11.4.1 课时2 直线与平面垂直的性质定理及应用 课件-2024-2025学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第四册

11.4.1 课时2 直线与平面垂直的性质定理及应用 作者编号：32100 1.掌握线面垂直的性质定理，并能应用.（重点） 2.掌握直线与平面所成角的定义.（重点） 3.理解三垂线定理并能灵活应用. 4.灵活运用直线与平面垂直的判定定理和性质定理处理空间垂直问题.（难点） 学 习 目 标 作者编号：32100 a b α （一）直线与平面垂直的性质 l m 如果在两条平行直线中,有一条垂直于平面,那么另一条直线和这个平面的位置关系如何？ 也垂直于这个平面. 推论1：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面． 证明：在平面 α 内取两条相交直线 a，b． ∴ b⊥α． 又 a，b 是平面 α 内的两条相交直线， ∴ m⊥a， m⊥b． ∵ l∥m， ∴ l⊥a， l⊥b， ∵ l⊥α， 思考1 新 课 讲 授 作者编号：32100 a b 平行 如果两条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行. 记作： l⊥α，m⊥α ⇒ l∥m. 直线与平面垂直的性质定理： α m l a b 如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线是什么位置关系？ 思考2 作者编号：32100 l A O 证明：如图，假设直线m不与直线l平行， 过直线m与平面α的交点，作直线m′∥l, 由直线与平面垂直的判定定理的推论可知m′ 设m和m ′确定的平面为β，α与β的交线为, m′ a m α β 因为直线m和m ′都垂直于平面α. 所以直线m和m ′都垂直于交线. 因为在同一平面内，通过直线上一点并与已知直线垂直的直线不可能有两条， 所以直线m和m ′必重合，即//m. 新 课 讲 授 作者编号：32100 （二）直线与平面垂直的应用 直线与平面垂直是直线与平面相交时的一种特殊情况，当它们不垂直时，可以发现不同的直线与平面相交的情况也是不同的，如何刻画这种不同？ α l P A θ 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角． 若直线l与平面α垂直，则称它们所成的角为90°； 若直线l在平面α内，则称它们所成的角为0°． 直线与平面所成的角θ的取值范围为0°≤θ≤90°． 斜线 斜足 射影 (直线) 3.直线与平面所成的角 思考1 新 课 讲 授 作者编号：32100 例3 如图所示，三棱锥S-ABC中，AB⊥BC，且AB=BC=2， 求三棱锥的体积. 解：设S在底面的射影为O，则由SA=SB=SC，由OA=OB=OC，即O为△ABC的外心，又因为△ABC是直角三角形，所以O是线段AC的中点. 因为 所以 ，又因为是直角三角形，从而 因此所求体积为 新 课 讲 授 作者编号：32100 证明：因为 AB⊥α，l ⊂ α，所以 AB⊥l； 又因为 l⊥BC 且 AB∩BC = B，所以 l⊥面ABC， 而且 AC ⊂ 面ABC，所以 l⊥AC. 例4 如图所示，已知 AB 是平面 α 的一条垂线，AC 是平面 α 的一条斜线，l ⊂ α，l⊥BC. 求证：l⊥AC. A α B C l 小结： 平面内垂直于射影的直线也垂直于斜线. 新 课 讲 授 作者编号：32100 D 当 堂 检 测 作者编号：32100 2.如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，直线BC1与平面A1B1C1D1所成的角为(　　) A．30°　　 B．45° C．60° D．135° B 当 堂 检 测 作者编号：32100 当 堂 检 测 作者编号：32100 4.在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,PA⊥平面ABCD,且PA=1,取对角线BD上一点E,连接PE,PE⊥DE,则PE的长为　　　　　.  解:如图所示,连接AE. 因为PA⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD, 所以PA⊥BD.又因为BD⊥PE,PA∩PE=P, 所以BD⊥平面PAE,所以BD⊥AE. 所以AE=.所以在Rt△PAE中, 由PA=1,AE=,得PE=. 当 堂 检 测 作者编号：32100 本节课你学到了哪些知识？ 课 堂 总 结 作者编号：32100 1．下列条件中，能使直线m⊥α的是(　　) A．m⊥b，m⊥c，b⊂α，c⊂α B．m⊥b，b∥α C．m∩b＝A，b⊥α D．m∥b，b⊥α 3．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中AB1与平面ADD1A1所成的角等于________，AB1与平面DCC1D1所成的角等于________． 45°　0°　[∠B1AA1为AB1与平面ADD1A1所成的角， 即45°；AB1与平面DCC1D1平行，即所成的角为0°.] $$