第14章 统计单元测试 -2024-2025学年高一下学期数学苏教版（2019）必修第二册

密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 封 线 内 不 要 答 题 第14章　统计 全卷满分150分　考试用时120分钟 一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.下列调查中,调查方式选择合理的是(　　) A.了解某市高一年级学生的身高情况,选择普查 B.了解长征运载火箭的设备零件质量情况,选择抽样调查 C.了解一批待售袋装牛奶中的细菌数是否达标,选择普查 D.了解一批炮弹的杀伤力,选择抽样调查 2.总体由编号分别为01,02,…,30的30个个体组成.利用下面所给的随机数表选取6个个体,选取的方法是从随机数表的第1行第3列开始,由左到右一次选取两个数字,则选出来的第5个个体的编号为(　　) (第1行)1712　1340　3320　3826　1389　5103　7417　7637 (第2行)1304　0774　2119　3056　6218　3735　9683　5087 A.20　　　B.26 C.17　　　D.03 3.某中学历史学科组近期开展了“回望丝路”系列主题活动,组织“一带一路”知识竞赛,并对学生成绩进行了汇总整理,作出如下频率分布直方图(图中各组区间除最后一组为闭区间外,均为左闭右开区间).则该校学生“一带一路”知识竞赛分数的第60百分位数约为(　　) A.72　　　B.76　　　C.78　　　D.85 4.PM2.5是衡量空气质量的重要指标.某地9月1日到10日的PM2.5日均值(单位:μg/m3)的折线统计图如图所示,则下列说法错误的是(　　) A.这10天中PM2.5日均值的众数为33 μg/m3　 B.这10天中PM2.5日均值的中位数是32 μg/m3　 C.这10天中PM2.5日均值的中位数大于平均数 D.这10天中PM2.5日均值开始4天的方差大于最后4天的方差 5.某中学从参加高一年级上学期期末考试的学生中抽出60名,将其成绩(均为整数)分成六组[40,50),[50,60),…,[90,100],并画出频率分布直方图如图所示,则(　　) A.成绩在区间[90,100]内的人数为5 B.抽出的学生的平均成绩是71分 C.这次考试的及格率(60分及以上为及格)约为55% D.若从成绩在70分以上(包括70分)的学生中选一人,则选到成绩排在第一名学生(第一名只有一人)的可能性大小为 6.南丁格尔玫瑰图是由近代护理学和护士教育创始人南丁格尔设计的,图中每个扇形的圆心角都是相等的,半径长短表示数量大小.某机构统计了2016年至2023年某国知识付费用户数量(单位:亿人次),并绘制成南丁格尔玫瑰图(如图所示),根据此图,以下说法错误的是(　　) A.2016年至2023年,知识付费用户数量逐年增加 B.2016年至2023年,知识付费用户数量逐年增加量中,2019年最多 C.2016年至2023年,知识付费用户数量的逐年增加量逐年递增 D.2023年知识付费用户数量超过2016年知识付费用户数量的10倍 7.已知某4个数据的平均数为6,方差为3,现再加入一个数据8,则这5个数据的方差为(　　) A. C. 8.根据气象学上的标准,连续5天的日平均气温低于10 ℃即为入冬,某地将连续5天的日平均气温的记录数据(记录数据都是自然数)作为一组样本,现有4组样本①②③④,它们各自的数据特征如下:①平均数<4;②平均数<4且极差小于或等于3;③平均数<4且标准差s≤4;④众数等于5且极差小于或等于4. 则4组样本中一定符合入冬标准的有(　　) A.1组　　　B.2组　　　 C.3组　　　D.4组 二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分) 9.某教育局对全区高一年级的学生身高进行抽样调查,随机抽取了200名学生,他们的身高都处在A,B,C,D,E五个层次内,根据抽样结果得到统计图如下,则下列结论正确的是(　　) A.男生人数为80　　　B.B层次中男、女生人数相差最大 C.D层次中男生人数多于女生人数　　　D.E层次中女生人数最少 10.为了更好地支持中小型企业的发展,某市决定对部分企业的税收进行适当减免.现调查了当地的100家中小型企业年收入情况,并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图,则下面结论正确的是(　　) A.样本在区间[500,700]内的频数为18 B.如果规定年收入在300万元以内的企业才能享受税收减免政策,那么可估计当地有30%的中小型企业能享受到税收减免政策 C.样本的中位数小于350万元 D.估计当地的中小型企业年收入的平均数超过400万元(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表) 11.甲同学投掷骰子5次,并请乙同学将向上的点数记录下来,计算出平均数和方差.由于记录遗失,乙同学只记得这5个点数的平均数为2,方差在区间[1.2,2.4]内,则这5个点数(　　) A.众数可能为1　　　 B.中位数可能为3 C.一定不会出现6　　　 D.出现2的次数不会超过2 三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分) 12.已知一组数据x1,x2,…,x10的方差为4,若数据a+bx1,a+bx2,…,a+bx10(a,b∈R)的方差为36,则b的值为　　　　.  13.某科研机构研究发现,某品种中医药的药物成分甲的含量x与药物功效y之间满足关系式y=15x-2x2,检测这种药品一个批次的6个样本,得到成分甲的含量x的平均值为5,标准差为,则这批中医药的药物功效y的平均值为　　　　.  14.在一次文艺比赛中,12名专业人士和12名观众代表各组成一个评委小组给参赛选手打分,下面是两组评委对同一选手的打分: 小组A:42,45,48,46,52,47,49,55,42,51,47,45; 小组B:55,36,70,66,75,49,46,68,42,62,58,47. B小组所打分数的第75百分位数是　　　　;从评委打分的相似性上看更像专业人士组成的小组是　　　　小组.  四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(本小题满分13分)坐位体前屈是中小学生体质健康测试项目,主要测试学生躯干、腰、髋等部位关节韧带和肌肉的伸展性、弹性及身体柔韧性,在对某高中1 500名高三年级全体学生的坐位体前屈成绩的调查中,采用分层抽样的方法按学生性别抽取100人,已知这1 500名学生中男生坐位体前屈成绩有900人,且抽取的样本中男生坐位体前屈成绩的平均数和方差分别为13.2 cm和13.36 cm2,女生坐位体前屈成绩的平均数和方差分别为15.2 cm和17.56 cm2. (1)求抽取的总样本的平均数; (2)试估计高三年级全体学生的坐位体前屈成绩的方差. 参考公式:总体分为2层的分层抽样中,各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为n1,.记总样本的平均数为,样本方差为s2,则s2=)2]}. 16.(本小题满分15分)某稻谷试验田试种了A,B两个品种的水稻各10亩,并在稻谷成熟后统计了这20亩地的稻谷产量(单位:kg),情况如下表,记A,B两个品种各10亩产量的平均数分别为和,方差分别为和. A(单位:10 kg) 60 63 50 76 71 85 75 63 63 64 B(单位:10 kg) 56 62 60 68 78 75 76 62 63 70 (1)分别求这两个品种产量的极差和中位数; (2)求; (3)依据以上计算结果进行分析,推广种植A品种还是B品种水稻更合适. 17.(本小题满分15分)某电子产品制造企业为了提升生产效率,对现有的一条电子产品生产线进行技术升级改造,为了分析改造的效果,该企业质检人员从该条生产线所生产的电子产品中随机抽取1 000件,检测产品的某项质量指标值,根据检测数据得到下表. 质量 指标值 [25,35) [35,45) [45,55) [55,65) [65,75) [75,85) [85,95] 产品件数 60 100 160 300 200 100 80 (1)估计这组样本的质量指标值的平均数和方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表); (2)设[x]表示不大于x的最大整数,{x}表示不小于x的最小整数,s精确到个位,an=5·,bn=5·(n∈N*),根据检验标准,技术升级改造后,若质量指标值有65%落在[a1,b1]内,则可以判定技术改造后的产品质量初级稳定;若有95%落在[a2,b2]内,则可以判定技术改造后的产品质量稳定,可认为生产线技术改造成功.根据样本数据是否可以判定该生产线技术改造成功. 18.(本小题满分17分)某市为了制订合理的节水方案,对居民用水情况进行了调查.经过随机抽样,获得200户居民的年用水量(单位:吨)数据,按[0,10),[10,20),[20,30),[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90]分成九组,绘制成频率分布直方图(如图所示). (1)求频率分布直方图中t的值; (2)根据频率分布直方图估计该市60%的居民年用水量不超过m吨,求m的值; (3)已知该市有100万户居民,规定:每户居民年用水量不超过50吨的正常收费,若超过50吨,则超出的部分每吨收1元水资源改善基金,请估计该市居民每年缴纳的水资源改善基金总数.(每组数据以所在区间的中点值为代表) 19.(本小题满分17分)某高三年级在某次月考后,对文科班100位学生的数学成绩作了统计分析,发现其中低于100分的有60位学生,且他们的成绩X都在[75,100)内. (1)对他们的考试分数以5为组距画频率分布直方图时,发现Y满足:Y=5n≤X<5(n+1). 试求k的值,并估计低于100分的学生成绩的平均值; (2)若在原始数据中,低于100分的学生成绩的平均值为70分,方差为400分2,如果计算所有100位学生成绩的原始数据,得其平均值为94分,方差为1 300分2,请求出数学成绩在100分及其以上的学生的成绩的平均值和方差. 答案与解析 第14章　统计 1.D　A中调查总体中的个体数太大,普查的意义不大,不适合用普查,B中调查对精确度要求较高,应该用普查,C,D中调查具有破坏性,应用抽样调查.故选D. 2.D　从题中随机数表的第1行第3列开始,由左到右一次选取两个数字,选出的编号依次为12,13,40,33,20,38,26,13,89,51,03,…, 剔除掉总体编号以外的编号,以及重复的编号, 则选出来的个体的编号依次为12,13,20,26,03,…, 所以选出来的第5个个体的编号为03. 故选D. 3.B　由题中频率分布直方图知,分数在区间[50,60)内的频率为1-(0.027+0.025+0.016+0.014)×10=0.18,即a=0.018, 则在区间[50,70)内的频率为0.18+0.027×10=0.45,在区间[50,80)内的频率为0.18+0.027×10+0.025×10=0.7, 所以第60百分位数在区间[70,80)内,设为x,则,解得x=76. 故选B. 4.C　由题图可知,众数为33 μg/m3,中位数为32 μg/m3,故A,B中说法正确;因为受极端值128 μg/m3的影响,所以平均数应大于中位数,故C中说法错误;因为开始4天数据的波动程度比最后4天数据的波动程度大,所以开始4天的方差大于最后4天的方差,故D中说法正确.故选C. 5.B　成绩在区间[90,100]内的人数为60×0.005×10=3,故A错误. 抽出的学生的平均成绩是45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71(分),故B正确. 60分及以上的频率之和为(0.015+0.03+0.025+0.005)×10=0.75,所以及格率为75%,故C错误. 成绩在70分以上(包括70分)的学生有60×(0.03+0.025+0.005)×10=36(人), 所以选到成绩排在第一名学生的可能性大小为,故D错误.故选B. 6.C　对于A,由题图可知,2016年至2023年,知识付费用户数量逐年增加,故A中说法正确; 对于B和C,知识付费用户数量(单位:亿人次)的逐年增加量分别为:2017年,0.96-0.48=0.48,2018年,1.88-0.96=0.92,2019年,2.95-1.88=1.07,2020年,3.56-2.95=0.61,2021年,4.15-3.56=0.59,2022年,4.77-4.15=0.62,2023年,5.27-4.77=0.5, 则知识付费用户数量逐年增加量中,2019年最多,知识付费用户数量的逐年增加量不是逐年递增的,故B中说法正确,C中说法错误; 对于D,由5.27>10×0.48,知2023年知识付费用户数量超过2016年知识付费用户数量的10倍,故D中说法正确. 故选C. 7.C　设原来的4个数据依次为a,b,c,d,则a+b+c+d=24, 由原方差为3,得[(a-6)2+(b-6)2+(c-6)2+(d-6)2]=3, 即[(a-6)2+(b-6)2+(c-6)2+(d-6)2]=12, 所以(a2+b2+c2+d2)-12(a+b+c+d)+36×4=12, 则a2+b2+c2+d2=12+12×24-36×4=156, 再加入一个数据8,则其平均数为, 则这5个数据的方差为 = =. 故选C. 8.B　①举反例:0,0,0,4,11,其平均数=3<4,但不符合入冬标准; ②假设有数据大于或等于10,由极差小于或等于3可知,该组数据中的最小值大于或等于7,此时数据的平均数必然大于7,与<4矛盾,假设错误,则此组数据全部小于10,符合入冬标准; ③举反例:1,1,1,1,11,其平均数=3<4,标准差s=4,但不符合入冬标准; ④当众数等于5且极差小于或等于4时,该组数据中最大的数不超过9,符合入冬标准.故选B. 9.ABD　由题图知,抽取的女生有18+48+30+18+6=120(人),所以抽取的男生有200-120=80(人),故A正确; B层次的男生占1-10%-15%-20%-25%=30%,则A,B,C,D,E五个层次中的男生人数分别为8,24,20,16,12,则A,B,C,D,E五个层次中男、女生相差的人数分别为10,24,10,2,6,故B层次中男、女生人数相差最大,故B正确; D层次中男生有16人,女生有18人,男生人数少于女生人数,故C错误; E层次中的女生人数最少,故D正确. 故选ABD. 10.AB　由题中频率分布直方图得,100×(0.001+0.002+0.002 6×2+a+0.000 4)=1,解得a=0.001 4,所以样本在区间[500,700]内的频数为100×(0.001 4+0.000 4)×100=18,故选项A正确; 年收入在300万元以内的企业的频率为100×(0.001+0.002)=0.3,所以估计当地有30%的中小型企业能享受到税收减免政策,故选项B正确; 100×(0.001+0.002)=0.3<0.5,100×(0.001+0.002+0.002 6)=0.56>0.5,故中位数位于区间[300,400)内,设中位数为x万元,则(x-300)×0.002 6=0.5-0.3,解得x≈377>350,故选项C错误; 平均数为150×0.1+250×0.2+350×0.26+450×0.26+550×0.14+650×0.04=376(万元)<400万元,故选项D错误.故选AB. 11.ACD　解法一:若5个点数分别为1,1,1,2,5,则众数为1,平均数为2,方差s2=2.4∈[1.2,2.4],∴A正确. 假设中位数为3,设5个点数分别为a1,a2,a3,a4,a5(a1≤a2≤a3≤a4≤a5),则a3=3,a1+a2≥2,a4+a5≥6,由平均数为2得a1+a2+a4+a5=7,与假设相矛盾,∴B错误. 假设点数出现6,则其他4个点数之和为4,即数据为1,1,1,1,6,其方差s2=4∉[1,2,2.4],与已知相矛盾,∴C正确. 若2出现3次,则其他2个点数之和为4,即数据为1,2,2,2,3,其方差s2=0.4∉[1.2,2.4],即2不能出现3次,同理2不能出现4次或5次,∴出现2的次数不会超过2,∴D正确. 解法二:设向上的点数分别为x1,x2,x3,x4,x5, 则x1+x2+x3+x4+x5=10, (x1-2)2+(x2-2)2+(x3-2)2+(x4-2)2+(x5-2)2∈[6,12]. 对于A,不妨取x1=x2=x3=1,x4=3,x5=4,则(xi-2)2=8∈[6,12],故A正确. 对于B,不妨设x1≤x2≤x3≤x4≤x5,则x3=3,∴x5≥x4≥3,x2≥x1≥1,∴x1+x2+x3+x4+x5≥11,不可能为10,故B错误. 对于C,若出现6,则(xi-2)2>12,与(xi-2)2∈[6,12]矛盾,故不可能出现6,故C正确. 对于D,假设2至少出现3次,不妨设x1=x2=x3=2,则x4+x5=4,(x4-2)2+(x5-2)2=2(x4-2)2<6,这与(xi-2)2∈[6,12]矛盾,故D正确. 故选ACD. 12.答案　3或-3 解析　设数据x1,x2,…,x10的平均数为,方差为s2,则, s2=)2+…+(x10-)2]=4, 设数据a+bx1,a+bx2,…,a+bx10(a,b∈R)的平均数为',方差为s'2, 则, s'2=')2+…+(a+bx10-')2] =)2+…+(bx10-b)2]=b2s2=4b2=36, 所以b=3或b=-3. 13.答案　15 解析　设6个样本中药物成分甲的含量分别为x1,x2,x3,x4,x5,x6,则xi+150=5,可得=180. 又y=15x-2x2,所以=90, 所以这批中医药的药物功效的平均值为yi=15. 14.答案　67;A　 解析　将小组B的打分数据从小到大排序为36,42,46,47,49,55,58,62,66,68,70,75,因为12×75%=9,所以B小组所打分数的第75百分位数是=67. ×(42+45+48+46+52+47+49+55+42+51+47+45)≈47, 故×[(42-47)2+(45-47)2+…+(45-47)2]≈14.08, ×(55+36+70+66+75+49+46+68+42+62+58+47)≈56, 故×[(55-56)2+(36-56)2+…+(47-56)2]=139. 