第9章 平面向量 单元测试 -2024-2025学年高一下学期数学苏教版（2019）必修第二册

密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 封 线 内 不 要 答 题 第9章　平面向量 全卷满分150分　考试用时120分钟 一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.已知平面向量a=(2,1),b=(1,m),若a⊥b,则m=(　　) A.- C.-2　　　D.2 2.已知a,b是两个不共线的向量,且=a+5b,=-2a+8b,=3a-3b,则　　(　　) A.A,B,D三点共线　　　B.A,B,C三点共线 C.B,C,D三点共线　　　D.A,C,D三点共线 3.在▱ABCD中,设=a,=b,E为对角线BD上靠近点D的一个五等分点,AE的延长线交CD于点F,则=(　　) A.a-b　　　B.-a+2b　　　 C.-a+b　　　D.-2a+b 4.勒洛三角形是一种典型的定宽曲线,以等边三角形每个顶点为圆心,其边长为半径,在另两个顶点间作一段圆弧,三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.在如图所示的勒洛三角形中,已知AB=2,P为弧上的点且∠PBC=45°,则·=(　　) A.-4 C.+4 5.已知△ABC中,()·,则此三角形为(　　) A.等边三角形　　　B.等腰非等边三角形 C.直角三角形　　　D.等腰直角三角形 6.若对于一些横、纵坐标均为整数的向量,它们的模相同,但坐标不同,则称这些向量为“等模整向量”.例如:向量a=(1,3)与b=(-3,-1)即为“等模整向量”,那么模为5的“等模整向量”有(　　) A.4个　　　B.6个　　　C.8个　　　D.12个 7.如图,在等腰△ABC中,已知||=2,∠A=120°,E,F分别是边AB,AC上的点(包含边界),且,其中λ+2μ=1,若线段EF,BC的中点分别为M,N,则||的最小值是(　　) A. C. 8.在△ABC中,E,F分别为AB,AC的中点,P为线段EF上除端点外的任意一点,实数x,y满足=0,设△ABC,△PBC,△PCA,△PAB的面积分别为S,S1,S2,S3,记=λi(i=1,2,3),则λ2·λ3取得最大值时,2x+y的值为(　　) A.-1　　　B.1　　　C.- 二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分) 9.如图,在平行四边形ABCD中,E,F是CD边上的两个三等分点,则下列选项正确的有(　　) A. C. 10.已知向量a,b,c满足a+b=(1,-1),a-3b=(-7,-1),c=(1,1),设a与b的夹角为θ,则(　　) A.|a|=|b|　　　B.a∥c　　　 C.θ=135°　　　D.b⊥c 11.如图,直线l1∥l2,点A是l1,l2之间的一个定点,点A到l1,l2的距离分别为AE,AD的长,且AE=1,AD=2.点B是直线l2上的一个动点,过点A作AC⊥AB,交直线l1于点C,若G是l1,l2所在平面内一点,且=0,则(　　) A.)　　　B.△GAB面积的最小值是 C.||≥1　　　D.·存在最小值 三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分) 12.已知向量a=(1,2),b=(2,-1),c=(3,-1),则a+2b在c上的投影向量的坐标为　　　　.  13.已知向量a与b的夹角为,|b|=2,若对任意x∈R,恒有|b+xa|≥,则(t∈R)的最小值为　　　　.  14.如图所示,在△ABC中,点D为BC边上一点,且,过点D的直线EF与AB交于E点,与直线AC交于F点(E,F两点不重合),若,则mn=　　　　;若,则λ+μ的最小值为　　　　.  四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(本小题满分13分)已知向量a=(2,0),b=. (1)求a+b方向上的单位向量; (2)若向量2ta+7b与向量a+tb的夹角为钝角,求实数t的取值范围. 16.(本小题满分15分)如图所示,在△ABC中,,BQ与CR相交于点I,AI的延长线与边BC交于点P. (1)用和分别表示和; (2)若,求实数λ和μ的值; (3)确定点P在边BC上的位置. 17. (本小题满分15分)如图,在梯形ABCD中,E为DC的中点,AD∥BC,∠BAD=, ∠BDA=,BC=BD. (1)求·的值; (2)求与夹角的余弦值. 18.(本小题满分17分)在平面直角坐标系中,已知A,C(7-m,0),t,m∈R,t≠0. (1)若t=1,m=4,P为x轴上的一个动点,点A'(1,-2). ①当A',P,B三点共线时,求点P的坐标; ②求||的最小值; (2)若t=sin θ,θ∈(0,π),且与的夹角α∈,求m的取值范围. 19.(本小题满分17分)如图,正方形ABCD的边长为6,E是AB的中点,F是BC边上靠近点B的三等分点,AF与DE交于点M. (1)求∠EMF的余弦值; (2)设,求λ的值及点M的坐标; (3)若点P自点A按逆时针方向沿正方形的边运动一周后回到点A,在这个过程中,是否存在这样的点P,使得EF⊥MP?若存在,求出MP的长度;若不存在,请说明理由. 答案与解析 第9章　平面向量 1.C　因为a=(2,1),b=(1,m),a⊥b,所以a·b=2+m=0,所以m=-2.故选C. 2.A　易得=-2a+8b+3a-3b=a+5b=,所以∥, 又AB,BD有公共点B,所以A,B,D三点共线.故选A. 3.B　易得△DEF∽△BEA,所以,所以,所以, 所以a+2b. 4.B　解法一:··(·=2×2×cos 45°-2×2=2-4.故选B. 解法二:以B为原点,BC所在直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系, 则B(0,0),C(2,0),因为P为弧上的点且∠PBC=45°,所以P(), 则),所以·-4.故选B. 5.A　设AC的中点为M,连接BM(图略),则()··=0,可知⊥,即BM⊥AC,故△ABC为等腰三角形. 因为, 所以=3,即+2··=3,即2+2cos<>=3, 故cos<, 又<>∈[0,π],所以∠BAC=. 所以△ABC为等边三角形. 故选A. 6.D　设模为5的“等模整向量”为ai(i=1,2,3,…). 因为5, 所以模为5的“等模整向量”有a1=(1,7),a2=(1,-7),a3=(-1,-7),a4=(-1,7),a5=(7,1),a6=(7,-1),a7=(-7,1),a8=(-7,-1),a9=(5,5),a10=(5,-5),a11=(-5,5),a12=(-5,-5), 所以模为5的“等模整向量”共有12个. 故选D. 7.B　连接AM,AN,图略.由题意可得), 所以], 则·] =[4(1-λ)2-4(1-λ)(1-μ)+4(1-μ)2] =λ2+μ2-λμ-λ-μ+1, 又λ+2μ=1,所以, 由题可知所以0≤μ≤, 所以当μ=时,取得最小值,故||的最小值为. 故选B. 8.D　由题意可得EF是△ABC的中位线,∴P到BC的距离等于△ABC的边BC上的高的一半,可得S1=S=S2+S3,故λ2+λ3=,由题意知λ2,λ3均为正数,∴λ2·λ3≤,当且仅当λ2=λ3,即P为EF的中点时,等号成立,此时=0,由向量加法的平行四边形法则可得,两式相加,得2=0,又∵,故2x+y=.∴当λ2·λ3取得最大值时,2x+y的值为. 9.AB　因为E,F是CD边上的两个三等分点,所以,故A正确; 因为,所以,故B正确; ≠,故C错误; ,故D错误. 故选AB. 10.BC　设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b=(x1+x2,y1+y2),a-3b=(x1-3x2,y1-3y2), 又∵a+b=(1,-1),a-3b=(-7,-1), ∴且 解得且 ∴a=(-1,-1),b=(2,0),∴|a|=,|b|=2,故A错误. 又c=(1,1),∴a=-c,∴a∥c,故B正确. cos θ=,又0°≤θ≤180°,∴θ=135°,故C正确. ∵b·c=2×1+0×1=2≠0,∴b与c不垂直,故D错误. 故选BC. 11.ABC　记AB的中点为F,连接CF,以D为原点,DB,DE所在直线分别为x轴,y轴建立如图所示的平面直角坐标系, 则A(0,2),E(0,3),设C(m,3),B(n,0),G(x,y),m,n,x,y∈R,且m,n≠0, 所以=(m-x,3-y), 因为AC⊥AB,所以·=0,即mn-2=0, 故n=,即B,所以, 因为=0, 所以 解得即G, 所以, 又因为×+(m,1)=,所以),故A正确; 因为=0,所以), 即,所以G,C,F三点共线,且G为CF上靠近F的三等分点, 所以S△GAB=S△ABC=|·|| =· =≥, 当且仅当m2=,即m=±1时取等号, 所以△GAB面积的最小值为,故B正确; | ≥=1, 当且仅当=m2,即m=±时取等号, 所以||≥1,故C正确; ·· =-· =, 易知函数y=m2--7(m≠0)没有最值,即·没有最值,故D错误. 