精品解析： 湖北省襄阳市老河口市2024-2025学年九年级上学期期末数学试题

2024年秋初中期末学业质量综合监测 九年级数学 （本试题卷共6页，满分120分，考试时间120分钟） ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷草稿密纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将其标号在答题卡上涂黑作答． 1. 解一元二次方程最简单的方法是（ ） A. 直接开平方法 B. 配方法 C. 公式法 D. 因式分解法 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，解题的关键是要充分理解一元二次方程各种解法的应用条件． 方程左右两边都可以开平方，故直接开平方法解此方程最简单． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴采用直接开平方法最简单． 故选：A． 2. 以下是四类垃圾分类的标志图案，则四幅标志图案中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、不是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不合题意； C、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意； D、是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查了轴对称图形与中心对称图形，熟记相关定义是解答本题的关键． 3. 已知抛物线经过，两点，则与的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的特征，先求得函数的对称轴为，再判断，在对称轴右侧，从而判断出与的大小关系． 【详解】解：函数的对称轴为， 抛物线开口向上，对称轴右侧随的增大而增大， ∵，，在对称轴右侧， ． 故选：B． 4. 如图，是的直径，弦，垂足为，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了圆周角定理． 根据垂径定理得到，，然后根据圆周角定理得，，而对于与的大小关系不能判断． 【详解】解：∵是的直径，弦， ∴，，，故B，D正确，不符合题意； ∴，故A正确，不符合题意； 而无法比较的大小，故C错误，符合题意； 故选：C． 5. 下列事件属于随机事件的是（ ） A. 通常加热到时，水沸腾 B. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 C. 任意画一个三角形，其内角和为 D. 从只装有黑球的盒子里摸球，摸出黑球 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，理解并掌握必然事件，随机事件的概念及判定是解题的关键． 必然事件：在一定的条件下重复进行试验时，每次试验中必然会发生的事件叫必然发生的事件，简称必然事件；随机事件：在随机试验中，可能出现也可能不出现的事件，并且在大量重复试验中具有某种规律性的事件叫做随机事件；由此判定即可． 【详解】解：A、通常加热到时，水沸腾是必然事件，不符合题意； B、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯是随机事件，符合题意； C、任意画一个三角形，其内角和为是必然事件，不符合题意； D、从只装有黑球的盒子里摸球，摸出黑球是必然事件，不符合题意； 故选：B ． 6. 如图，DEBC，在下列比例式中，不能成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行直线所截，所得的对应线段的长度成比例． 【详解】 B.错误 故选B． 【点睛】平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行直线所截，所得的对应线段的长度成比例． 7. 将抛物线y=（x﹣2）2﹣8向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的表达式为（　　） A. y=（x+1）2﹣13 B. y=（x﹣5）2﹣3 C. y=（x﹣5）2﹣13 D. y=（x+1）2﹣3 【答案】D 【解析】 【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可． 【详解】解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线y=（x-2）2-8向左平移3个单位所得直线的解析式为： y=（x+1）2-8； 由“上加下减”的原则可知，将抛物线y=（x-5）2-8向上平移5个单位所得抛物线的解析式为： y=（x+1）2-3． 故选：D． 【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键． 8. 如图，中，弦、相交于，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了同弧所对的圆周角相等及三角形外角的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据同弧所对的圆周角相等可知，即可利用外角性质求出． 【详解】解：∵， ∴， 又∵，， ∴． 故选：C． 9. 《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲乙行各几何．”大意是说：甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3．乙一直往东走，甲先向南走10步（步是古代的长度单位），后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时甲乙各走了多少步？设甲乙二人从出发到相遇所用的时间是，下列方程正确的（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的运用，理解题目中的方位，掌握勾股定理的计算方法正确列式是解题的关键 【详解】解：甲的速度为7，乙的速度为3，设甲乙二人从出发到相遇所用的时间是， ∴甲从斜向北偏东方向走了，乙走了， ∴， 故选：A ． 10. 