第五章三角函数章末检测-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

2024-2025学年郑州市新密青屏高中高一上学期数学 第五章　三角函数章末检测 测试时间：120分钟　满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列函数中，最小正周期为4π的是(　　) A．y＝sin x B．y＝cos x C．y＝sin D．y＝cos 2x 2．(2024·河南开封高一期末)在平面直角坐标系中，若角α的终边经过点P，则sin ＝(　　) A．－ B． C．－ D． 3．第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在浙江省杭州市举行，本届亚运会会徽“潮涌”的主体图形由扇面、钱塘江、钱江潮头、赛道、互联网符号及象征亚奥理事会的太阳图形六个元素组成，其中扇面造型反映江南人文意蕴．已知扇面呈扇环形，内环半径为1，外环半径为3，扇环所对圆心角为，则该扇面的面积为(　　) A. B． C． D． 4．已知θ∈，tan 2θ＝－4tan ，则＝(　　) A． B． C．1 D． 5．小明出国旅游，当地时间比北京时间晚1.5小时，他需要调整手表的时间，设时针需转动的角的弧度数为β，已知tan (α＋β)＝7，π<α<，则cos α＝(　　) A． B．－ C． D．－ 6．下列选项中错误的是(　　) A．sin >sin B．sin 2>sin 1 C．cos <cos D．sin 508°>sin 144° 7．当x∈时，关于x的方程sin x－cos x －m＝0有解，则实数m的取值范围为 (　　) A.(－2，) B．[－2，] C．(－，) D．[－，] 8．将函数f(x)＝2sin 2x－1图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，并沿x轴向左平移φ(φ>0)个单位长度，再向下平移1个单位长度得到函数g(x)的图象．若对于任意的x1∈，总存在x2∈，使得f(x1)＝g(x2)，则φ的值可能是(　　) A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分．若只有2个正确选项，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分． 9．下列四个函数中，以π为最小正周期且在上单调递增的偶函数有(　　) A．y＝cos |2x| B．y＝sin 2x C．y＝|tan x| D．y＝lg |sin x| 10．对某城市进行气象调查，发现从当天上午9：00开始计时的连续24小时中，温度θ(单位： ℃)与时间t(单位：h)近似地满足函数关系θ＝A sin ωt＋B，其中0≤t≤24.已知当天开始计时时的温度为25 ℃，第二天凌晨3：00时温度最低为19 ℃，则(　　) A．ω＝ B．当天下午3：00温度最高 C．温度为28 ℃是当天晚上7：00 D．从当天晚上23：00到第二天清晨5：00温度都不高于22 ℃ 11．已知函数f＝a sin ，若f的图象过A，B，C 三点，其中点B为函数f图象的最高点(如图所示)，将f图象上的每个点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的，再向右平移个单位长度，得到函数g的图象，则(　　) A．f＝2sin B．g＝2sin C．f的图象关于直线x＝对称 D．g在上单调递减 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若3cos ＋cos (π＋θ)＝0，则cos2θ＋sin 2θ的值是________． 13. 在足球比赛中，球员在对方球门前的不同的位置起脚射门对球门的威胁是不同的，出球点对球门的张角越大，射门的命中率就越高．如图为室内五人制足球场示意图，设球场(矩形)的长BC为40米，宽AB为20米，球门长PQ为4米．在某场比赛中有一位球员欲在边线BC上某点M处射门(假设球贴地直线运动)，为使得张角∠PMQ最大，则BM大约为________米．(结果保留整数) 14. 函数f(x)＝sin (ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递增区间为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分)已知角α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上一点P的坐标是(－1，2). (1)求sin α，tan α； (2)求. 16．(15分)若f(x)＝2sin cos －sin . (1)求f(x)的最小正周期； (2)若将f(x)的图象向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间上的最大值和最小值． 