广东省广州市第十六中学2025届高三上期末数学试题

2024学年广州市第十六中学高三年级校内专训（一 ）20m41-20 数学（问卷） 第I卷（选择题） 一、进择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合要求的。 1.A=(x,y)12x+y=4},B=(x,yx+2y=5],则AnB=() A.12 B.(1,2) C.(1,2)] D.(2,1)] ,已知复数2在复平面内所对应的点位于第一象限，且华=2 2a+0 则复数z2在复平面内所对应 的点位于() A.第一象限 B,第二象限 C.第三象限 D,第四象限 3.已知网=1，阿=2，a-=V3,则在上的投影向量为() A.五 B.d c.拓 D.a 4.将函数f(x)=2 sinxcosx-+.V3cos2x的图象向右平移；个单位，得到g(x)的图象，再将g() 图象上的所有点的横坐标变成原来的得到(x)的图象，则下列说法正确的个数是() ①函数h(x)的最小正周期为2π：②G,0)是函数h(x)图象的一个对称中心： ®函数()图象的一个对称轴方程为x=名④函数h()在区间-云，习上单调递增 A.1 B.2 C.3 D.4 ,已知椭圆C的左，右焦点分别为F1,F2,P是C上一点且位于y轴右侧，直线PF2的斜率为2， △PF1F2是面积为4的直角三角形，则C的标准方程是() A.号+号=1B.苦+片=1 4 c.元+片=1 D.元+号=1 9 6.已知圆锥的底面半径为3，圆锥内的最大球的表面积为9π，则圆锥的体积为() 、A.12π B.18π C.24π D.30m 7.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,G,△ABC的面积为35，且b=1,C=于则AB 边上的中线长为() A.7 B.3 C.√7 D.四 2025-1-20校内专训一问卷第1页（共4页） CS扫描全能王 亿人■在用的扫描Apn 8.已知函数f(x)= 化++2x<0,若存在实数，使得方程网=有4个不同的实数根 (5x-2引，x20 X1X24 且x<x<为<x4,则号的取值范围为（) A.（2-到B.（- c.(-1,-割 D.（-0) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合思 目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.如图所示的太极图是由黑、白两个鱼纹组成的图案，定义：能够将圆0的周长和面积同时等 分成两部分的函数称为圆0的一个“太极函数”，则下列说法中正确的是() A.对于任意一个圆O,其“太极函数”有无数个 B.函数f(x)=x-3x可以是某个圆的“太极函数” C,'正弦函数y=six可以同时是无数个圆的“太极函数” D.y=f(x)是“太极函数“的充要条件为“y=f(x)的图象是中心对称图形” 10.已知曲线C:x2+y2=2x+4y川与x轴交于A,B两点，P,Q是曲线C上任意两点，则() A,曲线C是中心对称图形 B.曲线C圈成图形的面积为16+10π C.IPQ的最大值为4v5 D.△ABP的面积最大值为8 11,如果拉伸两个端头，哪一根绳子会打结？() B.2 C.3 D.4 20251-20校内专训一问卷第2页（共4页） CS扫描全能王 1亿人在用的扫描Ap 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知正数x,y满足x+3xy+2y=6,则V网的最大值为 13.如图，机器人从A点出发，每次可以向右或向上沿着线走一个单位（每个小正方形的一条 边长为一个单位)，要走到B点，不同的走法共有 种 14.迹点M(一1，m)作抛物线C:y2=2px,(>0)的两条切线，切点分别为A(x1y1)和B(x2,y2) 又直线AB经过抛物线C的焦点，鄂么。 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15.(13分)一年一度的“双11”促销活动落下帷幕，各大电商平台发布的数据显示，在消费品 以旧换新、家电政府补贴等促消费政策和活动的带动下，消费市场潜能加速释放，带动相 关商品销售保持增长.经过调研，得到2019年到2024年“双11”活动当天某电商平台线上 日销售额y(单位：百亿元)与年份（第x年）的6组数据（时间变量x的取值依次为1,2，…，6）， 对数据进行处理，得到如下散点图（图1）及一些统计量的值.其中：=l,=: 48.7 3.5 91 1204 1. 9.4 388.1 分别用两种模型：①y=bx+a:②y=blx+a进行拟合，得到相应的回归方程，并进行 残差分析，得到如图所示的残差图（图2）（残差值=真实值-预测值）. 