6.3.1 平面向量基本定理（分层作业，4大题型）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（人教A版2019必修第二册）

6.3.1平面向量基本定理 题型一 基底的概念及辨析 1．若是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据基底满足的条件逐一分析即可. 【详解】对于：， 所以为共线向量，不符合基底的定义，故错误； 对于：， 所以为共线向量，不符合基底的定义，故错误； 对于：， 所以为共线向量，不符合基底的定义，故错误； 对于：设存在唯一的实数使， 则，此方程无解，故能作为平面向量的基底.故正确. 故选：. 2．如果表示平面内所有向量的一个基底，那么下列四组向量，不能作为一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量基底的定义，结合平面向量共线定理逐一判断即可. 【详解】根据平面基底的定义知，向量为不共线非零向量，即不存在实数，使得， 对于A中，向量和，不存在实数，使得，可以作为一个基底； 对于B中，向量，假设存在实数，使得， 可得，此时方程组无解，所以和可以作为基底； 对于C中，向量和，假设存在实数，使得， 可得解得，所以和不可以作为基底； 对于D中，向量和，假设存在实数，使得， 可得此时方程组无解，所以和可以作为基底. 故选：C 3．已知，是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】由不共线的两个非零向量才可以作为基底，结合共线定理对各项逐一判断. 【详解】对于A，因为，所以与共线，不能作为基底； 对于B，设，则，解得，所以与共线，不能作为基底； 对于C，设，则，即：，此时无解，所以与不共线，可以作为基底； 对于D，设，则，即：，解得，所以与共线，不能作为基底； 故选：C. 题型二 用基底表示向量 1．在平行四边形中，点为线段的中点，点在线段上，且满足，记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的线性运算计算即可. 【详解】由题意：. 故选：B 2．在中，点O在线段BC上，且，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】利用平面向量的基本定理以及三点共线与向量的关系求解. 【详解】由B，O，C三点共线得, ， 又因为M，O，N三点共线，所以，则， 故选:D． 题型三 平面向量基本定理的应用 1．是平面内不共线两向量，已知，，，若，，三点共线，则的值为（    ） A．3 B． C． D．2 【答案】A 【分析】求出向量，再利用向量共线列式求出值. 【详解】由，，得， 由，，三点共线，得，又，不共线， 则，所以. 故选：A 2．若满足，则O为的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【分析】延长交于，延长交于，延长交于，利用共线，得出，得是的平分线，同理都是的内角平分线，从而可得为的内心. 【详解】延长交于，延长交于，延长交于， ， 又因为，所以， 而共线，则存在实数，使得， 所以. 因为不共线，所以，， 所以，所以是的平分线，同理都是的内角平分线， 所以为的内心. 故选：B. 3．已知正三角形的边长为2，点满足，且，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据及，联想到，从而取的中点，利用共线定理即可得结果. 【详解】如图，取的中点， 连接，则， 又，故三点共线， 因为，所以点在中线上运动（不含端点）． 在正三角形中，， 则，故． 故选：C. 题型四 利用平面向量基本定理求参数 1．在平面四边形中，已知的面积是的面积的2倍.若存在正实数使得成立，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】由面积比得，再利用三角形相似得到，从而利用向量的线性运算得到的关系，进而利用基本不等式“1”的妙用即可得解. 【详解】根据题意，如图，连接，设与交于点， 过点作于点，过点作于点， 若面积是面积的2倍，即， 根据相似三角形的性质可知，， ， 设， ， 即，即， ， 当且仅当，即时取等号，的最小值为1. 故选：A. 2．如图，在中，为线段上一点，且，为线段的中点，过点的直线分别交直线、于、两点，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平面向量的基本定理推导出，即，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】因为，则，所以，， 因为为的中点，则， 因为、、三点共线，设，则， 所以，， 因为，，则，， 所以，， 因为、不共线，所以，，所以，， 所以，，即， 所以， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，的最小值为. 故选：C. 3．在中， 若是的内心，的延长线交于， 则有称之为三角形的内角平分线定理， 现已知，，且， 则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由角平分线定理可得出，求得，再由角平分线定理可得，由向量相等的性质可得结果. 【详解】因为是的内心，的延长线交于， ，，， 由角平分线定理可得，可得，， 即，则， 又因为，，且为的角平分线， 所以，，所以，， 又，且向量、不共线，所以，，所以. 故选：C. 1．如图，在中，.设. (1)用表示； (2)若为内部一点，且.求证：三点共线. 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）借助向量加法法则与减法法则计算即可得； （2）借助向量线性运算法则可用表示出，再利用向量共线定理推导即可得证. 【详解】（1）， ； （2）， 又，故， 故三点共线. 2．如图所示，在中，为边上一点，且，若，，三点共线，且，. (1)用，表示； (2)求的最小值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据平面向量线性运算法则计算可得. （2）根据（1）的结论，转化用，表示，根据、、三点共线找出等量关系，再利用基本不等式求出最小值. 【详解】（1）由，得， 所以. （2）由，，，， 得，又、、三点共线，因此， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以取最小值. 3．三角形中，E为边的中点，D为边靠近点B的三等分点． (1)根据题意绘制示意图； (2)选取为向量基底，表示向量； (3)若点N满足，证明：B、N、E三点共线． 【答案】(1)图形见解析； (2)，； (3)证明见解析. 【分析】（1）根据题意，直接画图即可； （2）根据几何图形进行线性运算即可； （3）利用向量共线定理即可证明. 【详解】（1）如图，    （2）因为E为的中点，D为边上靠近点B的三等分点， 所以， 则， 所以； . （3）因为， 所以， 所以，即， 所以， 又因为有公共点， 所以三点共线.    10 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.3.1平面向量基本定理 题型一 基底的概念及辨析 1．若是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是（   ） A． B． C． D． 2．如果表示平面内所有向量的一个基底，那么下列四组向量，不能作为一个基底的是（    ） A． B． C． D． 3．已知，是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 题型二 用基底表示向量 1．在平行四边形中，点为线段的中点，点在线段上，且满足，记，则（    ） A． B． C． D． 2．在中，点O在线段BC上，且，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型三 平面向量基本定理的应用 1．是平面内不共线两向量，已知，，，若，，三点共线，则的值为（    ） A．3 B． C． D．2 2．若满足，则O为的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 3．已知正三角形的边长为2，点满足，且，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型四 利用平面向量基本定理求参数 1．在平面四边形中，已知的面积是的面积的2倍.若存在正实数使得成立，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图，在中，为线段上一点，且，为线段的中点，过点的直线分别交直线、于、两点，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．在中， 若是的内心，的延长线交于， 则有称之为三角形的内角平分线定理， 现已知，，且， 则实数（    ） A． B． C． D． 1．如图，在中，.设. (1)用表示； (2)若为内部一点，且.求证：三点共线. 2．如图所示，在中，为边上一点，且，若，，三点共线，且，. (1)用，表示； (2)求的最小值. 3．三角形中，E为边的中点，D为边靠近点B的三等分点． (1)根据题意绘制示意图； (2)选取为向量基底，表示向量； (3)若点N满足，证明：B、N、E三点共线． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$