因为,所以A小组更像专业人士组成的小组. 15.解析　(1)设分别抽取m名男生和n名女生的坐位体前屈成绩,则,(2分) 解得m=60,n=40.(4分) 所以抽取的总样本的平均数为×15.2=14(cm).(8分) (2)记总样本的方差为s2 cm2, 则s2=×{60×[13.36+(13.2-14)2]+40×[17.56+(15.2-14)2]}=16(cm2).(12分) 所以估计高三年级全体学生的坐位体前屈成绩的方差为16 cm2.(13分) 16.解析　(1)由题表中数据可知,A品种的产量(单位:10 kg)从小到大排列为50,60,63,63,63,64,71,75,76,85,故A品种产量(单位:10 kg)的极差为85-50=35,中位数为=63.5;(2分) B品种的产量(单位:10 kg)从小到大排列为56,60,62,62,63,68,70,75,76,78,B品种产量(单位:10 kg)的极差为78-56=22,中位数为=65.5.(4分) (2)由题意得=67(10 kg),(6分) =67(10 kg),(8分) ×[(60-67)2+(63-67)2+…+(64-67)2]=88(100 kg2),　(10分) ×[(56-67)2+(62-67)2+…+(70-67)2]=51.2(100 kg2).　(12分) (3)结合(2)知A,B两个品种水稻的产量平均数一样,但是B的方差较小,较稳定,所以推广种植B品种水稻更合适.(15分) 17.解析　(1)由题可得=30×0.06+40×0.1+50×0.16+60×0.3+70×0.2+80×0.1+90×0.08=61,(3分) s2=(30-61)2×0.06+(40-61)2×0.1+(50-61)2×0.16+(60-61)2×0.3+(70-61)2×0.2+(80-61)2×0.1+(90- 61)2×0.08=241.(7分) (2)由s2=241得s≈16,(8分) 则a1=5×=90.(10分) 由题表知,该样本数据落在[45,75)内的频率为(0.16+0.3+0.2)×100%=66%>65%,落在[30,90]内的频率约为×100%=93%<95%,(13分) 所以可以判定技术改造后的产品质量初级稳定,但不能判定该生产线技术改造成功.(15分) 18.解析　(1)由题中频率分布直方图得10×(0.003+0.008+0.022+0.024+0.007+0.003+0.003+2t)=1,解得t=0.015.(3分) (2)由题中频率分布直方图得, 前4组频率之和为0.03+0.08+0.15+0.22=0.48,前5组频率之和为0.48+0.24=0.72,所以40<m<50,(9分) 由,解得m=45.(12分) (3)由题可知在区间[50,60),[60,70),[70,80),[80,90]内的居民年用水量(单位:吨)分别取55,65,75,85为代表,则他们的年用水量分别超出5吨,15吨,25吨,35吨,(14分) 则106×(0.15×5+0.07×15+0.03×25+0.03×35)=3.6×106(元), 所以估计该市居民每年缴纳的水资源改善基金总数为3.6×106元.(17分) 19.解析　(1)X在[75,100)内,以5为组距可分成5组:[75,80),[80,85),[85,90),[90,95),[95,100), 因为75≤X<100,5n≤X<5(n+1),n∈N*, 所以当n取15,16,17,18,19时,各个小区间的频率P=5Y=(3分) 由+k·=1,解得k=1. 故成绩落在[75,80),[80,85),[85,90),[90,95),[95,100)内的频率分别是.(5分) 故估计低于100分的学生成绩的平均值为77.5×(分).(8分) (2)因为成绩低于100分的学生有60人, 所以成绩在100分及其以上的学生有100-60=40(人), 设低于100分的学生的成绩为xi(i=1,2,…,60)分,则平均数=70分,方差=400分2, 设100分及其以上学生的成绩为yi(i=1,2,…,40)分,平均数为分,方差为分2, 100位学生的成绩为zm(m=1,2,…,100)分,则平均数为=94分,方差为=1 300分2, 所以60,所以=130.(12分) 由s2=, 得-702=400,故=5 300, -942=1 300,故=10 136,(14分) 故-1302 =×(100×10 136-60×5 300)-1302=490. 所以数学成绩在100分及其以上的学生的成绩的平均值为130分,方差为490分2.(17分) 学科网（北京）股份有限公司 $$