故选ABC. 12.答案　 解析　由题意得a+2b=(5,0),又c=(3,-1), 所以a+2b在c上的投影向量的坐标为·. 13.答案　 解析　∵|b+xa|≥,∴|b+xa|2≥,整理可得a2x2+2|a|x+|a|-a2≥0(*),　 由题意知|a|≠0,若对任意x∈R,(*)式恒成立,则Δ=4|a|2-4|a|2≤0, 即≤0,∴|a|=2. 又t∈R,∴ =≥. 14.答案　 解析　因为,所以, 故, 故m=,所以mn=. 因为, 所以, 又D,E,F三点共线,所以=1, 由题意可知λ,μ>0, 故λ+μ=(λ+μ)≥1+2,当且仅当=1,即λ=时取等号, 故λ+μ的最小值为1+. 15.解析　(1)由已知得a+b=(2,0)+, 所以|a+b|=,(3分) 所以,即a+b方向上的单位向量为.(6分) (2)由已知得a·b=1,|a|=2,|b|=1, 所以(2ta+7b)·(a+tb)=2ta2+(2t2+7)a·b+7tb2=2t2+15t+7,(8分) 因为向量2ta+7b与向量a+tb的夹角为钝角, 所以(2ta+7b)·(a+tb)<0,且向量2ta+7b不与向量a+tb反向共线,(9分) 假设2ta+7b=k(a+tb)(k<0), 则 所以t=-, 从而解得(12分) 所以t∈∪.(13分) 16.解析　(1),(2分) .(4分) (2)由题意及(1)知, 且,(6分) ∴(1-λ), ∵不共线,∴解得(8分) (3)设,由题可知0<m<1,n>1. 由(2)知, ∴,(10分) 又, ∴, ∵不共线,∴解得(12分) ∴,即=2.(14分) ∴点P为BC上靠近点C的三等分点.(15分) 17.解析　(1)因为∠BDA=,AD∥BC,所以∠DBC=∠BDA=, 又BC=BD,所以△BCD为等边三角形,所以BD=CD=BC,∠BDC=.(2分) 在Rt△ABD中,由∠BDA=,得BD=2AD, 所以CD=BC=2AD,(4分) 则, 易得,(5分) 所以··(2|2=0.(7分) (2)由(1)得,|, 又,∠ADC=,(9分) 所以·)·(2·|2 =2||·||·cos|2,(11分) 又| = =|, | = =2||,(13分) 所以cos<.(15分) 18.解析　(1)①设P(x,0), 因为m=4,所以B(4,2), 又因为A'(1,-2),所以=(3,4),(2分) 因为A',P,B三点共线,所以与共线, 所以4(x-1)=6,解得x=, 所以当A',P,B三点共线时,点P的坐标为.(4分) ②因为t=1,所以A(1,2). 因为A(1,2)关于x轴对称的点为A'(1,-2), 所以||, 所以当A',P,B三点共线时,||取得最小值,(6分) 最小值为|=5, 故||的最小值为5.(8分) (2)因为t=sin θ,所以A, 又B,C(7-m,0), 所以. 因为与的夹角α∈, 所以·>0恒成立, 即·=sin θ+m-7+>0恒成立,(10分) 又因为θ∈(0,π),所以sin θ>0, 所以sin2θ-7sin θ+msin θ+16-3m>0, 即(3-sin θ)m<sin2θ-7sin θ+16,θ∈(0,π)恒成立.(12分) 又因为3-sin θ>0, 所以m<,θ∈(0,π)恒成立.(13分) 令3-sin θ=k, 则m<+1,k∈[2,3),(15分) 因为k++1≥2+1=5,当且仅当k=2时等号成立, 所以m的取值范围是m<5.(17分) 19.解析　(1)如图所示,以点A为原点建立平面直角坐标系, 则D(0,6),E(3,0),A(0,0),F(6,2), ∴=(6,2),(2分) ∵∠EMF是与的夹角, ∴cos∠EMF=cos<, ∴∠EMF的余弦值为.(4分) (2)由(1)知=(6λ,2λ),则M(6λ,2λ), 由D,M,E三点共线,可设,0<t<1, 即(6λ,2λ-6)=t(3,-6),则 解得λ=,故M.(8分) (3)存在. 由(1)得=(3,2),假设存在点P,使得EF⊥MP,则·=0. ①当点P在AB上时,设P(x,0)(0≤x≤6),由(2)知M,则, 则3x-,满足题意,∴P, 故MP=;(10分) ②当点P在BC上时,设P(6,y),0≤y≤6,由(2)知M,则, 则(舍去);(12分) ③当点P在CD上时,设P(x,6),0≤x≤6,由(2)知M,则, 则3x-(舍去);(14分) ④当点P在DA上时,设P(0,y),0≤y≤6,由(2)知M,则, 则-,满足题意,∴P,故MP=.(16分) 综上,存在符合题意的点P或P,使得EF⊥MP,此时MP的长度为或.(17分) 学科网（北京）股份有限公司 $$