残差 Ay日销售额) 89 60 50 22.4 40 年份) 20 10 +一模型① 2345 6x(年份) -6 …·…模型② 图1 图2 7 (1)根据题中信息，通过残差图比较模型①，②的拟合效果，应选择哪一个模型进行拟合？ 2025-1-20校内专训一问卷第3页（共4页） CS扫描全能王 亿人■在用的扫描Apn 请说明理由： (2)根据(1)中所选模型， (1)求出y关于x的经验回归方程（系数精确到0.1）： ()若该电商平台每年活动当天线上日销售额y与当日营销成本u及年份x存在线性关系： y=3u+2.6x,则在第几年活动当日营销成本的预测值最大？ 掾考公式：6=弯0a=可-6记，参考数据ln7≈1.95. 16.(15分)设数列[aJ的首项a1为常数(a1≠引且an+1=3n-2an(neN) ()证明：{a-习是等比数列： (2)若a1=,{a,J中是否存在连续三项成等差数列？若存在，写出这三项：若不存在，请说 明理由。 (3)若(a}是递增数列，求a1的取值范围. 17.(15分)已知函数网=品a>0,且f(-1)+f四=0. (I)求a+b的值： (2)若函数g(x)=f(x)一2*存在零点，求a的取值范围： (3)若a=1,证明：m>1,f0og3m)>f0ogsm)]2. 18.(17分)已知点P(0,0)是双曲线c:号-y2=1上任意一点。 ()求证：点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数： (2)已知点A(4,0),求1PA的最小值. 19.(17分)如图，在三棱锥P-ABC中，AB=BC=AC=PC=4,PA=PB=2V2,M是线 段PC上的点. (I)求证：平面ABP⊥平面ABC; (2若直线PM与平面ABM所成角的正弦值为， 求PM的长： (3)若MQ⊥平面ABC,Q为垂足，直线PQ与平面ABM的交点为N, 当三棱锥M-ABQ体积最大时，求PN的长， aL- B 2025-1-20校内专训一问卷第4页（共4页） CS扫描全能王 1亿人■在用的扫描Ap 2024学年广州市第十六中学高三年级校内专训（一）ms1 数学（答案） 骚麗【详解】根据恩意，A门B的元素为两个方程的解构成的点。 由之岁=号解得：号，则AnBa《1,2》故边C 藏详解】复数21在复平面内所对应的点位于第一象限，设21一0+b0>0,b>0。 2=a=京=-，z2=-21=b-b>0,-4<0, 2 ∴，复数之2在复平面内所对应的点位于第四象限，故选：D Q详解因为--V3,所以(d-)=a2+2-2a.五=5-2a.万=3，解每a.五=1， 所以ā在方上的投影向量为.三=6.故选：C 同同4 答寒【详解】因为f(x)=2 sinxcosx+V3cos2x=sin2x+V3cos2x=2sin(2x+), 将函数f(x)的图象向右平移个单位，得到g(X)的图象， 则g(x)=2sin[2(x-)+别=2sin(2x-), 将g(x)图象上的所有点的横坐标变成原来的号得到h(x)的图象，则h(x)=2sin(4x-) 对于①，函数n(x)的最小正周期为T=受=京①辑， 对于②，h(月=2sinn=0,所以，G0)是函数h(x)图象的一个对称中心，②对： 对于③，因为h()=2sin(停-)=2sin3m=0, 所以，直线x=不是函数h(x)图象的对称轴，国错： 对于④，当-六≤×≤时，一54x一兮5分所以，函数h(x)在区间同[-云别上单调递增，④对因 此，正确命题的序号为②④故选：B. 5的 藏【详解】方法一：由题意知∠F1PF2=之tan∠F1F2P=2, 如 图，设1PF1l=2m(m>0),则PF2=m,因为△PF1F2的面积为4， 所以好·2m·m=4,所以m=2,所以PFl=4,PF2l=2,F1F2l=25. 设椭圆C的方程为号+分-1(Q>b>0,焦距为2C, 2025-1-20校内专训一容案 CS扫描全能王 亿人在用的扫描Ap明 则2a=PF+PF2=6,c=5,所以a-3,b=2,所以椭圈C的标准方程是号+号-1. 方法二：由题意知∠F1P下2=党设椭图C的标准方程是号+发=1(a>b>0).焦距为2c, 由焦点三角形的面积公式得b2 tan ZF P2=4,即b2=4 设直线PF2的倾斜角为0，则tan0=2,所以2a=1PF1l+PP2l=2c(sn日+cos0)-2c(号+) 因号=号即1-二=号得a2=9,所以椭圆C的标准方程是号+苦-1故选：B 藩亲霸【详解】设A为圆维顶点，BC为底面直径，H为底面中心，则圆维内最大球的球心O在高AH 上，设该球与母线AC相切于点D,如图所示： 则易得△AOD一△ACH,所以4 OD AC=CH ,设该球的半径为R,则 4元R2= 9n,解得R=受所以OD=OH=号所以AO=AH-是 又CH=3,结合怨=器得AC=2AH-3, 又AC=VAH2+CH7=√AH2+9,所以VAH2+9=2AH-3,解得AH=4, 所以圆锥的体积V=n×32×4=12π.