2025年九年级中考数学一轮复习考点通关课件：一元二次方程

　一元二次方程 二次方程，它的一般形式是 解 法 ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 一 元 二 次 方 程 概念：等号两边都是整式，只含有 个未知数，并且未知数的最高次数是 的方程，叫做一元 2 一 夯基础 知识梳理 直接开平方法：若x2＝p(p≥0)，则x＝；若(x＋n)2＝p(p≥0)，则x＝_________ 【温馨提示】开方后取“±”． 配方法：若方程可配方为a(x＋h)2＝k(a≠0，k≥0)，则x＝h 公式法：方程化为一般式ax2＋bx＋c＝0(a≠0，b2－4ac≥0)，则x＝______________ 因式分解法：若(x－x1)(x－x2)＝0，则x＝x1或x＝x2 【温馨提示】方程的两边含有相同的因式时，不能直接约去该因式，避免丢根． n ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 1．Δ>0⇔方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个 的实数根 2．Δ＝0⇔方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个 的实数根 3．Δ<0⇔方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 实数根 无 相等 根的判别式 (Δ＝b2－4ac) 不等 一 元 二 次 方 程 根与系数的关系 定义(2022年版课标调整为考查内容)：若x1，x2是一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0，Δ≥0)的两根，则x1＋x2＝_____，x1x2＝ ______ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ ⑪ 一 元 二 次 方 程 常见代数式变形 1(x1＋x2)2－2x1x2 2．(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2 3．(x1＋1)(x2＋1)＝x1x2＋(x1＋x2)＋1 4 5 6．|x1－x2| 【温馨提示】利用根与系数的关系解题的前提是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根存在，即根的判别式b2－4ac≥0． 根与系数的关系 常见类型 等量关系式 变化率问题 1．增长率100%； 若起始量为a，平均增长率为m，增长次数为2，终止量为b，则b＝a(1＋m)2． 2．下降率100%； 若起始量为a，平均下降率为m，下降次数为2，终止量为b，则b＝_____________ a(1－m)2 一 元 二 次 方 程 实 际 应 用 解题一般步骤：审、设、列、解、验、答 常见类 型及等 量关系 ⑫ 销售中的 “每每”问题 利润＝售价－成本，总利润＝每件利润×销售量． 若单价每上涨a元，少卖b件，则涨价x元，少卖·b件 面积问题 ① 　 ②　 ③　 ④ 1．如图①，设空白部分的宽为x，则S阴影＝_____________ ； 2．如图②、图③，设阴影部分的宽为x，则S空白＝___________ ； 3．如图④，靠墙围篱笆(墙足够长)，篱笆总长为a，平行于墙的一边BC的长为b，则篱笆所围成的矩形ABCD的面积S x)(b－x) (a－ 2x) (a－2x)(b－ 一 元 二 次 方 程 实 际 应 用 常见类 型及等 量关系 ⑬ ⑭ 若x＝1是关于x的一元二次方程x2＋mx－6＝0的一个根，则m的值为 ． 一元二次方程的根 5 重点1 固考点 重难突破 例1 方 法 指 导 若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个实数根，则下列两个等式一定成立：abx1＋c＝0(a≠0)，abx2＋c＝0(a≠0)，利用这两个等式可求解未知参数的值． 1．若x＝m是方程x2－2x－1＝0的一个根，则m2 ． 针对训练 6 若关于x的一元二次方程x2－3x＋m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为( ) 一元二次方程根的判别式 C 重点2 例2 A．－9 B． C D．9 方 法 指 导 在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母，那么要加上二次项系数不为0这个限制条件． 2．若关于x的一元二次方程(k－1)x2＋2x－2＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( ) 针对训练 A A．k>且k≠1 B．k> C．k≥且k≠1 D．k≥ (1)填空：x1＋x2＝ ，x1x2＝ ； (2)求，x1； 1 (2024·内江)已知关于x的一元二次方程x2－px＋1＝0(p为常数)有两个不相等的实数根x1和x2． p 一元二次方程根与系数的关系 重点3 例3 ∵关于x的一元二次方程x2－px＋1＝0(p为常数)有两个不相等的实数根x1和x2， px1＋1＝0， ∴x1－p0，即x1p． 【解答】∵x1＋x2＝p，x1x2＝1， p． (3)已知2p＋1，求p的值． 【解答】由根与系数的关系，得x1＋x2＝p，x1x2＝1. ∵＝2p＋1， ∴(x1＋x2)2－2x1x2＝2p＋1， ∴p2－2＝2p＋1， 解得p1＝3，p2＝－1. 当p＝3 时，Δ＝p2－4＝9－4＝5＞0； 当p＝－1 时，Δ＝p2－4＝－3＜0，即p＝－1不符合题意， ∴p＝3. 3．若一元二次方程x2＋3x－1＝0的两根分别为x1，x2，则的值为( ) A B．－3 C．3 D． 针对训练 C 4．已知关于x的一元二次方程x2＋2mx＋m2－m＋2＝0有两个不相等的实数根x1，x2，且x1＋x2＋x1x2＝2，则实数m＝ ． 3 1．(2024·凉山9题4分)若关于x的一元二次方程(a＋2)x2＋x＋a2－4＝0的一个根是x＝0，则a的值为( ) A．2 B．－2 C．2或－2 D 一元二次方程的根 A 明方向 中考再现 命题点1 【解析】∵关于x的一元二次方程(a＋2)x2＋x＋a2－4＝0的一个根是x＝0，∴a2－4＝0且a＋2≠0，解得a＝2.故选A. 2．(2024·巴中15题3分)已知关于x的方程x2－2x＋k＝0的一个根为x＝－2，则方程的另一个根为 ． x＝4 3．(2024·自贡8题4分)关于x的方程x2＋mx－2＝0根的情况是( ) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 一元二次方程根的判别式 A 命题点2 4．(2024·绵阳8题3分)已知关于x的一元二次方程x2－2(k－1)x＋k2＋2＝0有实数根，则k的取值范围为( ) A．k> B．k< C．k≥ D．k≤ D 5．(2024·南充20题10分)已知x1，x2是关于x的方程x2－2kx＋k2－k＋1＝0的两个不相等的实数根． (1)求k的取值范围； 解：∵原方程有两个不相等的实数根， ∴Δ＝(－2k)2－4×1×(k2－k＋1)＝4k－4>0， 解得k>1． (2)若k<5，且k，x1，x2都是整数，求k的值． 解：∵1<k<5， ∴整数k的值为2，3，4． 当k＝2时，方程为 x2－4x＋3＝0， 解得x1＝1，x2＝3； 当k＝3或k＝4时，此时方程的根均不为整数． 综上所述，k的值为2． 6．(2022·乐山5题3分)关于x的一元二次方程3x2－2x＋m＝0有两个根，其中一根为x＝1，则这两根之积为( ) A B C．1 D． 一元二次方程根与系数的关系 D 命题点3 7．(2023·泸州11题3分)若一个菱形的两条对角线长分别是关于x的一元二次方程x2－10x＋m＝0的两个实数根，且其面积为11，则该菱形的边长为( ) A B．2 C D．2 C 8．(2024·成都20题4分)若m，n是一元二次方程x2－5x＋2＝0的两个实数根，则m＋(n－2)2的值为 ． 7 【解析】∵m，n是一元二次方程x2－5x＋2＝0的两个实数根，∴m2－5m＋2＝0，m＋n＝5，∴m2－5m＝－2，n＝5－m，∴m＋(n－2)2＝m＋(3－m)2＝m2－5m＋9＝－2＋9＝7. 9．(2024·泸州15题3分)已知x1，x2是一元二次方程x2－3x－5＝0的两个实数根，则(x1－x2)2＋3x1x2的值是 ． 14 【解析】∵x1，x2是一元二次方程x2－3x－5＝0的两个实数根，∴x1＋x2＝3，x1x2＝－5，∴(x1－x2)2＋3x1x2＝＋x1x2＋＝(x1＋x2)2－x1x2＝32－(－5)＝9＋5＝14. 10．(2023·南充20题10分)已知关于x的一元二次方程x2－(2m－1)x－3m2＋m＝0． (1)求证：无论m为何值，方程总有实数根． (1)证明：∵Δ＝［－(2m－1)］2－4×1×(－3m2＋m)＝4m2－4m＋1＋12m2－4m＝16m2－8m＋1＝(4m－1)2≥0， ∴无论m为何值，方程总有实数根． (2)若x1，x2是方程的两个实数根，且，求m的值． (2)解：由题意知，x1＋x2＝2m－1， x1x2＝－3m2＋m． 2＝， ， 整理得5m2－7m＋2＝0， 解得m＝1或m 11．(2024·内江10题3分)某市2021年底森林覆盖率为64%，为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力发展植树造林活动，2023年底森林覆盖率已达到69%．若这两年森林覆盖率的年平均增长率为x，则符合题意的方程是( ) A．0.64(1＋x)＝0.69 B．0.64(1＋x)2＝0.69 C．0.64(1＋2x)＝0.69 D．0.64(1＋2x)2＝0.69 一元二次方程的实际应用 B 命题点4 $$