6.2.4 向量的数量积（分层作业，10大题型）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（人教A版2019必修第二册）

6.2.4向量的数量积 题型一 平面向量数量积的定义及辨析 1．设，是两个非零向量，则“”是“与的夹角为钝角”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 2．在中，内角，，所对的边分别为，，，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 题型二 平面向量数量积的几何意义 1．点P在边长为1的正三角形的外接圆上，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．已知两个非零向量，满足，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 题型三 用定义求向量的数量积 1．若，为圆上两点，且，则（    ） A． B． C． D． 2．在边长为3的等边三角形中，，则（    ） A． B． C． D．- 题型四 数量积的运算律 1．已知向量和满足，则（   ） A．1 B． C． D．2 2．在中，则“”是“是直角三角形”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型五 已知数量积求模 1．设，为单位向量，已知，则（   ） A．0 B．1 C． D． 2．已知平面向量满足，且，则（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 题型六 向量夹角的计算 1．向量，，且，则（   ） A． B． C． D． 2．设，均为非零向量，且，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 题型七 垂直关系的向量表示 1．设为非零向量，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知单位向量与的夹角为，若，则（    ） A． B． C． D．1 题型八 已知模求数量积 1．已知向量和满足，则（    ） A．1 B． C． D．2 2．若单位向量满足．则的夹角为（   ） A． B． C． D． 题型九 已知模求参数 1．已知向量满足，，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．已知，都是单位向量，若与垂直，且，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 题型十 求投影向量 1．已知平面向量，满足，，且在上的投影向量为，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 2．已知，且在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 1．在梯形ABCD中，，P为梯形ABCD所在平面上一点，且满足，，Q为边AD上的一个动点． (1)求证：； (2)的最小值． 2．已知平面向量，且. (1)求与的夹角的值； (2)当取得最小值时，求实数的值. 3．已知在中，，，. (1)求角的大小； (2)求的长； (3)求的值． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.2.4向量的数量积 题型一 平面向量数量积的定义及辨析 1．设，是两个非零向量，则“”是“与的夹角为钝角”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【分析】根据平面向量数量积定义可知当夹角为时，数量积也成立，即可得出结论. 【详解】若，则与的夹角可能为，不一定是钝角，因此充分性不成立； 若与的夹角为钝角，则可得，因此可得，所以充分性成立， 即“”是“与的夹角为钝角”的必要不充分条件. 故选：B 2．在中，内角，，所对的边分别为，，，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量数量积的定义即可得到答案. 【详解】，即，则. 故选：B. 题型二 平面向量数量积的几何意义 1．点P在边长为1的正三角形的外接圆上，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先证明，然后给出的例子，即可得到的最大值是. 【详解】设外接圆圆心为，则，. ①一方面，我们有 . 故一定有. ②另一方面，当时，有，故在的外接圆上，此时 . 综合①②两个方面，可知的最大值是. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于对数量积的运算性质的使用. 2．已知两个非零向量，满足，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据模长相等在左右平方得出数量积，再应用投影向量公式计算求解即可. 【详解】因为，所以， 所以，所以向量在向量上的投影向量为. 故选：D. 题型三 用定义求向量的数量积 1．若，为圆上两点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取中点，然后利用向量的数量积的定义计算即得. 【详解】取中点，连接， 则，故， 所以 因为，所以， 又方向相同， 所以. 故选：C. 2．在边长为3的等边三角形中，，则（    ） A． B． C． D．- 【答案】C 【分析】由题意可得，再由向量的线性运算求解即可. 【详解】因为， 所以， 所以 . 故选：C. 题型四 数量积的运算律 1．已知向量和满足，则（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【分析】由向量垂直，模长的运算以及向量的数量积计算即可； 【详解】由题意可得，即， 又，所以， 所以， 故选：D. 2．在中，则“”是“是直角三角形”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分不必要条件的判定和向量数量积的定义和运算律即可得到答案. 【详解】，则，因为在中， 则，则，则，则是直角三角形，则充分性成立； 反过来若“是直角三角形”，则不一定是， 比如，则，则，则，则必要性不成立， 则“”是“是直角三角形”的充分不必要条件. 故选：A. 题型五 已知数量积求模 1．设，为单位向量，已知，则（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】先将计算，再计算即可求解. 【详解】根据题意有：，，， 即，所以； ，所以. 故选：C 2．已知平面向量满足，且，则（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用垂直关系的向量表示求出，再利用数量积的运算律求出答案. 【详解】依题意，由，得，则， 所以. 故选：B 题型六 向量夹角的计算 1．向量，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由可得，两边平方先求出可求出，，的值，从而可得答案. 【详解】因为，，且，所以， 所以，即，解得 又，， ， ， 所以， 故选：D. 2．设，均为非零向量，且，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平面向量垂直的条件结合数量积的定义求解夹角即可. 【详解】设与的夹角为，根据题意，可得， 所以，代入，所以， 解得，因为，所以与的夹角为． 故选：D 题型七 垂直关系的向量表示 1．设为非零向量，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】由向量的垂直与模长结合充分必要条件的概念判断即可. 【详解】因为为非零向量，若，则， 所以，，则， 反之若，所以， 所以，由于为非零向量，故， 所以，“”是“”的充要条件. 故选：C. 2．已知单位向量与的夹角为，若，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】借助单位向量定义与数量积公式计算可得，再结合模长与数量积的关系计算即可得解. 【详解】由，则， 解得，则 . 故选：A. 题型八 已知模求数量积 1．已知向量和满足，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【分析】根据向量垂直结合数量积的运算律运算求解即可. 【详解】因为，则，即， 又因为，则， 可得，即. 故选：D. 2．若单位向量满足．则的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据单位向量定义将等式平方可得，再由夹角公式计算可得结果. 【详解】由题意，， 由得， 即，所以， 设与的夹角为， 所以， 又，所以. 故选：C 题型九 已知模求参数 1．已知向量满足，，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用得，结合题意化简得，列不等式组，求解即可； 设，则，，根据方程，分离参数得，利用函数的单调性求值域即可. 【详解】方法1、因为，所以， 因为，，所以，解得， 则或，解得，则的取值范围为． ［易错］容易忽略作为分式的分母不能为0以及，从而导致取值范围错误． 方法2、 如图，设，则，， 因为，则， 当时，，且； 当时，，所以的取值范围为． 故选：C 2．已知，都是单位向量，若与垂直，且，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】先由题意结合向量垂直的表示得，再由题设两边平方计算即可得解. 【详解】由于与垂直， 所以，所以. 又由①，两边平方并化简得， 即，故，即或（不满足①，舍去）， 所以的值为. 故选：D. 题型十 求投影向量 1．已知平面向量，满足，，且在上的投影向量为，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对已知两个向量模长平方得到两个等式，由此解出，结合在上的投影向量为，解出和，从而解出与的夹角. 【详解】由，得①， 由，得②， 由②-①，得， 由，得，所以，则， 设与的夹角为，则，因为，所以. 故选：A. 2．已知，且在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据推出与的关系，再根据投影向量的定义求出在上的投影向量. 【详解】已知，将等式两边同时平方可得. 根据向量平方的展开式,所以， 化简可得，即，这表明. 根据向量投影向量的定义， 所以在上的投影向量为. 因为，所以. 则在上的投影向量为. 故在上的投影向量为. 故选：A. 1．在梯形ABCD中，，P为梯形ABCD所在平面上一点，且满足，，Q为边AD上的一个动点． (1)求证：； (2)的最小值． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）利用向量的线性运算求解即得证； （2）利用平行四边形的判定与性质知，利用数量积的定义求得，计算即可求解. 【详解】（1）连接，如图 ∵，∴ 由得 即. （2）∵，∴ 则四边形为平行四边形，∥， . 由，得， ∴，∴， 由得，，即 所以 2．已知平面向量，且. (1)求与的夹角的值； (2)当取得最小值时，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题设条件得到，然后利用数量积的定义求夹角； （2）将表示为的函数，然后求该函数的最小值. 【详解】（1）由，可得， 又，所以，又，所以； （2）因为， 所以. 所以的最小值为，且取到最小值时. 3．已知在中，，，. (1)求角的大小； (2)求的长； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据数量积公式和三角形的面积公式可得，结合角的范围即可求解； （2）由（1）求出，再根据余弦定理的长即可； （3）先由余弦定理求出角，根据二倍角公式求出与，再根据两角和的正弦公式求解即可. 【详解】（1）由题知：，， . ，，即角的大小为. （2）由（1）知：，，且， . 由余弦定理可得， ，即的长为. （3）由（1）知：，. 由余弦定理可知， ， ，. . 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $$