2025年九年级中考数学一轮复习考点通关课件：全等三角形

　全等三角形 1．⑤ 分别相等的两个三角形全等(简写成“边边边”或“SSS”) 2．两边和它们的⑥ 分别相等的两个三角形全等(简写成“边角边” 或“SAS”) 3．两角和它们的⑦ 分别相等的两个三角形全等(简写成“角边角” 或“ASA”) 4．两角分别相等且其中一组等角的⑧ 相等的两个三角形全等(简写成 “角角边”或“AAS”) 5．斜边和⑨ 分别相等的两个直角三角形全等(简写成“斜边、 直角边”或“HL”) 一条直角边 对边 夹边 夹角 判 定 三边 性 质 1．全等三角形的对应边① ，对应角② 2．全等三角形对应的中线、高、角平分线、中位线都相等 3．全等三角形的周长③ ，面积④ 相等 相等 相等 相等 夯基础 知识梳理 【易错提示】1．在写三角形全等时，对应顶点必须放在对应位置上． 2．“HL”只适用于直角三角形的全等判定． 证明三角形全等的思路 已知两边 已知一边 和一角 找第三边(SSS) 找夹角(SAS) 找直角(HL) 边为角 的邻边 找这边的另一邻角(ASA) 找这个角的另一条邻边(SAS) 找边的对角(AAS) 边为角 的对边 找任一角(AAS) 已知角是直角，找邻边(HL) 已知两角 找两角的夹边(ASA) 找除夹边外的任一边(AAS) 重点1 固考点 重难突破 例1 全等三角形的判定 (1)如图①，在△ABC中，F，E分别是AB，AC上的点，连接BE，CF．若BF＝CE，CF＝BE．求证：△BFC≌△CEB． 图① 【解答】在△BFC和△CEB中， ∴△BFC≌△CEB(SSS)． (2)如图②，在△ABC中，F，E分别是AB，AC上的点，D，G是BC上两点，且BD＝CG，连接DE，FG．若DE∥AB，FG∥AC．求证：△FBG≌△EDC． 【解答】∵DE∥AB，FG∥AC， ∴∠B＝∠EDC，∠BGF＝∠C． ∵BD＝CG，∴BD＋DG＝CG＋DG，即BG＝DC． 在△FBG和△EDC中， ∴△FBG≌△EDC(ASA)． 图② (3)如图③，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，E，F分别是AC，AB上的点，且CE＝BF．求证：△BDF≌△CDE． 图③ 【解答】∵AB＝AC，D是BC的中点， ∴∠B＝∠C，BD＝CD． 在△BDF和△CDE中， ∴△BDF≌△CDE(SAS)． (4)如图④，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AC于点E，DF⊥AB于点F，且BF＝CE．求证：△BDF≌△CDE． 图④ 【解答】∵DE⊥AC，DF⊥AB， ∴∠DEC＝∠DFB＝90°． ∵D是BC的中点，∴BD＝CD． 在Rt△BDF和Rt△CDE中， ∴Rt△BDF≌Rt△CDE(HL)． (5)如图⑤，在△ABC中，D是BC的中点，连接AD，DE⊥AC于点E，DF⊥AB于点F，且∠BDF＝∠CDE．求证：△FDB≌△EDC． 图⑤ 【解答】∵DF⊥AB，DE⊥AC， ∴∠DFB＝∠DEC＝90°． ∵D是BC的中点，∴BD＝CD． 在△FDB和△EDC中， ∴△FDB≌△EDC(AAS)． 方法指导 模型1　平移全等模型 模型描述 两个三角形有一组边共线，另外两组边分别平行 模型呈现 模型结论 (1)利用平行线的性质找角相等． (2)在共线上加(或减)公共线段可构造边相等 方法指导 模型2　轴对称全等模型 模型描述 两个三角形组成的图形是轴对称图形 有公 共边 有公共 顶点 模型结论 (1)注意其中隐含的公共边或公共角． (2)在公共顶点处加(或减)公共角可构造角相等． (3)注意利用“等边对等角” 重点2 例2 与全等三角形有关的证明及计算 已知△ABC． (1)如图①，AD⊥BC于点D，E是AD上一点，连接BE并延长交AC于点F．