17．(15分)设x∈R，函数f(x)＝cos (ωx＋φ)(ω>0，－<φ<0)的最小正周期为π，且f＝. (1)求ω和φ的值； (2)在给定坐标系中作出函数f(x)在[0，π]上的图象； (3)若f(x)>，求x的取值范围． 18．(17分)如图为某市拟建的一块运动场地的平面图，其中有一条运动赛道由三部分构成：赛道的前一部分为曲线段BCD，该曲线段为函数y＝A cos (ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<)在x∈[－4，0]的图象，且图象的最高点为C(－1，4)；赛道的中间部分为长度是2的水平跑道DE；赛道的后一部分是以O为圆心的一段圆弧. (1)求ω，φ和∠EOF的值； (2)若要在圆弧赛道所对应的扇形区域内建一个矩形草坪PQMN，如图所示，记∠POF＝θ，求矩形草坪PQMN面积的最大值及此时θ的值． 19．(17分已知函数f(x)＝4sin cos ＋1，其中ω>0. (1)若f≤f(x)≤f，＝，求f(x)的对称中心； (2)若2<ω<4，函数f(x)图象向右平移个单位，得到函数g(x)的图象，x＝是g(x)的一个零点，若函数g(x)在[m，n](m，n∈R且m<n)上恰好有8个零点，求n－m的最小值； (3)已知函数h(x)＝a cos －2a(a<0)，在第(2)问条件下，若对任意x1∈，存在x2∈，使得h＝g成立，求实数a的取值范围． 2024-2025学年郑州市新密青屏高中高一上学期数学 第五章　三角函数 1．C　[A项，y＝sin x的最小正周期为2π，故A项不符合题意；B项，y＝cos x的最小正周期为2π，故B项不符合题意；C项，y＝sin 的最小正周期为T＝＝4π，故C项符合题意；D项，y＝cos 2x的最小正周期为T＝＝π，故D项不符合题意．故选C.] 2．D　[因为sin ＝，－cos ＝－，故角α的终边经过点P， 所以sin ＝cos α＝＝.故选D.] 3．B　[依题意，该扇面的面积为(32－12)×＝.故选B.] 4．A　[∵tan 2θ＝－4tan ， ＝－4， ∴2tan2θ＋5tanθ＋2＝0，tan θ＝－或－2， ∵θ∈， ∴tan θ∈(－1，0)，∴tan θ＝－， ∴＝ ＝＝＝，选A.] 5．D　[因为当地时间比北京时间晚1.5小时，所以时针应该是逆时针方向旋转，故时针需转动的角的弧度数β＝×＝.tan (α＋β)＝tan ＝＝7，解得tan α＝，∵π<α<，∴cos α<0，tan2α＝＝＝＝，解得cosα＝－.故选D.] 6．D　[因为－<－<－<，y＝sin x在x∈上单调递增，所以sin >sin ，故A正确；因为x＝2比x＝1距离正弦函数的对称轴x＝近，所以sin 2>sin 1，故B正确；因为cos ＝cos ＝cos ，cos ＝cos ＝cos ，而－π<－<－<0，函数y＝cos x在(－π，0)上单调递增，所以cos <cos ，故C正确；因为sin 508°＝sin 148°，而90°<144°<148°<180°，由正弦函数的单调性可知sin 508°＝sin 148°<sin 144°，故D错误．故选D.] 7. B　[由题意知，关于x的方程sin x－cos x－m＝0， 即sin x－cos x＝m在x∈上有解，则函数y＝sin x－cos x＝2sin 的图象与直线y＝m在上有交点， 如图，由图象得，－2≤m≤.] 8．C　[函数f(x)图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到y＝4sin 2x－2的图象，再沿x轴向左平移φ(φ>0)个单位长度，再向下平移1个单位长度得到 g(x)＝4sin (2x＋2φ)－3的图象．因为对于任意的x1∈，总存在x2∈，使得f(x1)＝g(x2)，所以⊆. 又当0≤x≤时，0≤2x≤，0≤sin 2x≤1，所以－1≤2sin 2x－1≤1，即＝[－1，1]，所以[－1，1]⊆.因为－≤t≤0，所以2t＋2φ∈.当φ＝时，2t＋2φ∈，g(t)∈[－5，2－3]，故A不符合题意．当φ＝时，2t＋2φ∈，g(t)取不到最大值1，故B不符合题意．当φ＝时，2t＋2φ∈，g(t)∈[－3，1]，故C符合题意．当φ＝时，2t＋2φ∈，g(t)∈[－2－3，－1]，故D不符合题意．故选C.] 9．CD　[ y＝cos |2x|在上单调递减，故A错误；y＝sin 2x为奇函数，故B错误；y＝|tan x|的图象如图： 故最小正周期为π，在上单调递增，且为偶函数，故C正确；y＝|sin x|的最小正周期为π，在上单调递增，且为偶函数，则y＝lg |sin x|也是以π为最小正周期且在上单调递增的偶函数，故D正确．故选CD.] 10．ABD　[t＝0时，θ＝25 ℃，∴B＝25 ℃，第二天凌晨3：00最低为19 ℃，此时t＝18， ∴，∴，A对． f＝6sin t＋25，令t＝即t＝6时f取最大值，t＝6对应下午3：00，B对． f＝28，则t＝2或10，即上午11：00或晚上7：00，C错． 