6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示（分层作业，3大题型）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（人教A版2019必修第二册）

6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 题型一 正交分解的理解 1．如果用分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量，且，则可以表示为（    ） A． B． C． D． 2．已知分别是方向与轴正方向、轴正方向相同的单位向量，O为原点，设(其中)，则点A位于（    ） A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知、满足，点C在内，且，设.若，则(    ) A． B．4 C． D． 题型二 用坐标表示平面向量 1．已知点，则与同方向的单位向量为（   ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量，作为基底，设（其中），则向量对应的坐标位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．点，,则向量＝（    ） A． B． C． D． 题型三 平面向量有关概念的坐标表示 1．已知为直线上的动点，点满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 2．已知为一组标准正交基，，，则在基下的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．下列命题正确的是（    ） A． B．若向量，把向右平移2个单位，得到的向量的坐标为 C．在中，是为锐角三角形的充要条件 D．在中，若为任意实数，且，则P点的轨迹经过的内心 1．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知，，记． （1）试用向量表示向量，并求向量的坐标； （2）若函数的最大值为，求实数的值． 2．已知平面直角坐标系中，，点A是坐标轴上异于原点O的一点，且，求点A的坐标. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 题型一 正交分解的理解 1．如果用分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量，且，则可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据向量的坐标表示求出，再根据正交分解即可得解. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：C. 2．已知分别是方向与轴正方向、轴正方向相同的单位向量，O为原点，设(其中)，则点A位于（    ） A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】判断与的正负，从而可得点A所在的象限. 【详解】因为分别是方向与轴正方向、轴正方向相同的单位向量，，，所以可知点A位于第四象限. 故选：D 3．已知、满足，点C在内，且，设.若，则(    ) A． B．4 C． D． 【答案】C 【分析】由知，根据题意，作出图像，根据几何关系即可求解. 【详解】根据题意可作出如图所示的几何图形， ∵，∴. ∵，故可分别作向量在方向上的分向量，， 其中. ∵点在内，且，∴，即. 又，∴，∴. 故选：C. 题型二 用坐标表示平面向量 1．已知点，则与同方向的单位向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量的坐标表示公式，结合平面向量模的运算公式进行求解即可. 【详解】由， 因此与同方向的单位向量为， 故选：A 2．在平面直角坐标系中，分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量，作为基底，设（其中），则向量对应的坐标位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】写出向量对应的坐标，通过判断坐标的正负得出答案. 【详解】向量对应的坐标为， ，， 所以向量对应的坐标位于第二象限. 故选：B. 3．点，,则向量＝（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由向量坐标的概念即可求解. 【详解】. 故选：B 题型三 平面向量有关概念的坐标表示 1．已知为直线上的动点，点满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由点坐标，得到坐标，代入直线方程即可. 【详解】设点，因为，所以， 代入直线方程可得：， 化简可得：. 所以的轨迹方程为. 故选：C 2．已知为一组标准正交基，，，则在基下的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】代入进行线性运算即可. 【详解】， 则在基下的坐标为. 故选：A. 3．下列命题正确的是（    ） A． B．若向量，把向右平移2个单位，得到的向量的坐标为 C．在中，是为锐角三角形的充要条件 D．在中，若为任意实数，且，则P点的轨迹经过的内心 【答案】D 【分析】根据向量减法法则判断A，根据向量的定义判断B，根据数量积的定义判断C，根据单位向量及向量加法的平行四边形法则判断D. 【详解】对于A：，故A错误； 对于B：向量平移后，不改变方向和模长，故平移后与平移前为相等向量， 故把向右平移2个单位，得到的向量的坐标为，故B错误； 对于C：由，即，即， 又，所以为锐角，不能得到为锐角三角形，故充分性不成立， 故C错误； 对于D：由，可得 又表示方向上的单位向量，表示方向上的单位向量， 根据向量加法的几何意义知，以和为邻边的平行四边形为菱形， 点在该菱形的对角线上，又菱形的对角线平分一组对角， 故点在的平分线上，所以点的轨迹经过的内心，故D正确. 故选：D 1．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知，，记． （1）试用向量表示向量，并求向量的坐标； （2）若函数的最大值为，求实数的值． 【答案】（1），；（2）. 【分析】（1）利用向量的加法法则，即可求解. (2)先得到的解析式，再通过换元，得到一个关于t的一元二次函数，再对m进行分类讨论，即可求出答案. 【详解】（1） （2）， 记 ①当时 ②当时舍去； ③当时舍去； 综上 2．已知平面直角坐标系中，，点A是坐标轴上异于原点O的一点，且，求点A的坐标. 【答案】或 【分析】设点A的坐标，由平面向量及其模的坐标表示即可得解. 【详解】因为，所以， 若点A在x轴上，设， 则， 所以，； 若点A在y轴上，设， 则， 所以，； 综上，点A的坐标为或. 3 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$