若AD＝BD，CD＝DE，∠DBE＝30°，DC＝2，求BF的长． 【解答】∵AD⊥BC，∴∠ADC＝∠BDE＝90°． 又∵BD＝AD，DE＝DC＝2， ∴△BDE≌△ADC(SAS)，∴∠DAC＝∠DBE，AC＝BE． ∵∠DBE＝30°，∴BE＝AC＝4，AD＝BD＝2， ∴AE＝AD－DE＝22． 又∵∠BED＝∠AEF，∴△AEF∽△BED，∴∠AFE＝∠BDE＝90°， ∴EFAE1，∴BF＝BE＋EF＝41＝3 图① (2)如图②，D是BC的中点，连接AD，E是线段AD上一点，延长BE至点G，使BG＝BC，BG交AC于点F，且AF＝CF．若E恰好为BG的中点， BD2＝DE·AD，求的值． 图② 【解答】∵D，E分别为BC，BG的中点， ∴BD＝BC，DE是△BCG的中位线， ∴DE∥CG，DE＝CG，∴∠EAF＝∠GCF. 在△AEF和△CGF中， ∴△AEF≌△CGF(ASA)， ∴AE＝CG，∴DE＝AE，∴AD＝AE. ∵BD2＝DE·AD＝AE·AE＝AE2， 即BD＝AE，∴BG＝BC＝2BD＝AE，∴. 1．(2023·凉山9题4分)如图，在△ABF和△DCE中，点E，F在BC上，BE＝CF，∠B＝∠C，添加下列条件仍无法证明△ABF≌△DCE的是 ( ) 全等三角形的判定 D 明方向 中考再现 命题点1 A．∠AFB＝∠DEC B．AB＝DC C．∠A＝∠D D．AF＝DE ② ① A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 2．(2024·遂宁9题4分)如图①，△ABC与△A1B1C1满足∠A＝∠A1，AC＝A1C1，BC＝B1C1，∠C≠∠C1，我们称这样的两个三角形为“伪全等三角形”，如图②，在△ABC中，AB＝AC，点D，E在线段BC上，且BE＝CD，则图中共有“伪全等三角形”( ) D 【解析】∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.在△ABE和△ACD中， ∴△ABE≌△ACD(SAS)，∴AD＝AE.∵AB＝AB，∠B＝∠B，AD＝AE，∠BAD≠∠BAE，∴△ABD和△ABE是一对“伪全等三角形”.同理可得，△ABD和△ACD是一对“伪全等三角形”，△ACD和△ACE是一对“伪全等三角形”，△ABE和△ACE是一对“伪全等三角形”.综上所述，题图中共有“伪全等三角形”4对.故选D. 3．(2024·成都19题4分)如图，△ABC≌△CDE，若∠D＝35°，∠ACB ＝45°，则∠DCE的度数为 ． 与全等三角形有关的证明与计算 100° 命题点2 4．(2024·宜宾21题10分)如图，点D，E分别是等边三角形ABC的边BC，AC上的点，且BD＝CE，BE与AD交于点F．求证：AD＝BE． 证明：∵△ABC为等边三角形， ∴∠ABD＝∠C＝60°，AB＝BC． 在△ABD和△BCE中， ∴△ABD≌△BCE(SAS)， ∴AD＝BE． 5．(2024·南充18题8分)如图，在△ABC中，D为BC边的中点，过点B作BE∥AC交AD的延长线于点E． (1)求证：△BDE≌△CDA． (2)若AD⊥BC，求证：BA＝BE． 证明：(1)∵D为BC的中点，∴BD＝CD. ∵BE∥AC， ∴∠EBD＝∠C，∠E＝∠CAD. 在△BDE和△CDA中， ∴△BDE≌△CDA(AAS). 证明：(2)∵D为BC的中点，AD⊥BC， ∴直线AD为线段BC的垂直平分线， ∴BA＝CA. 由(1)可知△BDE≌△CDA， ∴BE＝CA，∴BA＝BE. $$