11.4.1 课时1 线面角及直线与平面垂直的判定定理 课件-2024-2025学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第四册

11.4.1 课时1 线面角及直线与平面垂直的判定定理 作者编号：32100 1.理解异面直线所成的角. 2.了解直线与平面垂直的定义. 3.掌握直线与平面垂直的判定定理. 学习目标 作者编号：32100 我们认为旗杆与地面的位置关系是垂直的，若将火箭视为直线，搭载在发射塔上的火箭跟地面也是垂直关系.由此思考： (1)空间中如何判定两条直线是否垂直？ (2)能否根据直线与直线的垂直，判定直线与平面的垂直？ 情景导入 作者编号：32100 （一）直线与直线所成的角 1.两条相交直线所成角的大小： 指的是它们相交所得到的不大于直角的角的大小. 范围：【0°,90°】 4 2 3 1 平面内两条相交直线所成角怎么定义? 思考 新知讲授 作者编号：32100 如图所示的正方体中，AB与B1C1异面，AB与B1D1也异面. (1) 直观上，你认为这两种异面有什么区别？ (2) 如果要利用角的大小来区分这两种异面，你认为该怎样做？ 如图中，AB与B1C1所成角的大小，等于A1B1与B1C1所成角的大小，即为　 ；AB与B1D1所成角的大小，等于A1B1与B1D1所成角的大小，即为　 . 90° 45° C1 A B1 C B A1 D1 D 新知讲授 作者编号：32100 2.异面直线所成的角 异面直线所成角范围（0°,90°] 一般地，如果是空间中的两条异面直线，过空间中的任意一点，分别作与平行或重合的直线′,′,则′与′所成角的大小，称为异面直线与所成角的大小. α 新知讲授 作者编号：32100 3.两条平行直线所成的角 规定空间中两条平行直线所成角的大小为 . 0° 4.两条直线的夹角 两条直线所成的角也称为这两条直线的夹角. 5.空间中两条直线垂直 空间中两条直线l，m所成角的大小为90°时，称l与m垂直，记作 . 若a∥b且b⊥c，则一定有 . l⊥m a⊥c 新知讲授 作者编号：32100 例1 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为C1D1的中点,则异面直线AE与A1B1所成角的余弦值为　　　　　.  解析:设棱长为1,因为A1B1∥C1D1, 所以∠AED1就是异面直线AE与A1B1所成的角. C1 A B1 C B A1 D1 D E 新知讲授 作者编号：32100 1.如图所示，空间四边形ABCD中，AB=CD,AB⊥CD,E、F分别为BC、AD的中点，求EF和AB所成的角. 练一练 作者编号：32100 （二）直线与平面垂直的定义 A B o 一支笔固定，另一只笔绕着第一支笔的中点保持垂直同时旋转，请观察第二支笔所在的直线的运动轨迹是什么？第一支笔与这个轨迹的位置关系是什么？ 思考 新知讲授 作者编号：32100 (1)文字叙述：如果直线l与平面α内过它们公共点的所有直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直． (2)符号表示： (3)图形表示： （二）直线与平面垂直的定义 l⊥a⇔∀m⊂α，l⊥m. 新知讲授 作者编号：32100 2.判断正误. ①若直线l垂直于平面α内任意直线,则有l⊥α. ( ) ②垂直于同一条直线的两条直线平行. ( ) ③垂直于同一条直线的两条直线垂直. ( ) ④垂直于同一个平面的两条直线平行. ( ) ⑤垂直于同一条直线的直线和平面平行. ( ) (2)直线l⊥平面α,直线m⊂α,则l与m不可能 ( ) A.平行 B.相交 C.异面 D.垂直. 答案:（1）①√，②×，③×，④√，⑤×；（2）A.　 练一练 作者编号：32100 （三）直线与平面垂直的判定 过纸片△ABC的顶点A翻折纸片,得折痕AD,将翻折后的纸片竖放在桌面上(BD,DC与桌面接触)如图所示. A B D C A D C B 新知讲授 作者编号：32100 a D B A C B D C 容易发现，当且仅当折痕AD是BC边上的高时，AD所在直线与桌面所在平面α垂直。 