故选：A. 【详解】由SAABC=absinC=ax1×sim=9a 3解得a=3, 设AB的中点为D,则C万=(CA+CE), 则CD2=CA+cB)2=(CA+cB2+2CA,C可 =1+9+2×1×3×)=品则C可=四，故4B边上的中线长为故选：D. 藏翅【详湘1因为x++2世<0，所以当X<0时了以-k+2=-X--2 由对勾函数的性质可知，当-1<x<0时，f(x)单调递增， 当x<-1时，f(x)单调递减，当x=-1时，f(x)=0,当x≥0时，f(x)=5*-2引， 当0<X<10g52时，f(x)=2-5×单调递减，当x>1og52时，f(x)=5x-2单调递增， 又fogs2)=0,f(0)=1,作出函数f(x)的大致图象，如图， YA 由图象可知0<ts1,则2-53=t,5:-2=t, 所以54=t+2,5=2-t,则52x4-3=2+)2, 2-t X 由x1,X2是方程-X-是-2=t的两根。 2025-1-20校内专训-答案 2 CS扫描全能王 亿人在用的日描A 即x1,X2是方程x2+(2+t)x+1=0的两根，则x1+X2兰-(2+t), 所以器=提=号=1-克因为0<t≤1，所以2<t+253,则号5帝<2， 2-f 所以-1<1-名≤-方即，号的取值范围为(-1，-引故选：C LABC 【详解】任意一个圆O是关于圆心的中心对称图形，其“太极函数”有无数个，故A正确： 函数f(X)=x3-3x是奇函数，其图象关于原点对称，将圆的圆心放在坐 标原点 上，则f(x)=x3-3x是该圆的"太极函数”，故B正确： 将圆的圆心放在正弦函数y=snx的对称中心上， 则正弦函数y=sinx是该圆的“太极函数"，故有无数个圆成立，故C正确： 函数y=f(x)的图象是中心对称图形，则y=f(x)是“太极函数"， 但函数y=f(x)是“太极函数”时，图象不一定是中心对称图形，如图，故D错误故选：ABC 容案【详解1C:x2+y2=21X+4y即xP-2X+P-4y1=0. [(x-1)2+(y-2)2=5,(x20,y20) 则0x1-12+0y1-22=5,即0x+1)2+0-2y2=5,(x<0,y≥0 (x-1)2+(y+2)2=5,(x≥0，y<0) (x+1)2+y+2)2=5,(x<0,y<0) 曲线C是四个圆组合成图形，如图：由图可知曲线C是中心对称图形，A选项正确： 如图，∠E0A=AE为圆的直径，：C1(1,2,E(0,4),A(2,0), 曲线C圈成图形的面积为4×警+Sa40)=4×度+)=10m+16,B选 正确： 如图，当且仅当P,Q两点与所在弧对应圆心四点在同一直线上时，PQ距离最大， 由解析式可知：C1(1,2),C2(-1,-2), .最大值为2r+1CC2=25+ V1-(-1)2+[2-(一2)]2=4V5,C选项正确：如图： 当P在曲线的最高点或最低点是三角形ABP面积最大，即 yl=2+5,又B(-2,0),A(2,0), “S△AP=AB到yn=4+25,D选项错提 故选：ABC 列 2025-1-20校内专训一答案 CS扫描全能王 亿人■在用的扫描Ap 【详解】绳子1的判断：当拉伸绳子1的两个端头时，由于绳子自身的缠绕方式，在拉伸过程中会形成 一个结，可以想象将两个端头慢慢拉开，绳子中间的镶绕部分会收紧形成结 绳子2的判断：同样，对于绳子2，其缠绕方式使得在拉伸两个增头时，中间郁分会因为绳子的交叉缠绕 而形成一个结： 绳子3的判断：绳子3在拉伸两个端头时，绳子可以顺利地被拉直，不会出现打结的情况，因为其壤绕 方式并没有形成闭环式的交叉： 绳子4的判断：绳子4拉伸时也能顺利拉直，不会形成结，其交叉部分在拉伸过程中会自然解开，根据 对每根绳子拉伸过程的想象和判断，会打结的绳子是1、2 【详解】由基本不等式可得6=×+3xy+2y23xy+22xy, 买3 所以3(2+22，灯-6≤0，解二次不等式得灯s25-三，当且仅当×=2y时取等号.即√x灯 3 的最大值为25-2故答案为：252 3 3 超以设等P 3餐案0【详解】如图，当路线经过点C时，从A到C有1种，从C到B有C种： 当路线经过点D时，从A到D有C吲种，从D到B有C子+C话种： 当路线经过点E时，从A到E有C种，从E到B有C种： 当路线经过点F时，从A到F有C唱种，从F到B有C唱种： 当路线经过点G时，从A到G有C种，从G到B有1种， 所以不同的走法共有 G 1×c哈+C写(c写+c3)+cc话+cgc+1×C=28+180+150+36+7=401(种). 故答案为：401 需毫露【详解】由题意，显然过点M4,m)作地物线C:y=2印x的切线的斜率存在。 设该斜率为k,则该切线方程为y-m=k(x+1),即y=kx+k+m, 联立y=kX+ktm，,消去y可得k2×2+(2k2+2km-2p)x+k2+2km+m2=0, 由于切线与抛物线只有唯一交点，则△=(2k2+2km-2p)2-4k2(k2+2km+m2)=0, 整理可得2k2+2km-p=0,由题意，可知kMA,kMB为方程2k2+2km-p=0的两个根，则KMA KMB=-号 由题意，设直线AB的方程为Xy+号联立可得X号，消去X可得y2Py-p20,由怒备可知yw。 y2=2px 为该方程的两个棍，则yp以，故2一号 =2p, CS扫描全能王 亿人在用的扫描A 由抛物线方程y2=2px,(p>0,可得函数y=2px与函数y=-2px,则y=时京2p=与 y凉2p品 不妨设AX,少)在第一象限，则X0,y>0,即y2DX,且kMA员 由设A(Xy在第一象限，则B(Xy)在第四象限，即X0,y0,可得y22p.且kMB品号 故My2=p,则%成M。=坐出=p, 综上可得2p=p以，解得p-2,故化4故答案为：4 得韩搁(1)由残差图可知模型①的残差值比较分散和远离横轴，所以模型①平方和大于模型②的残 差平方和，所以应选择模型②… 4分 熊2费影对于模型@，y=blnx十a,令t=1nX,可得y=bt+a,…6分 则6=4=38,6401=31.2，a=了-6元≈48.7-31.2×1.1=14.4， 9.4-6×1.1 可得y=31.2t+14.4,所以y关于x的经验回归方程为y=31.21nx+14.4:.8分 能由(i)可得：y=31.2血×+14.4=3u+2.6x,整理可得3u=31.21nx+14.4-2.6x, fx)=31.2nx+14.4-2.6x,x21,则f6x)-头-2.6=1226s …10分 令f(x)>0,解得1≤X<12;令f'(x)<0,解得x>12: 可知f(x)在[1,12)内单调递增，在(12，+0)内单调递减， 所以当x=12时，3u=f(x)取到最大值，即u取得最大值， 所以第12年活动当日营销成本的预测值最大.13分 601)证明，n+131-3”-243…1 号30-2an 一 =-2, an3n -(3-an) 因为a1中号所以a1-号+0， 所以数列{an-}是首项为a1-是公比为-2的等比数列：4分 22因为a1=所以数列{0n-号}的首项是a1-号=品 所以an-号=是(-2)n-1,则0n=品(-2-1+号 6分 若{cn}中存在连续三项成等差数列，则必有2an+i=an十cn+2: 即2[g+品(-2州-号+品（←2-1++0←21， 2025-1-20校内专训一答案 CS扫描全能王 亿人在用的扫描Ap明 整理为：-号=1二，解得1n=4, 10 所以a4,a5,as成等差数列， 9分 家赛划果1>0p学+o1-)-2r≥苦+a-引(-2-对任意自然数均位立 化简得号3”>-(（a1-)(-2)n,… *11分 当n为偶数时，a1>号言)”恒成立，因为pm)=月)”是递减数列。 所以p(们)的最大值是p(2)=0,即a1>0,13分 当n为奇数时，a1<号+言月”恒成立，q(m)=+音)”单调递增， 所以q(n)的最小值为q(1)=1,即a1<1, 所以☑1的取值范围是(0,1)15分 )因为f(w=+。所以f(-1)+f1)= 2*-1 2-1 a2+1-6+20+1-6 -1 1-a-b =a-2b+2+20-b+=a-2b+228-b+万=0. 则1-a-b=0,即a十b=1.4分 当a+b=1时，f0=-×此时f(-刘=器品。=×器=-器=-f0, 结合f(x)的定义域为R,故f(X)为奇函数，故a+b=15分 由(1)可知a+b=1,则f(x)= a2'+a 由g)=0,得=2，则a=其中a>0. 2x-1 2*-1 若X≤0，则2之≤0，a三2中可不可能成立，……门分 2*-1 2x-1 1 若X>0,a=2x24+“2*-+32-*2=20-1+3+7舌 由×>0，得2x-1>0,则2*-1+2名222，当且仅当2×=1+2时，等号成立， 则0<+3*话5273-22， 1 故a的取值范围为(0,3-2/②].10分 证明：因为a-1,所以f0x0)= 任取x,*2(0,+,令x1<x,f0x-f=费品-器品=器 、2(21-22) 因为x1<x2,所以2x1-22<0,从而f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),故f(x)在(0，+ 20251-20校内专训一答案 6 CS扫描全能王 亿人在用的扫描Ap明