球的切接问题 导学案-2025届高三数学二轮专题复习

萍实校训：以诚待人，自强不息 编号：28 萍实校风：诚实、勤奋、自理、和谐 28 球的切接问题（新编） 主编：吴涛思 副主编：高三数学组 【复习目标】 1、 考点归纳 （1）空间几何体的外接球 （2）空间几何体的内切球 2、易错易混点归纳 （1）对几何体与球的位置关系判断失误，混淆外接与内切 （2）缺乏动态思维：在分析问题时，没有考虑到几何体或球的动态变化情况 【思维导图】 【重要考点、易错易混点的注释】 几何体与球的切、接问题，尤其是多面体与旋转体的外接球是历年高考命题的热点与重点，此类问题的实质是计算球的半径或确定球心O的位置问题，其中球心的确定是关键. 【典例探究】 考点一　空间几何体的外接球 学法指导：求空间多面体的外接球半径的常用方法 (1)补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解； (2)定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据到其他顶点的距离也是半径，列关系式求解即可． 【例1】(1)(2024·合肥质量检测)已知四面体ABCD的各顶点都在同一球面上，若AB＝BC＝CD＝DA＝BD＝2，平面ABD⊥平面BCD，则该球的表面积是(　 　) A．100π B．40π C．20π D．16π (2)（2022·新高考Ⅱ卷7题）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为3和4，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（　　） A.100π　　　B.128π C.144π　　　D.192π (3)在半径为1的球中作一个圆柱，当圆柱的体积最大时，圆柱的母线长为 . 【解析】（1）解析　 如图所示，取BD的中点为M，连接AM，CM，因为△ABD与△BCD均为正三角形，所以AM⊥BD，CM⊥BD，又因为平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，AM⊂平面ABD，CM⊂平面BCD，所以AM⊥平面BCD，CM⊥平面ABD.分别取△BCD与△ABD的中心为O1，O2，分别过点O1，O2作O1O∥AM，O2O∥CM，且O1O∩O2O＝O，所以O1O⊥平面BCD，OO2⊥平面ABD，则点O为四面体ABCD的外接球球心．因为△ABD与△BCD的边长均为2，所以AM＝CM＝3，O2M＝O1M＝1，O1C＝2，且O1O＝O2M＝1，连接OC，则外接球的半径R＝OC＝＝＝，所以外接球的表面积为S＝4πR2＝20π，故选C． （2）解析：A　由题意，得正三棱台上、下底面的外接圆的半径分别为××3＝3，××4＝4.设该棱台上、下底面的外接圆的圆心分别为O1，O2，连接O1O2，则O1O2＝1，其外接球的球心O在直线O1O2上.设球O的半径为R，当球心O在线段O1O2上时，R2＝32＋O＝42＋（1－OO1）2，解得OO1＝4（舍去）；当球心O不在线段O1O2上时，R2＝42＋O＝32＋（1＋OO2）2，解得OO2＝3，所以R2＝25，所以该球的表面积为4πR2＝100π.故选A. （3）解析　设圆柱的底面半径为r，球心到圆柱底面的距离为h，则圆柱的母线长为2h，由球截面的性质得r2＋h2＝1，则r2＝1－h2(0<h<1)，圆柱的体积V＝2πr2h＝2πh(1－h2)＝2πh－2πh3，V′＝2π－6πh2＝－6π，当h∈时，V′>0，当h∈时，V′<0，所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以当h＝时，V取得最大值，此时圆柱的母线长为2h＝ 考点二　空间几何体的内切球 学法指导：空间几何体的内切球问题，一是找球心，球心到切点的距离相等且为球的半径，作出截面，在截面中求半径；二是利用等体积法直接求内切球的半径. 【例2】（1）已知在△ABC中，AB＝4，BC＝3，AC＝5，以AC所在直线为轴旋转一周得到一个旋转体，则该旋转体的内切球的表面积为（　 　） A. B. C. D. （2）在三棱锥A-BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，且AB＝CD＝4，BC＝3，则该三棱锥内切球的体积为（　 　） A. B. C. D. 