如图，抛物线的对称轴是直线，且经过点，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数与不等式之间的关系，二次函数的性质等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． 根据二次函数开口向上，与轴交于负半轴，得到，再由二次函数对称轴为直线，得到，由此即可判断选项A，根据二次函数与x轴有2个交点，由此即可判断选项B；当时，，结合，由此即可判断选项D；求出二次函数与轴的另一个交点坐标为，即可判断选项C． 【详解】解：∵二次函数开口向上，与轴交于负半轴， ， 抛物线的对称轴是直线， ， ， ，故A错误，不符合题意； 二次函数与x轴有2个交点， ∴，故B结论错误，不符合题意； 当时，， ∴， ∴， 故D结论错误，不符合题意； ∵二次函数经过点，对称轴为直线， ∴二次函数与轴的另一个交点坐标为， ∵当时，， 故C结论正确，符合题意； 故选：C． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）把答案填在答题卡的相应位置上． 11. 正五边形的中心角的度数是_____． 【答案】72°． 【解析】 【分析】根据正多边形的圆心角定义可知：正n边形的圆中心角为，则代入求解即可． 【详解】解：正五边形的中心角为： ． 故答案为72°． 【点睛】此题考查了正多边形的中心角的知识．题目比较简单，注意熟记定义． 12. 请写出一个开口向下，对称轴为直线的抛物线的解析式，y=_________________. 【答案】（答案不唯一）. 【解析】 【分析】依题意可知，开口向下，抛物线解析式中二次项系数为负，已知对称轴为直线x=1，顶顶点横坐标为1，纵坐标为任意数，问题可解． 【详解】解：根据顶点式，得抛物线解析式可为．答案不唯一， 13. 假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌与为雄的概率相同．如果两枚卵全部成功孵化，则两只雏鸟都为雄鸟的概率是___________． 【答案】 【解析】 【分析】用树状图法列举出所有情况，看所求的情况与总情况的比值即可得答案． 【详解】解：画树状图为： 共有4种等可能的结果，其中两只雏鸟都为雄鸟结果数为1， 故两只雏鸟都为雄鸟的概率为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了画树状图法求概率，熟练掌握树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 14. 如图，的中线，相交于点，若，则的长为________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的重心，熟练掌握三角形的重心是三角形三条边中线的交点及三角形的重心把三角形的中线分成两部分是解题的关键；因此此题可根据三角形重心的性质进行求解即可． 【详解】解：∵的中线，相交于点， ∴点O是的重心， ∴； 故答案为3． 15. 如图，将矩形绕点顺时针旋转到矩形的位置，点在上，延长交于点．若，，则的长为________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据矩形得出，，，由旋转的性质可得，勾股定理求出，连接，证明，得出，设，则，在中，勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：∵在矩形中，，， ∴，，， 由旋转的性质可得， ∵， ∴， 连接， ∵， ∴， ∴， 设， 则， 在中，， 即， 解得：， ∴， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定等知识点，解题的关键在于对知识的熟练掌握和灵活运用． 三、解答题（本大题共9个小题，共75分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并且写在答题卡上每题对应的答题区域内． 16. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，解题关键熟练掌握配方法，利用配方法解方程即可． 【详解】解：移项，得， 配方，得， 即， 开平方，得， 解得，． 17. 如图，在中，，，点是的中点，将绕点顺时针方向旋转得到，连接．求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的判定、直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关性质定理是解题的关键． 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，再根据所对的边是斜边的一半可得，然后由旋转的性质可得、，即是等边三角形，则即可证明结论． 【详解】证明：∵，点是的中点， ∴． ∵， ∴． ∵将绕点顺时针方向旋转得到， ∴，． ∴是等边三角形． ∴． ∴． ∴四边形是菱形． 18. 关于的一元二次方程的两根，满足，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系与根的判别式，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系与根的判别式是解题的关键；由题意易得，，然后根据可建立方程进行求解 【详解】解：由题意知，，． 因为， 所以． 解得，． 因为， 所以． 19. 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P、Q、S共线且直线与河垂直，接着再过点S且与垂直的直线a上选择适当的点T，确定与过点Q且垂直的直线b的交点R．如果测得，，，求河的宽度． ​ 【答案】河的宽度为 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的实际应用，证明，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 答：河的宽度为． 20. 如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左边），与轴交于点，顶点为． （1）求，，，四个点的坐标； （2）若关于的一元二次方程有两个不相等的负实数根，请直接写出的取值范围． 【答案】（1），，， （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数与坐标轴交点，顶点坐标，二次函数图象上点坐标特征． （1）分别令，，得出A，B，C的坐标，将二次函数化为顶点式，得出顶点D的坐标； （2）画出草图，数形结合即可求解． 【小问1详解】 解：当时，， 解得，， 所以，， 当时，， 所以， ， 所以顶点； 【小问2详解】 解：关于的一元二次方程有两个不相等的负实数根，即抛物线与直线的交点过点和点之间， 由图可知，当时，关于的一元二次方程有两个不相等的负实数根． 21. 如图，，分别是的直径和弦，于点．过点作的切线与的延长线交于点，交于点，连接并延长交的延长线交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据是的切线，得出．根据等腰三角形的性质得出，证明，得出，即可证明． （2）连接，根据垂径定理得出，勾股定理算出，证明．得出，．得出，再根据即可求解． 【小问1详解】 证明：连接． ∵是的切线， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴ ∴， ∵是的半径， ∴是的切线． 【小问2详解】 解：连接． ∵， ∴， ． ∵， ∴是的中位线， ∴． ∴． ∴． ∴，． ∴． ∴． ∴． 【点睛】该题主要考查了扇形面积公式，切线的性质和判定，垂径定理，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，等边三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是解题的关键． 22. 某数学兴趣小组在公园内开展综合与实践活动，根据以下素材，完成探究任务． 问题背景 公园内有一抛物线型拱桥，某校九年级数学兴趣小组对该拱桥开展了探究活动． 素材1 如图1，兴趣小组测得，在正常水位时拱顶离水面，水面宽． 素材2 公园投放游船供游客乘坐，图2是游船满载过桥洞时的横截面示意图，露出水面的船身为矩形，已知，． 素材3 如图3，以抛物线顶点为原点，以抛物线的对称轴为轴建立平面直角坐标系． 问题解决 任务1 求抛物线的函数解析式． 任务2 兴趣小组了解到，到了雨季水位会上涨，当水面比正常水位上升时，水面宽度减少多少？ 任务3 当水面比正常水位至少上升多少米时，游船满载不能从桥洞通过？ 【答案】任务1：；任务2：水面宽度减少；任务3：当水面比正常水位至少上升时，游船满载不能从桥洞通过 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式． 任务1：根据已知设这条抛物线表示的二次函数为，由题意可知，抛物线经过点，利用定定系数法二次函数解析式； 任务2：通过把代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案； 任务3：通过把代入抛物线解析式得出水面到拱顶的距离，即可得出答案． 【详解】解：任务1：设这条抛物线表示的二次函数为． 由题意可知，抛物线经过点， 可得，， ． 所以抛物线的函数解析式为． 任务2：当水面上升时，水面的纵坐标为． 由， 解得，． ． 答：水面宽度减少． 任务3：当游船顶部，刚好在抛物线上时，游船不能从桥下通过， 此时，点的横坐标为1． 当时，， 则． 答：当水面比正常水位至少上升时，游船满载不能从桥洞通过． 23. 在和中，，，，旋转，使点在内． （1）如图1，求证：； （2）当时，延长交于点． ①如图2，若，，求的长； ②如图3，连接，若点是的中点，判断线段与线段的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 即． ∵，， ∴． （2）①； ②， 理由如下： 如图3，延长交于点． AI ∵， ∴，． ∴． ∴四边形是矩形． ∵， ∴四边形是正方形． ∴，． ∴，． ∵，， ∴． ∴． ∴，． ∴． 【解析】 【分析】（1）证明，再利用已知，，即可证明结论； （2）①求出，．证明．则．得到，由（1）可知，，即可得到答案；②延长交于点．证明四边形是正方形．则，．证明，得到．得到，．即可证明． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， 即． ∵，， ∴． 【小问2详解】 解：①∵， ∴，． ∵，， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴ 同（1）可知，， ∴． ②略 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质、正方形的判定和性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质是解题的关键． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线的图象经过，两点，点为轴右侧抛物线上不与点重合的一动点，作轴于点，交直线于点，交直线于点，设点的横坐标为． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，连接，当点在上方，时，求点的坐标． （3）令． ①求关于的函数解析式； ②当时，请直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）①；②或． 【解析】 【分析】本题主要考查了求函数解析式、二次函数与几何的综合、相似三角形的判定与性质、二次函数的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）将、两点代入抛物线求得b、c的值即可解答； （2）先说明，进而得到．由、，可得、，然后代入解方程即可解答； （3）①易得直线的解析式为，然后分和两种情况分别列出函数解析式即可；②易得，即；然后分和两种情况求得m的取值范围，然后运用二次函数的性质取得取值范围即可． 【小问1详解】 解：把代入抛物线解析式得∶． 再把代入抛物线解析式得，，解得：． 所以抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：∵，， ∴轴，，，． ∵轴， ∴． ∵， ∴． ∴， ∴，即：． ∵，， ∴，． ∴．解得：，（不合题意，舍去）． ∴． 【小问3详解】 解：①由，两点坐标，运用待定系数法可求得：直线的解析式为 如图，当点在直线上方时，． ∴，． ∴． 如图，当点在直线下方时，． ，． 所以． 综上可知，． ②∵， ∴， ∵， ∴， 由，两点坐标，运用待定系数法可求得：直线的解析式为 如图，当点在直线上方时，． ∴， ∴，解得， ∵； 如图3：当时，有最大值，当时，有最小值3， ∴； 如图，当点在直线下方时，． ∴， ∴，解得， ∵； 如图3：当时，有最小值，即； 综上，当时，的取值范围或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋初中期末学业质量综合监测 九年级数学 （本试题卷共6页，满分120分，考试时间120分钟） ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷草稿密纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将其标号在答题卡上涂黑作答． 1. 解一元二次方程最简单的方法是（ ） A. 直接开平方法 B. 配方法 C. 公式法 D. 因式分解法 2. 以下是四类垃圾分类的标志图案，则四幅标志图案中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知抛物线经过，两点，则与的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法确定 4. 如图，是的直径，弦，垂足为，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列事件属于随机事件的是（ ） A. 通常加热到时，水沸腾 B. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 C. 任意画一个三角形，其内角和为 D. 从只装有黑球的盒子里摸球，摸出黑球 6. 如图，DEBC，在下列比例式中，不能成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 将抛物线y=（x﹣2）2﹣8向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的表达式为（　　） A. y=（x+1）2﹣13 B. y=（x﹣5）2﹣3 C. y=（x﹣5）2﹣13 D. y=（x+1）2﹣3 8. 如图，中，弦、相交于，，，则（ ） A. B. C. D. 9. 《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲乙行各几何．”大意是说：甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3．乙一直往东走，甲先向南走10步（步是古代的长度单位），后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时甲乙各走了多少步？设甲乙二人从出发到相遇所用的时间是，下列方程正确的（ ） A. B. C. D. 10. 如图，抛物线的对称轴是直线，且经过点，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）把答案填在答题卡的相应位置上． 11. 正五边形的中心角的度数是_____． 12. 请写出一个开口向下，对称轴为直线的抛物线的解析式，y=_________________. 13. 假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌与为雄的概率相同．如果两枚卵全部成功孵化，则两只雏鸟都为雄鸟的概率是___________． 14. 如图，的中线，相交于点，若，则的长为________． 15. 如图，将矩形绕点顺时针旋转到矩形的位置，点在上，延长交于点．若，，则的长为________． 三、解答题（本大题共9个小题，共75分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并且写在答题卡上每题对应的答题区域内． 16. 解方程：． 17. 如图，在中，，，点是的中点，将绕点顺时针方向旋转得到，连接．求证：四边形是菱形． 18. 关于的一元二次方程的两根，满足，求的值． 19. 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P、Q、S共线且直线与河垂直，接着再过点S且与垂直的直线a上选择适当的点T，确定与过点Q且垂直的直线b的交点R．如果测得，，，求河的宽度． ​ 20. 如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左边），与轴交于点，顶点为． （1）求，，，四个点的坐标； （2）若关于的一元二次方程有两个不相等的负实数根，请直接写出的取值范围． 21. 如图，，分别是的直径和弦，于点．过点作的切线与的延长线交于点，交于点，连接并延长交的延长线交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求图中阴影部分的面积． 22. 某数学兴趣小组在公园内开展综合与实践活动，根据以下素材，完成探究任务． 问题背景 公园内有一抛物线型拱桥，某校九年级数学兴趣小组对该拱桥开展了探究活动． 素材1 如图1，兴趣小组测得，在正常水位时拱顶离水面，水面宽． 素材2 公园投放游船供游客乘坐，图2是游船满载过桥洞时的横截面示意图，露出水面的船身为矩形，已知，． 素材3 如图3，以抛物线顶点为原点，以抛物线的对称轴为轴建立平面直角坐标系． 问题解决 任务1 求抛物线的函数解析式． 任务2 兴趣小组了解到，到了雨季水位会上涨，当水面比正常水位上升时，水面宽度减少多少？ 任务3 当水面比正常水位至少上升多少米时，游船满载不能从桥洞通过？ 23. 在和中，，，，旋转，使点在内． （1）如图1，求证：； （2）当时，延长交于点． ①如图2，若，，求的长； ②如图3，连接，若点是的中点，判断线段与线段的数量关系，并说明理由． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线的图象经过，两点，点为轴右侧抛物线上不与点重合的一动点，作轴于点，交直线于点，交直线于点，设点的横坐标为． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，连接，当点在上方，时，求点的坐标． （3）令． ①求关于的函数解析式； ②当时，请直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $