2025年九年级中考数学一轮复习考点通关课件：二次函数的图象与性质

　二次函数的图象与性质 夯基础 知识梳理 图象与 性质 解析式 (a≠0) 一般式 顶点式 交点式 y＝ax2＋bx＋c y＝a(x－h)2＋k y＝a(x－x1)(x－x2) 图象 (草图) a>0 a<0 对称轴 直线x＝①_________ 直线x＝②_____ 直线x＝③__________ 顶点 坐标 ④___________ ⑤_________ ⑥____________ 最值 当x＝时，y最大(或最小) 当x＝h时，y最大(或最小)＝k 当x时，y最大(或最小)＝y0 h (h，k) 增减性 a>0 在对称轴的左侧，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随x的增大而增大 a<0 在对称轴的左侧，y随x的增大而⑦ ；在对称轴的右侧，y随x的增大而减小 增大 图象与 性质 系数 符号 图象特征   a(a的正负决定开口方向，|a|决定开口大小) a>0 开口向上 |a|越大，开口越 ⑧_____ a<0 开口向下 a，b(决定对称轴的位置) b＝0 对称轴为⑨ 轴 ab>0(a与b同号) 对称轴在y轴⑩ 侧 ab<0(a与b异号) 对称轴在y轴⑪ 侧 c(决定与y轴的交点位置) c＝0 经过原点 c>0 与y轴⑫ 半轴相交 c<0 与y轴⑬ 半轴相交 b2－4ac(决定与x轴的交点个数) b2－4ac＝0 与x轴有唯一交点 b2－4ac>0 与x轴有两个不同的交点 b2－4ac<0 与x轴没有交点 小 负 正 右 左 y 图象 与系 数a， b，c 的关 系 特殊关系： 判断2a＋b与0的大小关系，即为比较与1的关系，看该二次函数图象的对称轴与直线x＝1的位置关系； 判断2a－b与0的大小关系，即为比较与－1的关系，看该二次函数图象的对称轴与直线x＝－1的位置关系； 当x＝1时，若y>0，则a＋b＋c>0；当x＝－1时，若y<0，则a－b＋c⑭ 0 < 图象 与系 数a， b，c 的关 系 确定二 次函数 解析式 的步骤 1．设二次函数解析式： (1)一般式：若已知三个点的坐标，可设为y＝ax2＋bx＋c(a≠0) (2)顶点式：若已知抛物线的顶点(h，k)，可设为y＝ ⑮____________________ (3)交点式：若已知抛物线与x轴的两个交点(x1，0)，(x2，0)，可设为y＝ ⑯_________________________ 2．代入点的坐标：用待定系数法将已知点的坐标代入相应解析式中，得到方程(组) 3．求解：解方程(组)求出参数的值，从而得到二次函数的解析式 a(x－x1)(x－x2)(a≠0) a(x－h)2＋k(a≠0) 平移前的解析式 平移方向及距离(m>0) 平移后的解析式 规律(口诀) y＝a(x－h)2＋k (a≠0) 向左平移m个单位长度 y＝a(x－h ⑰ )2＋k 左加右减横坐标 向右平移m个单位长度 y＝a(x－h ⑱ )2＋k 向上平移m个单位长度 y＝a(x－h)2＋ k⑲_______ 上加下减纵坐标 向下平移m个单位长度 y＝a(x－h)2＋ k⑳______ ＋m 【温馨提示】二次函数图象平移的本质：抛物线的平移→抛物线上点的平移→抛物线的顶点的平移(平移过程中a不变)． 二次函数 图象的 平移 －m －m ＋m 方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解⇔抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点的横坐标 当b2－4ac>0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个 ㉑ 的实数根⇔抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点 当b2－4ac＝0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有 ㉒ 的实数根⇔抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有一个交点 当b2－4ac<0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)㉓ 实数根⇔抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴无交点 没有 两个相等 与一元二 次方程的 关系 不相等 二次函数 与方程、 不等式 的关系 二次函数 与方程、 不等式 的关系 与不等式 的关系 不等式ax2＋bx＋c(a≠0)㉔ _______0的解集⇔抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)位于x轴上方对应的点的横坐标的取值范围 不等式ax2＋bx＋c(a≠0)㉕ ______0的解集⇔抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)位于x轴下方对应的点的横坐标的取值范围 > < 重点1 固考点 重难突破 例1 二次函数的图象与性质 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，且a≠0)． (1)(一题多解)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的交点坐标是(－1，0)，(3，0)，且函数的最大值是4，求该二次函数的解析式． 【解答】方法一：设顶点式求解. ∵二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点坐标是(－1，0)，(3，0)， ∴该二次函数图象的对称轴是直线x＝＝1， ∴该二次函数图象的顶点坐标为(1，4). 设该二次函数的解析式为y＝a(x－1)2＋4(a≠0). 将点(－1，0)代入，得4a＋4＝0，解得a＝－1， ∴该二次函数的解析式为y＝－(x－1)2＋4＝－x2＋2x＋3. 方法二：设交点式求解. ∵二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点坐标是(－1，0)，(3，0)， ∴可设该二次函数的解析式为y＝a(x＋1)(x－3)(a≠0)，且该二次函数图象的对称轴为直线x＝1，即顶点坐标为(1，4). 将点(1，4)代入，得－4a＝4，解得a＝－1， ∴该二次函数的解析式为y＝－(x＋1)(x－3)＝－x2＋2x＋3. 方法三：设一般式求解. ∵二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点坐标是(－1，0)，(3，0)， ∴二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的对称轴为直线x＝1，即顶点坐标为(1，4)， 则解得 ∴该二次函数的解析式为y＝－x2＋2x＋3. A B C D (2)一次函数y＝－ax＋b与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一平面直角坐标系中的图象可能是( ) 　　　　　　　　　　　　　　　 B ①该二次函数图象的对称轴是 ，顶点坐标为 ． ②当x＝3时，y的值是 ． ③若A(－1，y1)，B(－2，y2)两点都在该二次函数的图象上，则y1，y2的大小关系为 ．(用“>”连接) ④将该二次函数的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，平移后的函数图象的解析式为 ． (3)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c中的y与x部分对应值如下表所示： y＝－2(x－3)2＋6 y1>y2 －5 (1，3) 直线x＝1 x … －1 0 1 2 … y … －5 1 3 1 … (1)abc 0； (2)b2 4ac； (3)2a＋b 0； (4)a－b＋c 0； (5)a＋b m(am＋b)(m为实数，且m≠1)． > ＝ ＝ > 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴的交点坐标是(－1，0)，(3，0)，用“>”“<”或“＝”完成下列填空． < 二次函数图象与系数之间的关系 重点2 例2 例2题图 1．(2023·甘孜10题3分)下列关于二次函数y＝(x－2)2－3的说法正确的是 ( )　　　　　　　　　　　　　　　 A．图象是一条开口向下的抛物线 B．图象与x轴没有交点 C．当x<2时，y随x增大而增大 D．图象的顶点坐标是(2，－3) 二次函数的图象与性质 D 明方向 中考再现 命题点1 2．(2024·凉山12题4分)抛物线y(x－1)2＋c经过(－2，y1)，(0，y2)，三点，则y1，y2，y3的大小关系正确的是( ) A．y1>y2>y3 B．y2>y3>y1 C．y3>y1>y2 D．y1>y3>y2 D A．抛物线的对称轴为直线x＝1 B．抛物线的顶点坐标为 C．A，B两点之间的距离为5 D．当x<－1时，y的值随x值的增大而增大 3．(2023·成都8题4分)如图，抛物线y＝ax2＋x－6与x轴交于A(－3，0)，B两点，下列说法正确的是( ) C 4．(2024·泸州11题3分)已知二次函数y＝ax2＋(2a－3)x＋a－1(x是自变量)的图象经过第一、二、四象限，则实数a的取值范围为( ) A．1≤a< B．0<a< C．0<a< D．1≤a< A 5．(2023·凉山12题4分)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分图象如图所示，则下列结论正确的是( ) A．abc<0 B．4a－2b＋c<0 C．3a＋c＝0 D．am2＋bm＋a≤0(m为实数) 二次函数的图象与系数之间的关系 C 命题点2 6．(2022·泸州8题3分)抛物线y＝x2＋x＋1经平移后，不可能得到的抛物线是( ) A．y＝x2＋x B．y＝x2－4 C．y＝x2＋2 021x－2 022 D．y＝－x2＋x＋1 二次函数图象的变换 D 命题点3 7．(2023·自贡11题4分)经过A(2－3b，m)，B(4b＋c－1，m)两点的抛物线y＝x2＋bx－b2＋2c(x为自变量)与x轴有交点，则线段AB的长为( ) A．10 B．12 C．13 D．15 二次函数的图象与x轴的交点问题 B 命题点4 $$