A 新知讲授 作者编号：32100 (1)文字叙述：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直． 直线与平面垂直的判定定理 (2)图形语言： (3)符号语言： 新知讲授 作者编号：32100 试一试： 找出几何体(正方体一角)中的线面垂直关系. A C D B E AC ⊥面BCD BC⊥面ACD DC⊥面ABC BD⊥面ACE 新知讲授 作者编号：32100 分析：根据线面垂直的判定定理，只需检测直杆是否与地面上的两条相交直线垂直即可，又因为利用米尺可以量长度，所以可以借助勾股定理来检测。 D C a B A 地面上插有一根直杆，将地面看成平面，直借助于绳子与米尺，你能检测出直杆与地面是否垂直吗？说说你的方案和理由. 思考 新知讲授 作者编号：32100 例2 有一根旗杆AB高8 m,它的顶端A挂着两条长10 m的绳子，拉紧绳子,并把它的下端放在地面上的两点C,D (和旗杆脚不在同一条直线上), 如果这两点都和旗杆脚B的距离是6 m，那么旗杆就和地面垂直，为什么？ D C a B A 解：在△ABC和△ABD中，因为AB=8 m，BC=BD=6 m，AC=AD=10 m， 所以 AB2+BC2=82+62=102=AC2. AB2+BD2=82+62=102=AD2. 所以∠ABC=∠ABD=90°， 即AB⊥BC，AB⊥BD. 又知B，C，D三点不共线, 因此AB⊥平面BCD，即旗杆和地面垂直. 作者编号：32100 S A B C D O 例3 如图所示的四棱锥 S-ABCD 中，已知 ABCD 是一个平行四边形，AC∩BD = O，且 SA = SC，SB = SD. 求证：SO⊥面ABCD. 证明：由已知可得 O 为 AC 的中点. 在 △SAC 中，因为 SA = SC，且 AO = OC， 所以由等腰三角形三线合一可知 SO⊥AC； 同理，SO⊥BD. 又因为 AC∩BD = O，所以 SO⊥面ABCD. 作者编号：32100 例4 如图所示,直角△ABC所在平面外有一点S,且SA=SB=SC,点D为斜边AC的中点. (1)求证:SD⊥平面ABC; (2)若AB=BC,求证:BD⊥平面SAC. 证明:(1)因为SA=SC,D为AC的中点,所以SD⊥AC. 则AD=DC=BD,又因为SB=SA,SD=SD, 所以△ADS≌△BDS.所以SD⊥BD. 又AC∩BD=D,所以SD⊥平面ABC. 在Rt△ABC中,连接BD. 作者编号：32100 (2)因为BA=BC,D为AC的中点,所以BD⊥AC. 又由(1)知SD⊥BD, AC∩SD=D,所以BD⊥平面SAC. 例4 如图所示,直角△ABC所在平面外有一点S,且SA=SB=SC,点D为斜边AC的中点. (2)若AB=BC,求证:BD⊥平面SAC. 作者编号：32100 3.如图所示，在三棱锥P－ABC中，H为△ABC的垂心，AP⊥BC，PC⊥AB，求证：PH⊥平面ABC． 练一练 作者编号：32100 1．直线与平面垂直的概念 （1）利用定义: （2）利用判定定理: 2．直线与平面垂直的判定 线线垂直 线面垂直 垂直于平面内任意一条直线 本节课你学到了哪些知识？ 课堂小结 作者编号：32100 在△AED1中,cos∠AED1=. 答案: 解　如图所示，取BD的中点G，连接EG、FG. ∵E、F分别为BC、AD的中点，AB＝CD， ∴EG∥CD，GF∥AB，且EG＝eq \f(1,2)CD，GF＝eq \f(1,2)AB． ∴∠GFE就是EF与AB所成的角，EG＝GF. ∵AB⊥CD，∴EG⊥GF.∴∠EGF＝90°. ∴△EFG为等腰直角三角形．∴∠GFE＝45°， ∴EF和AB所成的角是45°. 证明：连接AH， ∵H为△ABC的垂心， ∴AH⊥BC，又AP⊥BC， AH∩AP＝A，AH，AP⊂平面AHP， ∴BC⊥平面AHP，又PH⊂平面AHP， ∴PH⊥BC．同理可证PH⊥AB．又AB∩BC＝B， AB，BC⊂平面ABC，∴PH⊥平面ABC． $$