14≤t≤20时，19≤f≤22，D对．故选ABD.] 11．BC　[由题意得a＝2，＝π，得T＝4π，又T＝，则ω＝，所以f(x)＝2sin . 由f＝1，得sin 4φ＝，由图知f在上单调递增，所以4φ＝2kπ＋，k∈Z，解得φ＝＋，k∈Z. 又<，只可能k＝0，所以φ＝，所以f＝2sin ， 根据已知图象平移可得g＝2sin ，故A错误，B正确； 因为f＝2sin ＝2，所以f的图象关于直线x＝对称，故C正确； 令＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 令k＝－2，得－≤x≤－，故[－，－π]上g不单调，故D错误．故选BC.] 12．[解析]　∵3cos ＋cos (π＋θ)＝0，由诱导公式可得3sin θ－cos θ＝0，则tan θ＝， ∴cos2θ＋sin2θ＝＝＝＝. [答案]　 13．[解析]　由题意知，PB＝8，QB＝12，设∠PMB＝α，∠QMB＝β，BM＝x，则tanα＝，tan β＝， 所以tan ∠PMQ＝tan (β－α)＝＝＝≤＝， 当且仅当x＝，即x＝时取等号，又因为≈10，所以张角∠PMQ最大时，BM大约为10米． [答案]　10 14．[解析]　由图象知T＝＝2，又ω>0，所以ω＝π，由五点作图法得＋φ＝π，即φ＝，所以f(x)＝sin ，令2kπ－≤πx＋≤2kπ＋，k∈Z，解得2k－≤x≤2k－，k∈Z，所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z. [答案]　，k∈Z 15．[解]　(1)因为角α的终边过点P(－1，2)， 所以OP＝，则sin α＝＝，tan α＝－2. (2) ＝＝＝＝－5. 16．[解]　f(x)＝2sin cos －sin (2x＋3π)＝sin ＋sin 2x＝sin 2x＋cos 2x＝2＝2sin . (1)f(x)的最小正周期为＝π. (2)由已知得g(x)＝2sin ＝2sin ＝2cos . ∵x∈， ∴2x＋∈， 故当2x＋＝π，即x＝时，g(x)min＝g＝－2； 故当2x＋＝，即x＝0时，g(x)max＝g(0)＝1.∴函数g(x)在区间上的最大值为1，最小值为－2. 17．[解]　(1)∵函数f(x)的最小正周期T＝＝π， ∴ω＝2，f(x)＝cos (2x＋φ)， ∴f＝cos ＝cos ＝－sin φ＝，且－<φ<0，∴φ＝－. (2)由(1)知f(x)＝cos .列表如下： x 0 π 2x－ － 0 π f(x) 1 0 －1 0 f(x)在[0，π]上的图象如图所示： (3)∵f(x)>，即cos >， ∴2kπ－<2x－<2kπ＋(k∈Z)， 则2kπ＋<2x<2kπ＋(k∈Z)， 即kπ＋<x<kπ＋(k∈Z). ∴x的取值范围是. 18．[解]　(1)由题意可得A＝4，＝－1－＝3，则T＝12，故ω＝＝， 将点代入，得cos ＝1，所以φ＝＋2kπ，k∈Z，又0<φ<，所以φ＝， 从而可得曲线段BCD的解析式为y＝4cos ，令x＝0，可得y＝6，所以E， 所以tan ∠EOD＝＝＝，则∠EOD＝，∠EOF＝－∠EOD＝－＝. (2)由(1)，可知OE＝＝4，又易知当矩形草坪PQMN的面积最大时，点P在弧上，故OP＝4， 由∠POF＝θ，0<θ<，则PQ＝4sin θ，OQ＝4cos θ，OM＝＝4sin θ， 所以矩形草坪PQMN的面积为 S＝PQ·＝4sin θ＝16 ＝16 ＝16sin －8. 又0<θ<，所以<2θ＋<，故当2θ＋＝， 即θ＝时，Smax＝16－8＝8， 矩形草坪PQMN面积取得最大值8. 19．[解]　(1)函数f(x)＝4sin cos ＋1＝2sin ＋1， 若f≤f(x)≤f，＝，则x1与x2是相邻的最小值点和最大值点， f的最小正周期为2×＝π，由＝π，解得ω＝1，得f(x)＝2sin ＋1， 令2x＋＝kπ，解得x＝－＋，此时f(x)＝1，所以f(x)的对称中心为. (2)g＝f ＝2sin ＋1 ＝2sin ＋1， g＝2sin ＋1 ＝2sin ＋1＝0， sin ＝－，所以＋＝＋2kπ或＋＝＋2kπ 解得ω＝3＋6k或ω＝5＋6k，又2<ω<4, 得ω＝3， 所以g＝2sin ＋1，函数最小正周期T＝＝， 令g＝0，即sin ＝－，解得x＝＋或x＝， 若g(x)在[m，n]上恰好有8个零点，则3T<n－m<5T， 要使n－m最小，则m，n恰好为g(x)的零点，n－m的最小值为3×＋＝. (3)由(2)知，g＝2sin ＋1，设h(x)在上的值域为A，g(x)在上的值域为B， 若对任意x1∈，存在x2∈，使得h＝g成立，则A⊆B， 当x∈， 6x－∈，sin ∈，则B＝， 当x∈，2x－∈，cos ∈，则A＝， 由A⊆B可得，又a<0，解得－2≤a<0，所以实数a的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $$