空间几何体的表面积与体积 导学案-2025届高三数学二轮专题复习

25 空间几何体的表面积与体积 【复习目标】 1、考点归纳 （1）求空间几何体的表面积与体积 （2）求表面积与体积的最值 2、易错易混点归纳 （1）既然棱（圆）台是由棱（圆）锥定义的，所以在解决棱（圆）台问题时，要注意“还台为锥”的解题策略． （2）求不规则几何体的体积：常用分割或补形的思想，将不规则几何体转化为规则几何体以易于求解；求表面积：关键思想是空间问题平面化． （3）求解空间几何体表面积与体积最值的基本策略：将问题转化为函数或基本不等式解决.同时注意关注几何性质应用. 【思维导图】 【重要考点、易错易混点的注释】 1.直观图 斜二测画法直观图的面积为原图形面积的 倍。 2.空间几何体的表面积与体积公式 圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图 侧面积公式 S圆柱侧＝ S圆锥侧＝ S圆台侧＝ 　　　　名称 几何体　　　 表面积 体积 柱体 S表面积＝S侧＋2S底 锥体 S表面积＝S侧＋S底 台体 球 3.常用结论 假设正四面体的棱长为a，则有 (1)h＝a，S表面积＝a2，V＝a3；(2)相邻两个面的二面角α：cos α＝； (3)三条侧棱与底面的夹角β：cos β＝. 【典例探究】 考点一　空间几何体的表面积与体积 学法指导：1.求几何体的表面积的方法 （1）求表面积问题的思路是将立体几何问题转化为平面图形问题，即空间图形平面化，这是解决立体几何的主要出发点； （2）求不规则几何体的表面积时，通常将所给几何体分割成柱、锥、台体，先求这些柱、锥、台体的表面积，再通过求和或作差求得所给几何体的表面积. 2.求空间几何体体积的常用方法 （1）公式法：直接根据常见柱、锥、台体等规则几何体的体积公式计算； （2）等积法：根据体积计算公式，通过转换空间几何体的底面和高使得体积计算更容易，或是求出一些体积比等； （3）割补法：把不能直接计算体积的空间几何体进行适当的分割或补形，转化为可计算体积的几何体. 【例1】（1）(2024·新课标Ⅰ卷)已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为(　 　) A．2π B．3π C．6π D．9π 【解析】设圆柱和圆锥的底面半径均为r，因为它们的高均为，且侧面积相等，所以2πr×＝πr，得r2＝9，所以圆锥的体积V＝πr2×＝3π.故选B. （2）（2024·菏泽三模）已知圆台O1O2的母线长为4，下底面圆的半径是上底面圆的半径的3倍，轴截面周长为16，则该圆台的表面积为（　 　） A.24π B.25π C.26π D.27π 【解析】如图，作出圆台的轴截面ABDC，设上底面圆O1的半径为r，则下底面圆O2的半径是3r，故轴截面周长为16＝4＋4＋2r＋6r，解得r＝1，所以上、下底面圆的面积分别为π，9π，圆台侧面积S侧＝π（1＋3）×4＝16π，所以圆台的表面积为π＋9π＋16π＝26π.故选C. 【例2】（1）（2024·天津高考9题）一个五面体ABC-DEF.已知AD∥BE∥CF，且两两之间距离为1，AD＝1，BE＝2，CF＝3，则该五面体的体积为（　 　） A. B.＋ C. D.－ 【解析】因为AD，BE，CF两两平行，且两两之间距离为1，则该五面体可以分成一个侧棱长为1的三棱柱和一个底面为梯形的四棱锥，其中三棱柱的体积等于棱长均为1的直三棱柱的体积，四棱锥的高为，底面是上底为1、下底为2、高为1的梯形，故该五面体的体积V＝×1××1＋××＝，故选C. （2）（2024·新高考Ⅱ卷7题）（正三棱台的体积、线面角的正切值）已知正三棱台ABC-A1B1C1的体积为，AB＝6，A1B1＝2，则A1A与平面ABC所成角的正切值为（　　） A.　　B.1 C.2　 D.3 【解析】B　法一（直接法）　如图，分别取BC，B1C1的中点D，D1，则AD＝3，A1D1＝，可知S△ABC＝×6×3＝9，＝×2×＝，设正三棱台ABC-A1B1C1的高为h，则＝（9＋＋）h＝，解得h＝，分别过A1，D1作底面的垂线，垂足为M，N，设AM＝x，则AA1＝＝，DN＝AD－AM－MN＝2－x，可得DD1＝＝，结合等腰梯形BCC1B1可得B＝（）2＋D，即x2＋＝（2－x）2＋＋4，解得x＝，所以A1A与平面ABC所成角的正切值为tan∠A1AD＝＝1. 法二（补形法）　如图，将正三棱台ABC-A1B1C1补成正三棱锥P-ABC，则A1A与平面ABC所成角即为PA与平面ABC所成角，因为＝＝，则＝，可知＝VP-ABC＝，则VP-ABC＝18，设正三棱锥P-ABC的高为d，则VP-ABC＝d××6×3＝18，解得d＝2，取底面ABC的中心为O，则PO⊥底面ABC，且AO＝2，所以PA与平面ABC所成角的正切值tan∠PAO＝＝1.故选B. 考点二　表面积与体积中的最值问题 学法指导：求解空间几何体表面积与体积最值的基本策略：将问题转化为函数或基本不等式解决.同时注意关注几何性质应用. 【例3】（2022·全国·高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【解析】∵球的体积为，所以球的半径, [方法一]：导数法 设正四棱锥的底面边长为，高为，则，, 所以，所以正四棱锥的体积，所以， 当时，，当时，，所以当时，正四棱锥的体积取最大值，最大值为，又时，，时，, 所以正四棱锥的体积的最小值为，所以该正四棱锥体积的取值范围是.故选：C. [方法二]：基本不等式法 由方法一故所以当且仅当取到， 当时，得，则 当时，球心在正四棱锥高线上，此时， ，正四棱锥体积，故该正四棱锥体积的取值范围是 【训练检测】 1.如图所示的直观图中，O'A'＝O'B'＝2，则其平面图形的面积是（　　） A.4 B.4 C.2 D.8 【解析】A　由斜二测画法可知原图为两条直角边长分别为2和4的直角三角形，如图所示，所以其面积S＝×2×4＝4，故选A. 2.解析：如图，由正方体棱长为2，得＝2×2－2××2×1－×1×1＝，又易知D1A1为三棱锥D1-A1MN的高，且D1A1＝2，∴＝＝··D1A1＝××2＝1. 2.(2023·全国甲卷)在三棱锥P­ABC中，△ABC是边长为2的等边三角形，PA＝PB＝2，PC＝，则该棱锥的体积为(　 　) A．1 B． C．2 D．3 【解析】如图，取AB的中点D，连接PD，CD，因为△ABC是边长为2的等边三角形，PA＝PB＝2，所以PD⊥AB，CD⊥AB，所以PD＝CD＝，又PC＝，所以PD2＋CD2＝PC2，所以PD⊥CD，又AB∩CD＝D，AB，CD⊂平面ABC，所以PD⊥平面ABC，所以VP­ABC＝·S△ABC·PD＝××2××＝1，故选A． 3.(2023·全国乙卷)已知圆锥PO的底面半径为，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，∠AOB＝，若△PAB的面积等于，则该圆锥的体积为(　 　) A．π B．π C．3π D．3π 【解析】在△AOB中，AO＝BO＝，∠AOB＝，由余弦定理得AB＝＝3.设等腰三角形PAB底边AB上的高为h，则S△PAB＝×3h＝，解得h＝，由勾股定理得母线PA＝＝3，则该圆锥的高PO＝＝，所以该圆锥的体积为×3π×＝π.故选B. 4．已知圆锥的底面圆心到母线的距离为2，当圆锥母线的长度取最小值时，圆锥的侧面积为（     ） A． B． C． D． 【解析】设圆锥的底半径为，母线为，高为，则 由圆锥的底面圆心到母线的距离为2，则，即 又，所以，解得 由，则 当，即时，最小值 则圆锥的侧面积为 【预习要求】 1、 认真阅读学案、熟悉本节课的“复习目标”、“重点”、“难点”； 2、 能叙述空间几何体的表面积、体积公式。 3、能合本说出空间几何体的思维导图。 高三数学 第 1 页（共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $$