2025年中考数学一轮复习考点通关课件：辅助圆模型

　辅助圆模型 模型一　四点共圆 模型展示 模型 描述 如图①和②，Rt△ABC和Rt△ABD共斜边，取AB的中点O，连接OC，OD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得OC＝OD＝OA＝OB； 如图③，在四边形ABCD中，∠A＋∠C＝180°(或∠B ＋∠D＝180°) 模型 呈现 模型 结论 (1)A，B，C，D四点共圆； (2)在判断四点共圆后，可以根据圆周角定理等得到角度相等，完成角度之间等量关系的转换，此模型是证明角相等的重要途径之一 例1 　 如图，AD，BE，CF为△ABC的三条高，连接EF．若AB＝6，BC＝5，EF＝3，则线段BE的长为_______. 【解答】由AD，BE，CF为△ABC的三条高，易知B，C， E，F四点共圆，∴∠FBC＋∠FEC＝180°.∵∠AEF＋ ∠FEC＝180°，∴∠AEF＝∠FBC.又∵∠FAE＝∠CAB， ∴△AEF∽△ABC，∴，∴cos∠BAE＝cos∠FAC＝，则易得sin∠BAE＝，∴在Rt△ABE中，BE＝AB·sin∠BAE＝6×. 1．(2024·泰安)如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，E是AB边上的点，且AE＝4，BE＝8，F是BC边上的一点，△EGF是以G为直角顶点，∠EFG为30°角的直角三角形，连接AG．当点F在直线BC上运动时， 线段AG的最小值是( )　　　　　　　　　　　 A．2 B．42 C．2 D．4 针对训练 C 【解析】如答图，过点E作EM⊥BC于点M，过点M作MH⊥AB于点H，连接MG，过点A作AN⊥MG，交MG的延长线于点N，则∠EMF＝90°.由题意，得∠EGF＝90°，∴∠EMF＋∠EGF＝180°，∴E，M，F，G四点共圆，∴∠EMG＝∠EFG＝30°.∵∠B＝60°，∴∠BEM＝30°＝∠EMG，∴MG∥AB.易得四边形MHAN是矩形，∴MH＝AN.∵BE＝8，∴EM＝BE·cos 30°＝4，∴AN＝MH＝EM＝2. 又∵AG≥AN＝2，∴AG的最小值是2.故选C. 答图 2．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝45°，以AB为腰作等腰直角三角形BAE，顶点E恰好落在CD边上．若AD＝1，则CE的长是 _____. 【解析】∵△BAE是以AB为腰的等腰直角三角形，∴EB＝AB，∠ABE＝∠AEB＝45°，∠BAE＝90°.∵AD∥BC，∠C＝45°，∴∠ADE＝180°－∠C＝135°，∴∠ADE＋∠ABE＝180°，∴A，B，E，D四点共圆，且BE 为该圆的直径，如答图，连接BD，则∠BDE＝90°.∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD.又∵∠ADB＝∠AEB＝45°，∴∠ADB＝∠CBD＝45°＝∠C，∴∠ABD＋∠DBE＝45°＝∠EBC＋∠DBE，∴∠ABD＝∠EBC,∴△ABD∽ △EBC，∴，∴CE＝DA＝×1＝. 答图 模型二　定弦对定角 模型展示 模型 描述 如图①，在☉O中，若弦AB的长度固定，则弦AB所对优弧AB上的圆周角相等(注意：弦AB在劣弧AB上也有所对的圆周角，根据题目灵活运用)． 有一固定线段AB及线段AB所对的∠C，若∠C的大小固定，根据圆的知识可知C并不是唯一固定的点．点C的运动轨迹需分三种情况： (1)如图②，在☉O中，当∠C < 90°时，点C的运动轨迹为优弧AB； (2)如图③，在☉O中，当∠C＝90°时，点C的运动轨迹为☉O(不含点A，B)； (3)如图④，在☉O中，当∠C >90°时，点C的运动轨迹为劣弧AB 模型 呈现 模型 结论 固定的线段只要对应固定的角度(可以不是90°)，那么这个角的顶点的运动轨迹为圆的一部分 例2 如图，在正方形ABCD中，AB＝2，P是正方形ABCD内一点．若∠APB＝90°，则PC的最小值是_____________. 1 【解答】如答图，取AB的中点O，以点O为圆心，OA长为半径作☉O，连接OP.∵P是正方形ABCD内一点，且∠APB＝90°，∴点P在☉O上.∵AB＝2，∴BC＝2，OP＝OB＝AB＝1.易知当O，P，C三点共线时，PC长取得最小值，∴PC长的最小值为OC－OP＝ －OP＝－1. 答图 例3 如图，在等边三角形ABC中，AB＝6，点D，E分别在边BC，AC上，且BD＝CE，连接AD，BE相交于点F，连接CF，则CF的最小值 是________. 2 【解答】∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC＝6，∠ABD＝∠BAC＝∠BCE＝60°.∵BD＝CE，∴△ABD≌△BCE(SAS)，∴∠BAD＝∠CBE.