2025年九年级中考数学一轮复习考点通关课件：解直角三角形及其应用

解直角三角形及其应用 夯基础 知识梳理 锐角三 角函数 定义：如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A为△ABC中的一个锐角，则有 ∠A的正弦：sin A ∠A的余弦：cos A____ ∠A的正切：tan A______ 特殊角的三角函数值　 α的度数 30° 45° 60°   sin α ③______ cos α ④____   tan α 1 ⑤___ ① 如图②，在Rt△ABC中，∠C为直角，三边长分别为a，b，c 1．三边关系：a2＋⑥ ＝c2 2．三角关系：∠A＋⑦ ＝∠C＝90°　　　 3．边角间关系：sin Acos B； cos A⑧ ； tan A＝⑨  sin B ∠B ② b2 直角三角形的边角关系 解直角三角形的实际应用 仰角、俯角 坡度(坡比)、坡角 方向角 坡度(坡比)i＝tan α＝⑩ ， 其中α为坡角 重点 固考点 重难突破 例 解直角三角形的实际应用 (2024·成都青羊区二诊)在汉代之后，荡秋千逐渐成为清明、端午等节日进行的民间习俗活动并流传．现在也深受儿童的喜爱．如图是成都市某公园的秋千，秋千链子的长度为3.2 m，当秋千静止时，座板离地面的高度为CN的长，当摆角∠AOC为30°时，座板离地面的高度AM为1 m，当摆动至最高位置时，摆角∠BOC为60°，求座板距地面的最大高度．(结果精确到0.1 m．参考数据：1.73) 【解答】如答图，过点A作AD⊥ON，垂足为D，过点B作BE⊥ON，垂足为E． 由题意得AM＝DN＝1 m，AO＝BO＝3.2 m． 在Rt△AOD中，∠AOD＝30°， ∴ADAO＝1.6(m)，ODAD(m)． 在Rt△OBE中，∠BOE＝60°， ∴OE＝OB·cos 60°＝3.21.6(m)， ∴EN＝OD＋DN－OE1－1.6≈2.2(m)． 答：座板距地面的最大高度约为2.2 m． 针对训练 (2024·泸州纳溪区适应性考试)某商店窗前计划安装如图①所示的遮阳棚，其截面图如图②所示，在截面图中，墙面BC垂直于地面CE，遮阳棚与墙面连接处点B距地面3 m，即BC＝3 m，遮阳棚AB与窗户所在墙面BC垂直，即∠ABC＝∠BCE＝90°．假设此地正午时太阳光与地面的夹角恰为60°(若经过点A的光线恰好照射在地面点D处，则∠ADE＝60°)，为使正午时窗前地面上能有1 m宽的阴影区域，即CD＝1 m．求遮阳棚的宽度AB．(结果精确到0.1 m．参考数据：1.73) 解：过点D作DF⊥AB，垂足为F，如答图， ∴∠DFB＝∠DFA＝90°. ∵∠ABC＝∠BCE＝90°， ∴四边形FBCD是矩形， ∴BC＝DF＝3 m，CD＝BF＝1 m，AB∥CE， ∴∠BAD＝∠ADE＝60°. 在Rt△ADF中，AF＝(m)， ∴AB＝AF＋BF＝＋1≈2.7(m). 答：遮阳棚的宽度AB约为2.7 m. 答图 1．(2023·攀枝花6题5分)在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a， b，c．已知a＝6，b＝8，c＝10，则cos A的值为( )　　　　　　　　　　　　 A B C D C 解直角三角形 明方向 中考再现 命题点1 A．2 B．3 C D．2 2．(2022·乐山9题3分)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC，D是AC上一点，连接BD．若tan A，tan∠ABD，则CD的长为( ) C 3．(2023·内江23题6分)在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且满足a2＋|c－10|12a－36，则sin B的值为 4．(2023·南充4题4分)如图，小兵同学从A处出发向正东方向走x米到达B处，再向正北方向走到C处．已知∠BAC＝α，则A，C两处相距( ) A 米 B 米 C．x·sin α米 D．x·cos α米 解直角三角形的实际应用 B 命题点2 A．20米 B．15米 C．12米 D．(10＋5)米 5．(2024·德阳10题3分)某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物CD的高度，在建筑物旁边有一高度为10米的小楼房AB，小李同学在小楼房楼底B处测得C处的仰角为60°，在小楼房楼顶A处测得C处的仰角为30° (AB，CD在同一平面内，点B，D在同一水平面上)，则建筑物CD的高为( ) B 【解析】设过点A的水平线交CD于点E，如答图.由题意知四边形ABDE是矩形，∴DE＝AB＝10米，AE＝BD.在Rt△BCD中，BD＝CD，在Rt△ACE中，AE＝(CD－DE)＝(CD－10)，∴(CD－10)＝CD，解得CD＝15米.故选B. 答图 6．(2024·泸州22题8分)如图，海中有一个小岛C，某渔船在海中的A点测得小岛C位于东北方向上，该渔船由西向东航行一段时间后到达B点，测得小岛C位于北偏西30°方向上，再沿北偏东60°方向继续航行一段时间后到达D点，这时测得小岛C位于北偏西60°方向上． 已知A，C相距30 n mile．求C，D间的距离．(计算过程中的数据不取近似值) 解：过点C作CH⊥AB于点H，过点D作DG⊥AB交AB的延长线于点G，如答图． 由题意可得∠CAB＝45°，AC＝30 n mile，∴AH＝CH＝15 n mile． 由题意可得∠CBH＝60°，∠CHB＝90°， ∴在Rt△BCH中，BC10(n mile)． ∵∠DBG＝180°－60°－30°－60°＝30°， ∴∠BDG＝60°，∴∠CDB＝60°． ∵∠CBD＝30°＋60°＝90°， ∴在Rt△CBD中，CD20(n mile)． 答：C，D间的距离为20 n mile． 答图 7．(2024·凉山21题7分)为建设全城旅游西昌，加快旅游产业发展．2022年9月 29日位于西昌主城区东部的历史风貌核心区唐园正式开园，坐落于唐园内的 怀远塔乃唐园至高点，为七层密檐式八角砖混结构阁楼式塔楼，建筑面积为 1 845.4平方米，塔顶金碧辉煌，为“火珠垂莲”窣(sū)堵坡造型．某校为了让学生进一步了解怀远塔，组织九年级(2)班学生利用综合实践课测量怀远塔的 高度．小江同学站在如图所示的怀远塔前的平地上A点处，测得塔顶C的仰角 为30°，眼睛B距离地面1.8 m，向塔前行67 m，到达点 D处，测得塔顶C的仰角为60°，且BE的延长线交CF于 点G．求塔高CF．(参考数据：1.414，1.732． 结果精确到0.01 m) 解：由题意知∠CBG＝30°，∠CEG＝60°，∠CGB＝∠CGE＝90°，GF＝ED＝BA＝1.8 m，BE＝67 m． 在Rt△CBG中，BGCG， 在Rt△CEG中，EGCG． ∵BG－EG＝BE，CGCG＝67，解得CG≈58.02 m， ∴CF＝CG＋GF＝58.02＋1.8＝59.82(m)． 答：塔高CF约为59.82 m． 8．(2024·成都16题8分)如图①，中国古代运用“土圭之法”判别四季．夏至时日影最短，冬至时日影最长，春分和秋分时日影长度等于夏至和冬至日影长度的平均数．某地学生运用此法进行实践探索，在示意图②中，产生日影的杆子AB垂直于地面，AB长8尺．在夏至时，杆子AB在太阳光线AC照射下产生的日影为BC；在冬至时，杆子AB在太阳光线AD照射下产生的日影为BD．已知∠ACB＝73.4°，∠ADB＝26.6°，求春分和秋分时日影长度．(结果精确到0.1尺．参考数据：sin 26.6°≈0.45，cos 26.6°≈0.89，tan26.6°≈ 0.50，sin 73.4°≈0.96，cos 73.4°≈0.29，tan 73.4°≈3.35) ① ② 解：在Rt△ABC中，AB＝8尺，∠ACB＝73.4°，∴tan 73.4°＝， ∴BC＝≈2.39(尺). 在Rt△ABD中，AB＝8尺，∠ADB＝26.6°， ∴tan 26.6°＝， ∴BD＝≈16.0(尺)， ∵≈9.2(尺). 答：春分和秋分时日影长度约为9.2尺. 9．(2024·广元21题9分)小明从科普读物中了解到，光从真空射入介质发生折射时，入射角α的正弦值与折射角β的正弦值的比值叫做介质的“绝对折射率”，简称“折射率”，它表示光在介质中传播时，介质对光作用的一种特征． (1)若光从真空射入某介质，入射角为α，折射角为β，且cos α，β＝30°，求该介质的折射率； 解：∵cos α， ∴如答图，设bx，则c＝4x． 由勾股定理得a3x， ∴sin α 又∵β＝30°，∴sin β＝sin 30°， ∴折射率为 答图 (2)现有一块与(1)中折射率相同的长方体介质，如图①所示，点A，B，C，D分别是长方体棱的中点，若光线经真空从矩形A1D1D2A2对角线交点O处射入，其折射光线恰好从点C处射出，如图②，已知α＝60°，CD＝10 cm，求截面ABCD的面积． 解：由题意可得α＝60°，折射率为， ∴，∴sin β＝. ∵四边形ABCD是矩形，O是AD的中点，∴AD＝2OD，∠D＝90°. 易得∠OCD＝β，∴sin∠OCD＝sin β＝. 设OD＝x cm，OC＝3x cm， 在Rt△ODC中，由勾股定理得CD＝x(cm)， ∴tan β＝tan∠OCD＝，∴OD＝10×＝5(cm)， ∴AD＝2OD＝2×5＝10(cm)， ∴截面ABCD的面积为AD·CD＝10×10＝100(cm2). $$