第11章 解三角形 单元测试 -2024-2025学年高一下学期数学苏教版（2019）必修第二册

密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 封 线 内 不 要 答 题 第11章　解三角形 全卷满分150分　考试用时120分钟 一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b=2asin B,bc=4,则△ABC的面积为(　　) A.1　　　B. C.2　　　D.2 2.在△ABC中,“cos A<cos B”是“sin A>sin B”的(　　) A.充分不必要条件　　　B.必要不充分条件 C.充要条件　　　D.既不充分也不必要条件 3.某中学校园内的红豆树已有百年历史,小明为了测量其高度,选取了与红豆树根部C在同一水平面内的A,B两点,在A处测得红豆树根部C在北偏西60°的方向上,沿正西方向步行40米到B处,测得红豆树根部C在北偏西15°的方向上,树梢D的仰角为30°,则红豆树的高度为(　　) A.10米　　　B.20米 C.米　　　D.米 4.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且=4csin B+a,则tan A的值为(　　) A.-2　　　B.-3 C.3　　　D.2 5.在△ABC中,AC=1,AD⊥BC,垂足为D,且,则当∠BAC取得最大值时,△ABC的周长为(　　) A.2+　　　 C.3+ 6.在锐角△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若c-b=2bcos A,则下列四个结论中正确的是(　　) A.B=2A B.B的取值范围为 C.的取值范围为() D.+2sin A的最小值为2 7.在锐角△ABC中,r为其外接圆半径,若2b2=2a2+2c2-6ac+,则角C的度数为(　　) A.30°　　　B.45°　　　 C.60°　　　D.75° 8.在锐角△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,S为△ABC的面积,且2S=a2-(b-c)2,则的取值范围为(　　) A. C.,+∞) 二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分) 9.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,下列说法中正确的是(　　) A.若a=5,b=10,A=,则符合条件的三角形不存在 B.若a=8,c=10,B=,则符合条件的△ABC有两个 C.若a4+b4=c4,则C< D.若AB=,AC=1,B=30°,则△ABC的面积为 10.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若·=2,a=2,则(　　) A.bccos A=2a　　　B.b2+c2=8 C.角A的最大值为　　　D.△ABC面积的最大值为 11.已知对任意角α,β均有公式sin 2α+sin 2β=2sin(α+β)·cos(α-β).设△ABC的内角A,B,C满足sin 2A+sin(A-B+C)=sin(C-A-B)+,面积S满足1≤S≤2.记a,b,c分别为内角A,B,C所对的边,则下列关系式一定成立的是(　　) A.bc(b-c)<16　　　B.6≤abc≤12 C.4≤≤4　　　D.sin Asin Bsin C= 三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分) 12.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知A=60°,b+c=6,且△ABC的面积为,则△ABC的内切圆的半径为　　　　.  13.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且c=asin C-ccos A,若△ABC为锐角三角形,a=,则△ABC周长的取值范围为　　　　.  14.如图,在△ABC中,sin A=,D,E分别在边BC,AC上,EC=EB,ED⊥BC且DE=1,则cos C=　　　　;△ABE的面积是　　　　.  四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(本小题满分13分)如图,有一四边形休闲区域ABCD,其四周是步道,中间是花卉种植区域,为减少拥堵,中间穿插了新能源环保电动车道AC,已知D=2B,且AD=1千米,CD=3千米,cos B=. (1)求新能源环保电动车道AC的长度; (2)若　　　,求花卉种植区域的总面积(道路宽度不计).  从①∠ACB=这两个条件中任选一个,补充在上面问题中并作答. 注:如果选择条件①和条件②分别解答,按第一个解答计分. 16.(本小题满分15分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,. (1)求角A; (2)若点D在线段AC上,且,ADsin∠CBD=CDsin C,求cos∠ABC. 17.(本小题满分15分)如图,半圆O的直径为2,A为直径延长线上的一点,且OA=2,B为半圆上任意一点,以AB为一边作等边三角形ABC. (1)点B在什么位置时,四边形OACB的面积最大? (2)求OC长度的最大值. 18.(本小题满分17分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2bsin=a+c,且c=2,点D在线段BC上. (1)若∠ADC=,求AD的长; (2)若,△ABC的面积为3,求的值. 19. (本小题满分17分)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,cos(A-C)- cos B=,△ABC的面积为. (1)求B; (2)若点P在△ABC的内部,满足∠APB=∠BPC=∠CPA=,求PB2-PA·PC的值; (3)若△ABC所在平面内的点Q满足∠BQA=∠BQC=∠AQC=,求(QA+QC-QB)·QB的值. 答案与解析 第11章　解三角形 1.A　因为b=2asin B,所以由正弦定理得sin B=2sin Asin B,因为B∈(0,π),所以sin B≠0,所以1=2sin A,解得sin A=,所以S△ABC=bcsin A==1.故选A. 2.C　由,得当sin A>sin B时,a>b,再根据三角形中大边对大角知A>B,又A∈(0,π),B∈(0,π),y=cos x在(0,π)上单调递减,∴cos A<cos B. 当cos A<cos B时,结合y=cos x在(0,π)上单调递减知A>B,∴a>b,又,∴sin A>sin B,∴“cos A<cos B”是“sin A>sin B”的充要条件.故选C. 3.D　依题意可得图形: 在△ABC中,∠BAC=30°,∠ABC=105°,则∠BCA=180°-105°-30°=45°,由题知AB=40米, 所以由正弦定理得,解得BC=20米, 在Rt△BCD中,∠CBD=30°, 所以CD=BC·tan 30°=20(米),则红豆树的高度为米.故选D. 4.A　因为=4csin B+a, 所以由正弦定理得=4csin B+a,即6c2+2b2=4acsin B+a2, 则由余弦定理得6c2+2(a2+c2-2accos B)=4acsin B+a2, 化简得8c2+a2=4ac(sin B+cos B),即, 因为≥=1,当且仅当a=2c时等号成立, 而sin≤1,所以sin=1,因为B∈(0,π),所以B+,则B=, 由a=2c,得sin A=2sin C=2,整理得sin A=2sin A+2cos A,故tan A=-2.故选A. 5.A　设CD=a,若,则D在BC的延长线上,且BD=3CD=3a,如图, 由AC=1,得AD2=1-a2, 则AB2=BD2+AD2=1+8a2,则AB=, 在△ABC中,由余弦定理得cos∠BAC=, 又≥2,当且仅当8a2+1=3,即a=时等号成立, 故当a=时,cos∠BAC取得最小值, 此时∠BAC取得最大值,且BC=2a=1,AB=,所以△ABC的周长为2+.故选A. 6.C　对于A,由c-b=2bcos A及正弦定理可得sin C-sin B=2sin Bcos A, 又sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B, 所以sin Acos B-cos Asin B=sin B,即sin(A-B)=sin B, 因为0<B<π,所以sin B>0,sin(A-B)>0,又0<A<π,故0<A-B<π, 所以A-B=B或A-B+B=π,即A=2B或A=π(舍去),故A错误; 对于B,因为△ABC为锐角三角形,A=2B,所以C=π-3B, 则解得B∈,故B错误; 对于C,=2cos B,因为B∈,所以cos B∈,2cos B∈(),即的取值范围为(),故C正确; 对于D,+2sin A=+2sin A=+2sin A=+2sin A≥2,当且仅当=2sin A,即sin A=时取等号, 因为B∈,所以A=2B∈,则sin A∈,所以无法取到等号,故D错误. 故选C. 7.A　因为2b2=2a2+2c2-6ac+, 所以2b2-2a2-2c2=-6ac+. 由余弦定理可得2b2-2a2-2c2=-4accos B,3a2-3b2-3c2=-6bccos A, 所以-6ac+=-4accos B,-2bc+=-6bccos A, 所以6-4cos B=,1-3cos A=. 由正弦定理可得6-4cos B=3sin A,1-3cos A=4sin B, 所以4cos B+3sin A=6,4sin B+3cos A=1, 两式等号左、右两边分别平方并相加可得,16(sin2B+cos2B)+9(sin2A+cos2A)+ 24(sin Acos B+cos Asin B)=37,所以24sin(A+B)=12,所以sin C=,又C为锐角,故C=30°.故选A. 8. C　由a2=b2+c2-2bccos A,△ABC的面积S=bcsin A及2S=a2-(b-c)2,得bcsin A=2bc- 2bccos A,化简得sin A+2cos A=2, 又sin2A+cos2A=1,所以5sin2A-4sin A=0, 解得sin A=或sin A=0(舍去), 又A为锐角,所以cos A=. 所以. 因为△ABC为锐角三角形,所以0<C<,且0<B=π-A-C<,所以, 所以tan C>tan, 所以∈,所以∈. 设=t,则t∈, 令y=2t+,t∈, 易知y=2t+在上单调递减,在上单调递增,又当t=时,y=2;当t=时,y=;当t=时,y=,所以y∈,故的取值范围是.故选C. 9.AC　对于A,由正弦定理得,所以sin B=>1,所以符合条件的三角形不存在,故A正确; 对于B,由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B=64+100-2×8×10×=84,故b=2(舍负),所以符合条件的△ABC只有一个,故B错误; 对于C,若a4+b4=c4,则(a2+b2)2=a4+2a2b2+b4=2a2b2+c4>c4,所以a2+b2>c2,可得cos C=>0,因为C∈(0,π),所以C<,故C正确; 对于D,依题得c=,b=1,由正弦定理得,则sin C=, 因为=sin C>sin B=,所以C>B,又0°<C<180°,所以C=60°或C=120°,所以A=90°或A=30°, 当A=90°时,S△ABC=,当A=30°时,S△ABC=×1×sin 30°=,故D错误. 故选AC. 10.BCD　由题意得·|cos A=bccos A=2,而2a=4,故A错误; 由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A,则b2+c2=a2+2bccos A=4+4=8,故B正确; 由上述分析得cos A=≥,又A∈(0,π),所以0<A≤,故C正确; S△ABC=bcsin A=×sin A=tan A,又0<A≤,正切函数y=tan x在上单调递增,故当A=时,△ABC的面积取得最大值,为,故D正确.故选BCD. 11.ACD　∵A-B+C=π-2B,C-A-B=C-(A+B)=2C-π,且sin 2A+sin(A-B+C)=sin(C-A-B)+, ∴sin 2A+sin(π-2B)=sin(2C-π)+, ∴sin 2A+sin 2B+sin 2C=, 又对任意角α,β均有公式sin 2α+sin 2β=2sin(α+β)·cos(α-β),∴sin2A+sin2B+sin2C=2sin(A+B)cos(A-B)-sin[2(A+B)]=2sin(A+B)·[cos(A-B)-cos(A+B)]= 2sin C·[cos Acos B+sin Asin B-(cos Acos B-sin A·sin B)]=4sin Csin Asin B, ∴4sin Asin Bsin C=,∴sin Asin Bsin C=,D正确; 设△ABC外接圆的半径为R, 则S=absin C==2R2sin Asin Bsin C=R2, 由1≤S≤2得2≤R≤2,从而=2R∈[4,4],C正确; abc=8R3sin Asin Bsin C=R3∈[8,16],B错误; bc(b-c)<abc≤16,A正确. 故选ACD. 12.答案　 解析　S△ABC=bcsin A=,则bc=4, 由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=(b+c)2-3bc=24,则a=2. 设△ABC的内切圆的半径为r,则, 解得r=. 13.答案　(3+] 解析　∵c=asin C-ccos A,∴由正弦定理得sin C=sin Asin C-sin Ccos A, 又sin C>0,∴sin A-cos A=1,则2sin=1,即sin, ∵0<A<. 由正弦定理得=2, ∴b=2sin B,c=2sin C,又C=-B, 故△ABC的周长为a+b+c=+2sin B+2sin C=+2sin B+2sin+3sin B+cos B =2, ∵△ABC为锐角三角形,∴ ∴≤1, ∴△ABC周长的取值范围为(3+]. 14.答案　 解析　因为EB=EC,所以∠EBC=C,故∠AEB=2C, 因为ED⊥BC,所以D为BC的中点,且EB=, 在△AEB中,由正弦定理可得,即, 易知C为锐角,由及sin C≠0,可得cos C=, 所以sin C=, 则sin∠AEB=sin 2C=2sin Ccos C=, cos∠AEB=cos 2C=1-2sin2C=-, 因为EB=<AB,所以在△ABE中,A为锐角,故cos A=, 所以sin∠ABE=sin(∠AEB+A)=sin∠AEBcos A+cos∠AEBsin A=, 因此,S△ABE=AB·BEsin∠ABE=. 15.解析　(1)∵cos B=,D=2B, ∴cos D=cos 2B=2cos2B-1=-.(2分) 在△ADC中,AD=1,CD=3, 由余弦定理得AC2=AD2+CD2-2AD·CDcos D=1+9-6×=12,(4分) ∴AC=2,即新能源环保电动车道AC的长度为2千米.(5分) (2)若选①:∵cos B=,∴sin B=. 在△ABC中,由正弦定理得, 即,解得AB=,(7分) ∵sin∠BAC=sin(B+∠ACB)=sin Bcos∠ACB+cos Bsin∠ACB=, ∴S△ABC=AB·AC·sin∠BAC=.(10分) ∵cos D=-,∴sin D=, 故S△ADC=AD·CD·sin D=,(11分) ∴花卉种植区域的总面积为(平方千米).(13分) 若选②:在△ABC中,由余弦定理得cos B=, 解得AB=3或AB=-(舍去).(8分) ∵cos B=,∴sin B=,∴S△ABC=AB·BC·sin B=.(10分) ∵cos D=-,∴sin D=, 故S△ADC=AD·CD·sin D=,(12分) ∴花卉种植区域的总面积为3(平方千米).(13分) 16.解析　(1)因为 =,(2分) 所以由正弦定理可得,故cos A=,(3分) 又A∈(0,π),所以A=.(4分) (2)由,可得),即,所以AD=2CD,(6分) 因为ADsin∠CBD=CDsin C,所以=2, 又由正弦定理得,所以=2.(9分) 设CD=x,则AD=BD=2x, 在△ABD中,A=,所以△ABD为等边三角形,故AB=2x, 在△ABC中,由余弦定理得BC2=4x2+9x2-6x2=7x2,所以BC=x,(12分) 所以cos∠ABC=.(15分) 17.解析　(1)设∠AOB=α,α∈(0,π), 在△AOB中,由余弦定理得AB2=1+4-2×1×2×cos α=5-4cos α,(2分) 则S四边形OACB=S△AOB+S△ABC=×1×2×sin α+(5-4cos α) =sin α-cos α+,(4分) ∵α∈(0,π),∴α-∈, ∴当α-,即α=时,四边形OACB的面积最大, 即当∠AOB=时,四边形OACB的面积最大.(7分) (2)在△AOB中,由正弦定理得, 所以sin∠OAB=, ∵OA>OB,∴∠OAB是锐角, ∴cos∠OAB=,(9分) 则cos∠OAC=coscos∠OAB-sin∠OAB=,(11分) 在△AOC中,由余弦定理得OC2=OA2+AC2-2OA·AC·cos∠OAC=5+2sin α-2cos α =5+4sin,(13分) ∵α∈(0,π),∴α-∈, ∴当α-,即α=时,OC2取到最大值,为5+4=9, ∴OC的长度的最大值为3.(15分) 18. 解析　(1)由已知及正弦定理,得2sin B·sin =sin∠BAC+sin C=sin∠BAC+sin(∠BAC+B)=sin∠BAC+sin∠BACcos B+cos∠BACsin B,　 ∴2sin B=sin∠BAC+sin∠BACcos B+cos∠BACsin B, ∴sin∠BACsin B+sin Bcos∠BAC=sin∠BAC+sin∠BACcos B+cos∠BACsin B, ∴sin∠BACsin B-sin∠BACcos B=sin∠BAC, ∴sin∠BAC(sin B-cos B)=sin∠BAC,(3分) ∵sin∠BAC≠0,∴sin B-cos B=2sin=1, 即sin,又B∈(0,π), ∴B-∈. ∵∠ADC=,∴∠ADB=,(6分) 在△ABD中,由正弦定理得, 即,解得AD=.(8分) (2)设CD=t,则BD=2t,因为S△ABC=3, 所以,解得t=2,故BC=3t=6, 在△ABC中,由余弦定理可得AC= ,(10分) 在△ABD中,由正弦定理得,故sin∠BAD=2sin∠ADB,(12分) 在△ACD中,由正弦定理得,故sin∠CAD=sin∠ADC,(15分) ∵sin∠ADB=sin(π-∠ADC)=sin∠ADC, ∴.(17分) 19.解析　(1)因为cos(A-C)-cos B=cos(A-C)+cos(A+C)=2cos Acos C, ,(2分) 所以2cos Acos C=, 因为tan A,tan C有意义,所以cos Acos C≠0,所以sin B=, 又0<B<π,所以B=或B=.(4分) (2)如图1,因为点P在△ABC的内部,所以∠ABC<∠CPA=,所以∠ABC=, 又△ABC的面积为,所以AB·BC·sin,所以AB·BC=4, 设∠PBA=α,则∠PAB=-α,∠PBC=-α,∠PCB=+α, 在△PAB中,由正弦定理得, 所以PB=ABsin α,(6分) 在△PBC中,由正弦定理得, 所以PC=, 所以PB2-PA·PC= ===4.(8分) (3)若点Q与点B在直线AC的异侧,如图2, 设∠QBA=θ,则∠QBC=∠ABC-θ,∠QAB=-θ,∠QCB=-∠ABC+θ, 在△QAB中,由正弦定理得, 所以QA=AB·sin θ,QB=AB·sin, 在△QBC中,由正弦定理得,(10分) 所以QC=BCsin(∠ABC-θ), QB=, 则(QA+QC-QB)·QB=QA·QB+QC·QB-QB2=AB·BC·sin θ·sin +BC·AB·sin(∠ABC-θ)·sin -AB·BC·sin·sin =+ =2cos- =,(12分) 当∠ABC=时,原式==-4; 当∠ABC=时,原式==8.(14分) 若点Q与点B在直线AC的同侧,如图3, 则B在∠AQC的平分线上,所以∠ABC>∠AQC=, 所以∠ABC=,设∠QBA=θ',则∠QBC=-θ',∠QAB=-θ',∠QCB=-+θ', 同理可求得(QA+QC-QB)·QB=4.(16分) 综上所述,满足条件的点Q有3个,对应的(QA+QC-QB)·QB的值分别为-4,8,4.(17分) 学科网（北京）股份有限公司 $$