∵∠AFE＝∠BAD＋∠ABE，∴∠AFE＝∠CBE＋∠ABE＝∠ABC＝60°，∴∠AFB＝120°，∴点F在以点O为圆心，OA长为半径的弧(即劣弧)上运动，如答图，连接OA，OB.易得∠AOB＝120°，∴∠OBA＝30°，∴∠OBC＝90°.易得OA＝OB＝2.连接OC交☉O于点N，则ON＝2.当点F与点N重合时，CF的值最小.在Rt△OBC中，OC＝＝4，∴CF的最小值为 OC－ON＝4－2＝2. 答图 3．如图，矩形ABCD的边AB＝8，AD＝6，M为BC的中点，P是矩形内部一点，且满足∠ADP＝∠PAB，N为边CD上的一个动点，连接PN，MN，则PN＋MN的最小值为 ． 针对训练 7 【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°.∵∠ADP＝∠PAB，∴∠ADP＋∠PAD＝∠PAB＋∠PAD＝∠BAD＝90°，∴∠APD＝90°，∴点P在以AD为直径的 一段圆弧上.以AD为直径作半圆O，作点M关于直线DC的对称点M'，连接OM'交半圆O于点P'，连接M'N，OP，OM，如答图，则OD＝OP＝OP'＝3，M'N＝MN，∴PN＋MN＝PN＋M'N＝PN＋M'N＋OP－OP'≥OM'－OP'＝OM'－3，∴PN＋MN的最小值为 OM'－3.∵四边形ABCD是矩形，AB＝8，AD＝6，O为AD的中点，M为BC的中点，∴CD＝AB＝8，OD＝AD＝BC＝MC＝3，OD∥CM，∠ODC＝∠BCD＝90°，∴四边形OMCD是矩形，∴OM＝CD＝8.由对称的性质，得M'M＝2MC＝6. 在Rt△M'OM中，由勾股定理，得OM'＝ ＝10，∴PN＋MN的最小值为OM'－3＝10－3＝7. 答图 4．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，D是BC的中点，过点C作CE⊥AB交BA延长线于点E，连接DE．若AD＝2，则DE的最大值 为 ． 6 【解析】∵CE⊥AB交BA的延长线于点E，∴∠E＝90°.在Rt△BEC中，∵D为边BC的中点，∴BD＝CD＝DE＝BC.如答图，延长AD至点F，使DF＝AD，连接BF.在△ADC和△FDB中，∴△ADC≌△FDB(SAS)，∴∠CAD＝∠BFD.∵∠BAC＝120°＝∠BAD＋∠CAD，∴∠BAD＋∠BFD＝120°，∴∠ABF＝60°.∵AD＝DF，AD＝2，∴AF＝4.作△ABF的外接圆☉O，连接OA，OB，OD，OF，则∠AOF＝2∠ABF＝120°，OA＝OB＝OF，OD⊥AD，∴∠OAD＝30°，∴OB＝OA＝＝4，∴OD＝OA＝2.易知当B，O，D三点共线时，BD的值最大，则DE的值最大，最大值为BO＋OD＝4＋2＝6， ∴DE的最大值为6. 答图 模型三　点圆最值 模型展示 模型 描述 已知平面内一定点D和☉O，E是☉O上一动点，设点O与点D之间的距离为d，☉O的半径为r，当D，O，E三点共线时，线段DE有最大(小)值 模型 呈现 点D在☉O内 点D在☉O上 点D在☉O外 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 模型 结论 如图①，DE的最大值为d＋r；如图②，DE的最小值为r－d 如图③，DE的最大值为2r；如图④，DE的最小值为0 如图⑤，DE的最大值为d＋r；如图⑥，DE的最小值为d－r 　 如图，在平面直角坐标系中，已知点P(3，4)，☉P的半径为2，点A，B，M是☉P上的动点，C是MB的中点，则AC的最小值是( ) A B C D 例4 B 【解答】如答图，连接OM，OP，OP交☉P于点M'.∵☉P的半径为2，∴PM'＝2.∵P(3，4)，∴OP＝＝5.∵A，B，∴OA＝AB.又∵C是MB的中点，∴AC是△OMB的中位线，∴AC＝OM，∴当OM最小时，AC最小，易知当点M运动到点M'时，OM最小，此时OM＝OP－PM'＝5－2＝3，∴AC的最小值为OM＝. 故选B. 答图 针对训练 5．(2024·泸州龙马潭区二模)如图，正方形ABCD的边长为5，以点C为圆心，2为半径作☉C，P为☉C上的动点，连接BP，并将BP绕点B逆时针旋转90°得到BP'，连接CP'，在点P运动的过程中，CP'的最大值是 _______________． 52 【解析】如答图①，连接P'A，PC.∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝CB＝5， ∠ABC＝90°，∴∠ABP＋∠CBP＝90°.由旋转的性质，得BP'＝BP，∠PBP'＝90°， ∴∠ABP＋∠ABP'＝90°，∴∠ABP'＝∠CBP.在△ABP'和△CBP中 ∴△ABP'≌△CBP(SAS)，∴AP'＝CP＝2，∴在点P的运动过程中，点P'始终在以点A为 圆心，2为半径的圆上运动，如答图②，连接AC，则当点P'运动到CA的延长线与☉A的交点上时，CP'的长度最大.∵AB＝CB＝5，∠ABC＝90°， ∴AC＝＝5，此时CP'＝AC＋AP'＝5＋2， 即CP'的最大值是5＋2. 答图 $$