在中，，P是直线上一点，若，则实数m的值为 . 【答案】/ 【详解】因为，所以， 所以， 因为三点共线，所以. 故答案为：. 【变式8-1】在中，点O在线段BC上，且，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】由B，O，C三点共线得, ， 又因为M，O，N三点共线，所以，则， 故选:D． 【变式8-2】已知在中，，，，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【详解】 因为，所以， 因为，所以， 所以，解得． 故选：A 【变式8-3】如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点、，若，，则 .    【答案】/ 【详解】在中，点是的中点，则， 又，，则， 而点共线，因此，所以. 故答案为： 一、单选题 1．（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可得：. 故选：D. 2．已知向量，不平行，，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【详解】由题意得，则. 故选：B. 3．已知，点为边上一点，且满足，则向量（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】, 另解：. 故选：B 4．如图，在中，，E是的中点．设，．则正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，利用三角形定则可得，故A错误， 对于B，因为，故B错误， 对于C，因为E是的中点，所以，故C错误 对于D，因为，所以，故D正确. 故选：D 5．已知O为四边形所在平面内的一点，且向量，，，满足等式，若点E为的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵向量，，，满足等式， ∴，即， 则四边形为平行四边形． ∵E为的中点，∴E为对角线与的交点， 则，则. 故选：B． 6．在中，，，与交于点，且，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【详解】因为，则为的中点，可得， 注意到三点共线，可得， 又因为三点共线，则∥， 则存在实数，使得，即， 则，可得， 综上所述：，解得，可得. 故选：B. 二、多选题 7．化简以下各式，结果为的有（      ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】A选项：，A选项正确； B选项：，B选项正确； C选项：，C选项错误； D选项：，D选项正确； 故选：ABD. 8．如图，是所在的平面内一点，且满足，，是的三等分点，则下列不正确的（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】由于是所在的平面内一点，且满足，，是的三等分点， 故，则四边形为平行四边形，所以，故A错误； 因四边形为平行四边形，故是的中点，，故B错误； ，故C正确； ，故D错误； 故选：ABD 三、填空题 9．如图，已知四边形是边长为1的正方形，求下列向量的模：    ； ； ； . 【答案】 0 1 2 【详解】解：如图所示：   ， 则， ， ， 如图所示：   ， ，则. 故答案为：，0，1，2 10．已知平面内四个不同的点A，B，C，D满足，则 . 【答案】3 【详解】已知，根据向量的减法法则， 则.因为，又，所以，移项可得. 由于，那么，所以. 故答案为：. 11．如图，在中，点满足，过点的直线与所在的直线分别交于点，若，则的最小值为 . 【答案】3 【详解】因为，， 所以， 因为三点共线，所以， 所以， 当且仅当即时等号成立. 所以的最小值为3. 故答案为：3. 四、解答题 12．如图，已知向量，，不共线，求作向量． 【答案】作图见解析 【详解】方法一：如图①，在平面内任取一点O，作，，，连接BC， 则．过点A作，且，连接，则， 所以． 方法二：如图②，在平面内任取一点O，作，， 连接OB，则，再作，连接CB，则． 方法三：如图③，在平面内任取一点O，作，，连接OB， 则，再作，连接OC，则． 13．根据下列条件，求向量： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由， 得， 即， ； （2）由， 得， 得； （3）由， 得， ， 可得． 14．已知四边形ABCD和点O在同一平面上，设向量，，，，且．求证：ABCD是平行四边形． 【答案】证明见解析 【详解】因为， 所以， 因为向量，，，， 所以， 即， 所以，且， 所以四边形ABCD是平行四边形. 15．已知平行四边形ABCD的两条对角线AC与BD交于点E，O是任意一点，求证：．    【答案】证明见详解 【详解】因为 ， 又因为为平行四边形，则为的中点，可得， 所以， 即. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.2.1~6.2.3平面向量的加减、数乘运算 一、向量的加法、减法法则 五、向量线性运算的几何应用 二、向量的加减法运算 六、向量共线问题 三、向量加法、减法的几何应用 七、三点共线问题 四、向量的数乘运算 八、向量共线定理的推论 知识点1向量的加法 三角形法则：已知非零向量,在平面内任取一点,作,再作向量,则向量叫做与的和,记作 平行四边形法则：已知不共线的两个向量,在平面内任取一点,以同一点为起点的两个已知向量,以为邻边作,则就是与的和 , 规定：零向量与任意向量的和,都有 运算律：①交换律：；②结合律： 知识点2相反向量 1.定义:与向量长度相等、方向相反的向量,叫做的相反向量,记作,与互为相反向量, 3.性质：①；②若互为相反向量,则； ③的相反向量是 知识点3向量的减法 1.向量的减法的定义:向量加上的相反向量,叫做与的差,即,求两个向量差的运算叫做向量的减法. 2.运算法则:在平面内取一点O,作,则. 3.几何意义表示从向量的终点指向的终点的向量. 4.向量减法的两个重要结论: ①如果把两个向量的始点放在一起,则这两个向量的差是以减向量的终点为始点,被减向量的终点为终点的向量； ②一个向量等于它的终点相对于点的位置向量减去它的始点相对于点的位置向量或简记“终点向量减去始点向量”. 重难点一、向量的加法、减法法则 【例1】如图，在平行四边形ABCD中，为对角线的交点，则（   ） A． B． C． D． 【例2】如图，在平行四边形中，记，，你能找到，吗？ 【变式1-1】已知正方形的边长为2，则为 ． 【变式1-2】如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】如图所示，单位圆上有动点A，B，当取得最大值时，等于（    ） A．0 B． C．1 D．2 重难点二、向量的加减法运算 【例3】设A，B，C，D是平面上的任意四点，试化简： (1)； (2)； (3)． 【例4】下列各式中不能化简为的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】下列等式不正确的是(    ) ①； ②； ③. A．②③ B．② C．① D．③ 【变式2-2】下列四式不能化简为的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】在边长为1的正方形中，若，则等于（    ） A．0 B．1 C．2 D． 重难点三、向量加法、减法的几何应用 【例5】在正六边形中，（    ） A． B． C． D． 【例6】如图，在中，若D是边的中点，E 是所在平面内任意一点，则= .    【变式3-1】在中，，则是（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【变式3-2】如图所示，在平行四边形中，，分别为边和的中点，为与的交点． (1)若，则四边形是什么特殊的平行四边形？说明理由． (2)化简，并在图中作出表示该化简结果的向量． 【变式3-3】已知非零向量，满足：，作，，则 . 知识点4向量的数乘运算 1.定义:规定实数与向量的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作,它的长度和方向规定如下: ①; ②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时， 2.运算律:设为任意实数,则有①；②； ③ 特别地,有. (3)向量的线性运算:向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量以及任意实数恒有. 重难点四、向量的数乘运算 【例7】已知向量，如图，作向量. 【例8】已知向量、、满足关系式，那么可用向量、表示向量 【变式4-1】已知向量，化简（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（1）已知向量，，计算：． （2）若向量，满足，，、为已知向量，求向量，． 【变式4-3】已知平面内四个不同的点满足，则（    ） A． B． C．2 D．3 重难点五、向量线性运算的几何应用 【例9】已知，边、、的中点分别为D、E、F，则 ． 【例10】在中，点为边的中点，点在上，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】如图，在四边形中，，，设，，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】已知在平行四边形中，为的中点，为线段上靠近点的三等分点.设，，则（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】如图，已知为直线外一点，点在直线上，且．求证：．    知识点5共线向量定理 1.共线向量定理的内容：向量与共线的充要条件是存在唯一一个实数,使. 2.三点共线向量表示的两个结论 结论1：如图1，点共线的充要条件是存在唯一实数，使得. 结论2：设是平面内的任意一点，点A，B，C共线的充要条件是存在唯一实数使得. 重难点六、向量共线问题 【例11】已知向量与不共线，而且与共线，则的值为 . 【例12】如图，在中，已知，，试判断向量与向量是否共线，并简述理由. 【变式6-1】已知是两个不共线的向量，，若与共线，则 ． 【变式6-2】已知、、均为非零向量，其中的任意两个向量都不平行，且与是平行向量，与是平行向量，求证：与是平行向量． 【变式6-3】向量在正方形网格中的位置如图所示．若向量与共线，则实数λ＝ ．    重难点七、三点共线问题 【例13】设，为平面上两个不共线的单位向量，已知向量，，，若三点共线，则的值是（    ） A．2 B． C． D．3 【例14】如图，在中，已知．若，证明：三点共线．    【变式7-1】已知两个非零向量不共线，且，则（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【变式7-2】若A，B，C三点共线，对任意一点O，有（为锐角）成立，则 . 【变式7-3】如图，在平行四边形中，为中点，为上靠近点的三等分点，求证：三点共线． 重难点八、向量共线定理的推论 【例15】在中，点是线段上任意一点（不包含端点），若，则的最小值为 ． 【例16】在中，，P是直线上一点，若，则实数m的值为 . 【变式8-1】在中，点O在线段BC上，且，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式8-2】已知在中，，，，则（   ） A． B． C． D．1 【变式8-3】如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点、，若，，则 .    一、单选题 1．（    ） A． B． C． D． 2．已知向量，不平行，，则（   ） A． B． C．1 D．2 3．已知，点为边上一点，且满足，则向量（    ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，E是的中点．设，．则正确的是（    ）    A． B． C． D． 5．已知O为四边形所在平面内的一点，且向量，，，满足等式，若点E为的中点，则（   ） A． B． C． D． 6．在中，，，与交于点，且，则（    ） A． B． C． D．1 二、多选题 7．化简以下各式，结果为的有（      ） A． B． C． D． 8．如图，是所在的平面内一点，且满足，，是的三等分点，则下列不正确的（    ） A． B． C． D． 三、填空题 9．如图，已知四边形是边长为1的正方形，求下列向量的模：    ； ； ； . 10．已知平面内四个不同的点A，B，C，D满足，则 . 11．如图，在中，点满足，过点的直线与所在的直线分别交于点，若，则的最小值为 . 四、解答题 12．如图，已知向量，，不共线，求作向量． 13．根据下列条件，求向量： (1)； (2)； (3)． 14．已知四边形ABCD和点O在同一平面上，设向量，，，，且．求证：ABCD是平行四边形． 15．已知平行四边形ABCD的两条对角线AC与BD交于点E，O是任意一点，求证：．    2 学科网（北京）股份有限公司 $$