6.2.3 向量的数乘运算（分层作业，5大题型）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（人教A版2019必修第二册）

6.2.3向量的数乘运算 题型一 向量数乘的有关计算 1．如图，在中，是的中点.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量的线性运算可得答案. 【详解】因为是的中点，，， 所以 . 故选：C. 2．下列关于向量的线性运算，不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的线性运算法则逐项判断. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，由数乘向量的运算律知，，D正确. 故选：B. 题型二 平面向量混合运算 1．已知在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，点E满足，记，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量的线性运算求解即可. 【详解】因为，所以， 因为，， 所以． 故选：A 2．已知向量，化简（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量的线性运算计算即得. 【详解】. 故选：C 题型三 向量线性运算的几何应用 1．已知在平行四边形中，为的中点，为线段上靠近点的三等分点.设，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的线性运算即可求解. 【详解】如图所示，由题意得 ， 故选:A. 2．如图，在中，是的中点．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量的线性运算可得答案. 【详解】因为是的中点， 所以，则 故选：C. 题型四 三角形的心的向量表示 1．已知，若点P满足，其中，则点P的轨迹一定通过的（    ） A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心 【答案】B 【分析】先根据单位向量的加法得出点在角平分线上进而得出轨迹过内心即可. 【详解】指向角A的平分线方向， 而与是平行的，所以依旧指向角A的平分线方向， 所以点P的轨迹即为角A的平分线及其反向延长线.而内心一定落在角A的平分线上， 所以点P的轨迹会经过内心. 故选：B. 2．已知，向量，，满足条件，．则 是（    ） A．等腰直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 【答案】C 【分析】首先由条件判断点是的重心和外心，再根据几何性质判断三角形的形状. 【详解】如图，点是的中点，所以， 因为，即，即， 则点三点共线，且，所以点是的重心， 又，所以点是的外心，则，即， 所以，同理，则，    所以是等边三角形. 故选：C 题型五 根据向量关系判断三角形的心 1．已知，，，是平面上的4个定点，，，不共线，若点满足，其中，则点的轨迹一定经过的（    ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 【答案】A 【分析】取线段的中点，则，依题可得，即可得答案. 【详解】取线段的中点，则. 动点满足：，， 则，即，所以， 又，所以三点共线，即点的轨迹是直线， 一定通过的重心. 故选：A. 2．已知外接圆圆心为，为所在平面内一点，且，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 取的中点，根据题意，可得为的重心，则在上，又，可得，所以，，，四点共线，根据三角形的性质，设，即可求得答案. 【详解】取的中点，连接，则， 由，知为的重心，则在上， 所以，而， 所以，，，四点共线，所以，即， 不妨令，则，，则， 所以．    故选：D． 1．已知正方形的边长为2，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由向量的线性运算结合向量的模长概念即可求解. 【详解】． 故选：C． 故选：B. 2．化简： (1)； (2)； (3) 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）（2）（3）直接由向量的线性运算即可得到结果. 【详解】（1）； （2）； （3）. 3．如图，在四边形中，为对角线与中点连线的中点，为平面上任意给定的一点．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】根据向量加法的法则及向量数乘的几何意义证明即可． 【详解】证明：因为分别为的中点， 所以， 所以， 所以． 5 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.2.3向量的数乘运算 题型一 向量数乘的有关计算 1．如图，在中，是的中点.若，则（    ） A． B． C． D． 2．下列关于向量的线性运算，不正确的是（   ） A． B． C． D． 题型二 平面向量混合运算 1．已知在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，点E满足，记，，则（   ） A． B． C． D． 2．已知向量，化简（    ） A． B． C． D． 题型三 向量线性运算的几何应用 1．已知在平行四边形中，为的中点，为线段上靠近点的三等分点.设，，则（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，是的中点．若，则（    ） A． B． C． D． 题型四 三角形的心的向量表示 1．已知，若点P满足，其中，则点P的轨迹一定通过的（    ） A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心 2．已知，向量，，满足条件，．则 是（    ） A．等腰直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 题型五 根据向量关系判断三角形的心 1．已知，，，是平面上的4个定点，，，不共线，若点满足，其中，则点的轨迹一定经过的（    ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 2．已知外接圆圆心为，为所在平面内一点，且，若，则（    ） A． B． C． D． 1．已知正方形的边长为2，则（    ） A． B． C． D． 2．化简： (1)； (2)； (3) 3．如图，在四边形中，为对角线与中点连线的中点，为平面上任意给定的一点．求证：． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$