11.4.1 课时1 线面角及直线与平面垂直的判定定理课件-2024-2025学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第四册

11.4.1 课时1 线面角及直线与平面垂直的判定定理 作者编号：32100 1.理解异面直线所成的角. 2.了解直线与平面垂直的定义. 3.掌握直线与平面垂直的判定定理. 学 习 目 标 作者编号：32100 (一) 直线与直线所成角 这四个角中，与是对顶角，与是邻补角. 习惯上，两条相交直线所成角的大小，指的是它们相交所得到的不大于直角的角的大小. 如图，两条直线相交，可以形成四个角，那么哪个角是这两条直线所成的角呢？ 思考1 4 2 3 1 新 课 讲 授 作者编号：32100 A B1 C B A1 D1 D C1 由等角定理可知，平行线所夹的角相等 一般地，如果是空间中的两条异面直线，过空间中的任意一点，分别作与平行或重合的直线′,′,则′与′所成角的大小，称为异面直线与所成角的大小. α 异面直线等于. 1.异面直线所成角的定义： 如图所示正方体中，异面直线与所成角怎么定义？ 提问 作者编号：32100 2.直线与直线所成角的范围： 规定：空间中两条平行直线所成角的大小为 两条直线所成的角也称为这两条直线的夹角. 空间中两条直线所成角的大小为时，称与垂直，记作. 因此，两条直线夹角的范围是：,两条异面直线夹角的范围是： 新 课 讲 授 作者编号：32100 A B1 C B A1 D1 D C1 不一定相交，如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为直角，则称这两条直线互相垂直. A1A⊥AB（相交垂直） C1C⊥AB（异面垂直） 如图，则有 与夹角为90，这两条直线互相垂直. 空间两条直线垂直，它们一定相交吗？ 提问 如图所示正方体中，与异面，与也异面，你认为有什么区别. 思考2 作者编号：32100 （二）直线与平面垂直的定义 A B o l o A B 空间中线段AB的所有垂直平分线构成的集合是一个平面（不妨设为平面）. 如图，固定线段AB不变，线段AB的垂直平分线绕点旋转，构成的集合是怎样的图形？ 思考3 新 课 讲 授 作者编号：32100 O o A B 直线与平面垂直的充要条件→ 直线与平面内的任意直线都垂直. 直线与平面垂直的定义： o α A B 符号语言： 线段AB所在的直线与平面给我们垂直的感觉，什么是直线与平面垂直，如何定义？ 思考4 新 课 讲 授 作者编号：32100 A B 例如，旗杆与地面垂直，旗杆与地面上的影子都垂直. 新 课 讲 授 作者编号：32100 这条直线叫做 ，这个平面叫做 . 交点叫做 .垂线上任意一点到垂足间的线段,叫做这个点到这个平面的 ,垂线段的长度叫做这个点到平面的距离. 垂线 垂面 垂足 O α A B 平面的垂线 直线的垂面 垂足 垂线段 新 课 讲 授 作者编号：32100 定义兼具两重性，既是判定又是性质. 判定是指：如果一条直线垂直一个平面内的任意一条直线，那么这条直线与这个平面垂直，这是证明直线与平面垂直的一种方法； 性质是指：如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的任意一条直线. 这是判定线线垂直的一种方法 对判线面垂直定义的再认识： 新 课 讲 授 作者编号：32100 需要验证平面内的每一条直线是否和已知直线垂直，很难操作！ （三）直线与平面垂直的判定 对于一条直线和一个平面，如果根据定义来判断它们是否垂直，需要解决什么问题？ 思考1 线面垂直的定义： 直线与平面内的任意直线都垂直. 新 课 讲 授 作者编号：32100 可去掉，但至少保留两页， H G F E D C B A 由此我们可以得到直线与平面垂直的判定方法. 如图，使书脊AB与桌面垂直，可否将若干书页去掉，但至少保留几页？ 思考2 新 课 讲 授 作者编号：32100 1.直线与平面垂直的判定定理 文字语言：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直. 图形语言： 符号语言： l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α， m∩n ≠ ∅ ⇒ l⊥α. α l O 线不在多，相交则灵 简记：线线垂直,则线面垂直. 新 课 讲 授 作者编号：32100 例1 有一根旗杆AB高8 m,它的顶端A挂着两条长10 m的绳子，拉紧绳子,并把它的下端放在地面上的两点C,D (和旗杆脚不在同一条直线上), 如果这两点都和旗杆脚B的距离是6 m，那么旗杆就和地面垂直，为什么？ D C a B A 解：在△ABC和△ABD中，因为AB=8 m，BC=BD=6 m，AC=AD=10 m， 所以 AB2+BC2=82+62=102=AC2. AB2+BD2=82+62=102=AD2. 所以∠ABC=∠ABD=90°， 即AB⊥BC，AB⊥BD. 又知B，C，D三点不共线, 因此AB⊥平面BCD，即旗杆和地面垂直. 作者编号：32100 证明：由已知可得 O 为 AC 的中点. 在 △SAC 中，因为 SA = SC，且 AO = OC， 所以由等腰三角形三线合一可知 SO⊥AC； 同理，SO⊥BD. 又因为 AC∩BD = O，所以 SO⊥面ABCD. 例2 如图所示的四棱锥 S-ABCD 中，已知 ABCD 是一个平行四边形，AC∩BD = O，且 SA = SC，SB = SD. 求证：SO⊥面ABCD. S A B C D O 作者编号：32100 D 当 堂 检 测 作者编号：32100 2.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，面对角线AC与体对角线D1B的位置关系是(　　) A．平行 B．垂直 C．相交 D．以上都有可能 B　 当 堂 检 测 作者编号：32100 3.如图所示，在三棱锥P－ABC中，H为△ABC的垂心，AP⊥BC，PC⊥AB，求证：PH⊥平面ABC． 当 堂 检 测 作者编号：32100 本节课你学到了哪些知识？ 1.线面垂直的概念 2.如何判定线面垂直 3.转化思想：线面垂直线线垂直 课 堂 总 结 作者编号：32100 1.下列说法中正确的个数是(　　) ①如果直线l与平面α内的两条相交直线都垂直，则l⊥α； ②如果直线l与平面α内的任意一条直线垂直，则l⊥α； ③如果直线l不垂直于α，则α内没有与l垂直的直线； ④如果直线l不垂直于α，则α内也可以有无数条直线与l垂直． A．0 B．1　　　　 C．2　　　　 D．3 证明：连接AH， ∵H为△ABC的垂心， ∴AH⊥BC，又AP⊥BC， AH∩AP＝A，AH，AP⊂平面AHP， ∴BC⊥平面AHP，又PH⊂平面AHP， ∴PH⊥BC．同理可证PH⊥AB．又AB∩BC＝B， AB，BC⊂平面ABC，∴PH⊥平面ABC． $$