2025年九年级中考数学一轮复习考点通关课件：反比例函数

　反比例函数 夯基础 知识梳理 解析式的确定 (待定系数法) 1．设反比例函数的解析式为y(k≠0) 2．找出反比例函数图象上一点P(a，b) 3．将点P(a，b)代入解析式，得k＝ab 4．确定反比例函数的解析式为y 解析式 y(k为常数，k≠0) k的符号 k>0 k<0 图象 (草图) 所在象限 第① 象限 (x，y同号，即xy>0) 第② 象限 (x，y异号，即xy<0) 图象特征 图象无限接近坐标轴，但不与坐标轴相交 增减性 在每一个象限内，y随x的增大而③_______ 在每一个象限内，y随x的增大而④_______ 对称性 关于直线y＝x，y＝－x成轴对称；关于原点成中心对称 增大 二、四 减小 一、三 图象与 性质　 在反比例函数y(k≠0)的图象上任取一点P(x，y)，过点P分别作x轴、y轴的垂线PM，PN，垂足分别为M，N，与坐标轴围成的矩形PMON的面积S＝|xy|＝⑤____ 　 系数k的 几何意义 |k| 　 1．k的几何意义(如图①) 2．相关面积计算 ① S△AOP S△CPB 2|k| (点P，P1关于原点对称) 反比例函 数与一次 函数常见 设问及解 法 1．确定函数解析式：一般用待定系数法确定函数解析式 2．求交点坐标：已知两函数的解析式，联立方程组求解即得交点坐标 3．交点个数相关问题：解题关键点是联立方程组后变形成一元二次方程，并根据交点个数结合根的判别式解题 4．利用函数图象确定不等式ax＋b>或ax＋b< 的解集 (1)对于不等式ax＋b>的解集，从函数图象上反映为一次函数图象在反比例函数图象上方的部分 (2)对于不等式ax＋b<的解集，从函数图象上反映为一次函数图象在反比例函数图象下方的部分 5．割补法 求三角 形面积 反比例函 数与一次 函数常见 设问及解 法 如图②，S△ABC OC·(yA－yB)|xB|·2|yB|＝|k| 如图③，S△AOB＝ S△AOC＋S△BOC＝S△AOD＋S△BOD ② ③ 反比例 函数的 实际应 用 实际问题中常见的反比例函数关系： 行程问题：路程一定时，速度 工程问题：工作总量一定时，工作效率 跨学科问题：压力一定时，压强；电压一定时，电阻；质量一定时，密度 已知反比例函数y1(k≠0)． (1)若该函数的图象经过点A(－1，4)，B(2，b)，则k的值为 ，b的值 为 ． (2)一次函数y2＝kx－k与反比例函数y1(k≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是( ) B －2 反比例函数的图象与性质 －4 重点1 固考点 重难突破 例1 (3)已知正比例函数y3＝ax(a≠0)的图象与反比例函数y1(k≠0)的图象相交于点C(2，4)． ①反比例函数y1的解析式为___________，在每个象限内，y1随x的增大而 ． ②两个函数图象的另一个交点坐标为 ． ③当y3<y1时，x的取值范围是 ． x<－2或0<x<2 (－2，－4) A B C D 减小 y1 (4)若k＝6，点A(－1，t1)，B(－2，t2)，C(3，t3)都在反比例函数y1 (k≠0)的图象上，则t1，t2，t3的大小关系为 ．(用“<”连接) t1<t2<t3 (2022·内江)如图，在平面直角坐标系中，M为x轴正半轴上一点，过点M的直线l∥y轴，且直线l分别与反比例函数y和y(k≠0)的图象交于P，Q两点．若S△POQ＝15，则k的值为( ) 反比例函数系数k的几何意义 D 重点2 例2 A．38 B．22 C．－7 D．－22 (2024·内江一中三模)如图，在平面直角坐标系中，点P在反比例函数y (k≠0，x>0)的图象上，点A，B在x轴上，且PA⊥PB，垂足为P．若AO＝BO＝BP，△ABP的面积是2，则k的值是 ． 1 针对训练 题图　 【解析】如答图，连接OP，过点P作PD⊥x轴于点D.∵△ABP的面积是2，AO＝BO，∴△OBP的面积为1.∵PA⊥PB，AO＝BO＝BP，∴sin∠PAB＝.∵sin 30°＝，∴∠PAB＝30°，∴∠PBA＝60°，∴△POB为等边三角形，∴S△POD＝×S△POB＝，∴，∴k＝±1.∵反比例函数的图象位于第一象限，∴k＝1. 答图 易错点 确定k值时忽略正负导致错误 如图，A是反比例函数y(k≠0，x<0)的图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点B，点P在x轴上，连接AP，BP．若△ABP的面积是3，求k的值． 例3 【错解过程】 解：连接AO．…… …… …… …… …… …… …… …… ……第一步 ∵AB⊥y轴，∴AB∥OP， …… …… …… …… …… …… …… …… ……第二步 ∴S△AOB＝S△ABP＝3. …… …… …… …… …… …… …… …第三步 又∵S△AOBk，k＝3， … …… …… …… …… ………第四步 ∴k＝6. …… …… …… …… …… …… …… …… …………第五步 【错解步骤】上述过程是从第 步开始出现错误的． 【错误原因】________________________________________． 四 S△AOB|k|，缺绝对值符号(意思表达正确即可) 【正确解答】 【名师点评】因为反比例函数y(k≠0)中的k有正、负之分，所以用k表示矩形或三角形的面积时要给k加上绝对值符号，再根据函数图象所在象限确定k的正负． 连接AO． ∵AB⊥y轴，∴AB∥OP，∴S△AOB＝S△ABP＝3． 又∵S△AOB|k|，|k|＝3， ∴|k|＝6． ∵反比例函数y(k≠0，x<0)的图象在第二象限， ∴k<0，∴k＝－6． 重点3 反比例函数与一次函数综合 例4 (2023·巴中改编)如图，正比例函数y＝kx(k≠0)与反比例函数y (m≠0)的图象交于A，B两点，点A的横坐标为－4，点B的纵坐标为 －6． (1)求反比例函数的表达式； (2)观察图象，直接写出不等式kx<的解集； (1)【解答】∵正比例函数y＝kx(k≠0)与反比例函数y(m≠0)的图象交于A，B两点， ∴A，B两点关于原点对称． ∵点A的横坐标为－4，点B的纵坐标为－6， ∴A(－4，6)，B(4，－6)． ∵点A(－4，6)在反比例函数y(m≠0)的图象上， ∴6，∴m＝－24， ∴反比例函数的表达式为y＝ (2)【解答】－4<x<0或x>4． (3)将直线AB向上平移n个单位长度，交反比例函数的图象于C，D两点，交坐标轴于点E，F，连接OD，BD．若△OBD的面积为20，求直线CD的表达式； 例4题备用图 答图① 【解答】如答图①，连接BF，过点B作BH⊥x轴于点H. ∵点A(－4，6)在正比例函数y＝kx(k≠0)的图象上， ∴k＝－，∴直线AB的表达式为y＝－x. 由平移得CD∥AB，∴S△OBD＝S△OBF＝20. 由(1)知B(4，－6)，∴BH＝6，∴OF·6＝20， ∴OF＝，∴F. ∵CD∥AB，∴可设直线CD的表达式为y＝－x＋b. 将点F的坐标代入，得－＋b＝0， 解得b＝10， ∴直线CD的表达式为y＝－x＋10. (4)过点A作AM⊥x轴于点M，过点B作BN⊥y轴于点N，连接MN，试探究直线MN与直线AB的位置关系． 答图② 【解答】如答图②. 由(1)可知，A(－4，6)，B(4，－6). ∵AM⊥x轴，BN⊥y轴， ∴OM＝4，AM＝6，ON＝6， ∴tan∠AOM＝， tan∠OMN＝， ∴tan∠AOM＝tan∠OMN， ∴∠AOM＝∠OMN，∴MN∥AB. 1．(2023·成都10题4分)若点A(－3，y1)，B(－1，y2)都在反比例函数y的图象上，则y1 y2(填“>”或“<”)． 反比例函数的图象与性质 > 明方向 中考再现 命题点1 2．(2022·成都10题4分)在平面直角坐标系xOy中，若反比例函数y的图象位于第二、四象限，则k的取值范围是 ． k<2 反比例函数系数k的几何意义 3．(2022·凉山15题4分)如图，点A在反比例函数y(k≠0，x>0)的图象上，过点A作AB⊥x轴于点B．若△OAB的面积为3，则k＝ ． 命题点2 6 4．(2023·内江25题6分)如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，MN垂直于x轴，以MN为对称轴作△ODE的轴对称图形，对称轴MN与线段DE相交于点F，点D的对应点B恰好落在反比例函数y(x<0)的图象上，点O，E的对应点分别是C，A．若A为OE的中点，且S△EAF，则k的值为 ． －6 5. (2024·泸州8题3分)已知关于x的一元二次方程x2＋2x＋1－k＝0无实数根，则函数y＝kx(k≠0)与函数y的图象的交点个数为( ) A．0 B．1 C．2 D．3 反比例函数与一次函数 A 命题点3 A B C D 6．(2022·德阳9题4分)一次函数y＝ax＋1与反比例函数y＝(a≠0)在同一平面直角坐标系中的大致图象是( ) B 7．(2024·内江20题9分)如图，一次函数y＝ax＋b(a≠0)的图象与反比例函数y(k≠0)的图象相交于A，B两点，其中点A的坐标为(－2，3)，点B的坐标为(3，n)． (1)求这两个函数的表达式； (2)根据图象，直接写出关于x的不等式ax＋b<的解集． 解：(1)∵一次函数y＝ax＋b(a≠0)的图象与反比例函数y(k≠0)的图象相交于A，B两点，其中点A的坐标为(－2，3)，点B的坐标为(3，n)， ∴k＝－2×3＝3×n，∴k＝－6，n＝－2， ∴反比例函数的表达式为y＝ ∵点A(－2，3)，B(3，－2)在一次函数y＝ax＋b(a≠0)的图象上， 解得 ∴一次函数的表达式为y＝－x＋1． (2)－2<x<0或x>3． 8．(2024·南充21题10分)如图，直线y＝kx＋b(k≠0)经过A(0，－2)，B(－1，0)两点，与反比例函数y(m≠0，x<0)的图象交于点C(a，2)． (1)求直线和反比例函数的解析式； (2)过点C作CD⊥x轴于点D，点P在x轴上，若以O，A，P为顶点的三角形与△BCD相似，直接写出点P的坐标． 解：(1)∵点A(0，－2)，B(－1，0)在直线y＝kx＋b(k≠0)上， 解得 ∴直线的解析式为y＝－2x－2． ∵点C(a，2)在直线y＝－2x－2上， ∴－2a－2＝2， ∴a＝－2，即C(－2，2)． ∵反比例函数y(m≠0，x<0)的图象过点C(－2，2)， ∴m＝－4， ∴反比例函数的解析式为y＝(x<0)． (2)点P的坐标为(－4，0)或(－1，0)或(1，0)或(4，0). 【解法提示】∵CD⊥x轴，C(－2，2)，∴D(－2，0)，CD＝2.∵B(－1，0)，∴BD＝1.∵A(0，－2)，∴OA＝2.若以O，A，P为顶点的三角形与△BCD相似，则OP＝1或4.∵点P在x轴上，∴点P的坐标为(－4，0)或(－1，0)或(1，0)或(4，0). 9．(2023·南充14题4分)小伟用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为1 000 N和0.6 m，当动力臂由1.5 m增加到2 m时，撬动这块石头可以节省 N的力．(杠杆原理：阻力×阻力臂＝动力×动力臂) 反比例函数的实际应用 100 命题点4 $$