【解析】（1）旋转体的轴截面如图所示，其中O为内切球的球心，过O作AB，BC的垂线，垂足分别为E，F，则OE＝OF＝r（r为内切球的半径），故AO＝＝r，CO＝＝r，故5＝AO＋OC＝r＋r，故r＝，故旋转体的内切球的表面积为4π×（）2＝.故选B. （2）A.由AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，得AB⊥CD.又BC⊥CD，且AB，BC⊂平面ABC，AB∩BC＝B，所以CD⊥平面ABC，又AC⊂平面ABC，所以CD⊥AC.由AB＝CD＝4，BC＝3，得AC＝BD＝5，所以三棱锥A-BCD的表面积S＝2××3×4＋2××4×5＝32，三棱锥A-BCD的体积V＝××3×4×4＝8.设三棱锥内切球球心为O，半径为r，由V＝VO-ABC＋VO-ABD＋VO-ACD＋VO-BCD＝Sr，得r＝＝，所以该三棱锥内切球的体积V球＝πr3＝π×（）3＝. 【训练检测】 1.(2024·湖北十一校联考)如图①，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E，F分别是BC，AD的中点，将四边形ABEF沿EF折起，使得二面角A1­EF­D的大小为90°，如图②，则三棱锥A1­CDE的外接球的表面积为 . 【解析】 如图，易知A1F⊥EF，DF⊥EF，所以二面角A1­EF­D的平面角为∠A1FD＝90°，所以A1F，EF，DF三条直线两两垂直，三棱锥A1­CDE可补形为长方体，三棱锥A1­CDE的外接球即长方体的外接球，其直径2R＝A1C＝＝＝，则外接球的表面积为S球＝4πR2＝34π 2.正四棱锥P­ABCD的各条棱长均为2，则该四棱锥的内切球的表面积为 . 【解析】 如图，设底面的中心为E，连接CE，PE，则CE＝，PE＝，设四棱锥的内切球球心为O，半径为r，易知O在PE上，连接OA，OB，OC，OD，得到四个三棱锥和一个四棱锥，它们的高均为r，所以VP­ABCD＝VO­ABCD＋VO­PAB＋VO­PBC＋VO­PCD＋VO­PAD，即×2×2×＝×2×2r＋4××r，解得r＝，所以该四棱锥的内切球的表面积为4πr2＝(8－4)π. 3.（2024·湖南九校联盟第二次联考）如图，在四面体P-ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥CB，PA＝AC＝2BC＝2，则此四面体的外接球表面积为（　　） A.3π B.9π C.36π D.48π 【解析】B　将四面体P-ABC补形成长方体，长方体的长、宽、高分别为2、1、2，四面体P-ABC的外接球即为长方体的外接球，而长方体的外接球的直径等于长方体的体对角线长，设外接球的半径为R，故2R＝＝3，所以外接球表面积为S＝4πR2＝9π.故选B. 4． (2023·全国甲卷)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝4，O为AC1的中点，若该正方体的棱与球O的球面有公共点，则球O的半径的取值范围是 . 【解析】由该正方体的棱与球O的球面有公共点，可知球O的半径应介于该正方体的棱切球半径和外接球半径之间(包含棱切球半径和外接球半径)．设该正方体的棱切球半径为r，因为AB＝4，所以2r＝×4，所以r＝2；设该正方体的外接球半径为R，因为AB＝4，所以(2R)2＝42＋42＋42，所以R＝2.所以球O的半径的取值范围是[2，2]． 5.已知一个圆台的上、下底面半径分别为1和3，高为2.若圆台内有一个球，则该球体积的最大值为 ..（球的厚度可忽略不计） 【解析】当球与下底面和侧面均相切时，圆台及球的轴截面如图所示，设E，F分别为梯形上、下底边的中点，连接EF，则CE＝1，DF＝3.过点C作CH⊥AD，交AD于点H，记点G为侧面的切点，O为球心，连接OG，OC，则FD＝DG＝3，CH＝EF＝2，FH＝EC，所以CD＝＝＝4，所以CG＝CD－DG＝1，所以CE＝CG，所以Rt△OEC≌Rt△OGC，所以OE＝OG，即球与上底面也相切，故此时球的半径R＝＝，所以该球体积的最大值为πR3＝π·（）3＝4π. 【预习要求】 1、 认真阅读学案、熟悉本节课的“复习目标”、“重点”、“难点”； 2、 能合本说出外接球和内切球的做法。 3、能合本说出外接球和内切球知识体系的思维导图。 高三数学 第 1 页（共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $$